Puedes comprobar que el funtor producto de dos funtores tal como lo defines es fiel (respectivamente, pleno) si y solo si lo son los dos por separado.
Por ejemplo, para ver la parte de pleno, si \( F:\mathcal{C}_1 \rightarrow \mathcal{D}_1,G:\mathcal{C}_2 \rightarrow \mathcal{D}_2 \) son funtores plenos, entonces dada cualquier flecha \( (f',g') \) de \( \mathcal{D}_1 \times \mathcal{D_2} \) entre objetos que están en la imagen de \( F \times G \) sabemos que \( f' = F(f), g'=G(g) \) para algunas flechas \( f \in \mathcal{C}_1, g \in \mathcal{C_2} \), por ser \( F,G \) plenos. Por tanto, \( F \times G (f,g) = (f',g') \).
Por otro lado, si \( F \times G \) es pleno, puedes ver que \( F \) es pleno identificando una flecha \( f \) con flechas de la forma \( (f, id) \) en el producto, y similarmente para \( G \) (espero que quede claro qué quiero decir).
La parte de fiel es la misma idea.
Sobre la segunda pregunta, un funtor es esencialmente exhaustivo si todo objeto de la categoría de llegada es isomorfo a un objeto en su imagen. Aplicado al funtor de Luis Fuentes, se traduce en que todo grupo es isomorfo al grupo de unidades de algún anillo unitario. Y esto último es falso (hay grupos cíclicos que no son el grupo de unidades de ningún anillo). Por tanto, este funtor no sería esencialmente exhaustivo.
