[pilar12]

Hala el área del recinto plano limitado por la curva  \( f(x) = (x-1) +2 cos (x) \), el eje \( OX \) y las recta \( x=\pi \) y
\( x= 2\pi \).
Normalmente yo igualaría la función a cero; pero el solucionario dice: Entre \( \pi \) y \( 2\pi \) la función no cambia  de signo y es positiva.
Me podéis explicar esto.
Gracias.
Mensaje corregido desde la administración.

[ancape]

Hala el área del recinto plano limitado por la curva  \( f(x) = (x-1) +2 cos (x) \), el eje \( OX \) y las recta \( x=\pi \) y
\( x= 2\pi \).
Normalmente yo igualaría la función a cero; pero el solucionario dice: Entre \( \pi \) y \( 2\pi \) la función no cambia  de signo y es positiva.
Me podéis explicar esto.
Gracias.

Hola
Te adjunto la gráfica del recinto del cual tienes que calcular el área. La función dada tiene como derivada \( f'(x)=1-2Sin(x) \) que es positiva en \( [\pi,2 \pi] \) y por tanto creciente. Como \( f(\pi)=\pi -1-2>0 \), será mayor que \( 0 \) mientras sea creciente, así el área  es \( \displaystyle\int_{\pi}^{2 \pi} \left |{f(x)}\right | = \displaystyle\int_{\pi}^{2 \pi} f(x) \). Continúa y compara el resultado con la figura.

                                               
Saludos

[Samir M.]

Hala el área del recinto plano limitado por la curva  \( f(x) = (x-1) +2 cos (x) \), el eje \( OX \) y las recta \( x=\pi \) y
\( x= 2\pi \).
Normalmente yo igualaría la función a cero; pero el solucionario dice: Entre \( \pi \) y \( 2\pi \) la función no cambia  de signo y es positiva.
Me podéis explicar esto.
Gracias.

Hola.

¿Por qué quieres igualar la función a cero? Cuando igualas una función a cero, lo que estás buscando son sus puntos de corte con el eje \( x \). En este caso no es necesario que la iguales a cero, ya que la función queda completamente determinada por el eje \( OX \), las rectas verticales \( x=\pi \) y \( x=2\pi \) y la gráfica de la misma función; esto es justamente lo que quiere decir el enunciado, que la función es positiva (está encima del eje \( OX \)) y además no cambia de signo (es decir, no corta al eje \( x \) en el intervalo que estás considerando, que es el \( (\pi, 2\pi) \).

[feriva]

Hala el área del recinto plano limitado por la curva  \( f(x) = (x-1) +2 cos (x) \), el eje \( OX \) y las recta \( x=\pi \) y
\( x= 2\pi \).
Normalmente yo igualaría la función a cero; pero el solucionario dice: Entre \( \pi \) y \( 2\pi \) la función no cambia  de signo y es positiva.
Me podéis explicar esto.
Gracias.

Dos cosas: ¿Con la primitiva tienes problemas? (aparte de que no nos toque nunca, quiero decir).

Es fácil, con el teorema fundamental del cálculo se queda en la suma tres primitivas inmediatas, la integral de x, la de -1 y la de coseno de x; da \( \dfrac{x^{2}}{2}-x+sen(x) \).

Ahora, la curva está limitada por el eje X y por las rectas \( x=\pi \) y la recta \( x=2\pi \); esto simplemente quiere decir que el intervalo donde tienes que integrar es el que va de \( \pi \) a \( 2\pi \), estos son los límites de la integral definida, como ya tienes ahí la primitiva pues sólo tienes que sustituir y restar; no hay problema, el área está sobre el eje X, ya te ha detallado todo Ancape.

...

Cuando en un plano ten dicen x=algo y nada más, es una recta donde ese “algo” es constante mientras que la coordenada “y” varía en los puntos de la recta. Si, por ejemplo, si tienes la recta x=5, los puntos son de este tipo (5,1); (5,2); (5,3,4)... varía la segunda coordenada, pero la primera es 5 siempre.

Entonces, si te dicen “pi”, pues todos los puntos están sobre “pi” en el eje X y la recta es paralela al eje “Y”.

Así que lo que te están diciendo es que tienes que integrar en ese intervalo, de pi a 2pi.

Saludos.

[sugata]

Creo que quiere igualar la función a cero para ver donde es positiva y donde es negativa en ese entorno.

[pilar12]

Gracias a todos por las respuestas y la corrección a mi mensaje. Queda totalmente entendido.