[franma]

Buenas a todos,

El enunciado dice lo siguiente:
En el espacio de Banach \( (C([0,1]),||\cdot ||_\infty) \) se considera el conjunto \( C \) formado por las funciones \( f \) que verifican

\( \displaystyle\int_{0}^{1/2} f - \int_{1/2}^{1}f=1 \)

Probar que \( C \) es un subconjunto convexo, cerrado y no vacío de \( C([0,1]) \) que no contiene elementos de norma mínima.

Intente lo siguiente:
Primero, considere el funcional \( \varphi:C([0,1])\to \mathbb{R} \) dado por \( \varphi(f):=\displaystyle\int_{0}^{1/2} f - \int_{1/2}^{1}f \), este funcional es continuo pues se tiene que \( |\varphi(f)|\leq ||f||_\infty \) (*)

Ahora, como \( C=\varphi^{-1}(\{1\}) \) se tiene que \( C \) es cerrado por ser preimagen de un cerrado y que \( C \) es convexo por ser preimagen de un convexo por un funcional lineal.

Por (*), si \( f\in C \) se tiene que \( 1\leq ||f||_\infty \), mi idea era ver que efectivamente el ínfimo de las normas es \( 1 \), para eso, construi una sucesion de funciones \( f_n \) tales que \( f_n\in C \) y \( ||f_n||_\infty \to 1 \) cuando \( n\to \infty \).

La sucesión quedo un poco "fea", así que no escribiré la formula explicita, pero si como esta construida, así que fijado un \( n\geq 5 \), \( f_n \) será lo siguiente:

• En \( \left[0,\frac{1}{2}-\frac{1}{n^2}\right] \) es constante \( 1+1/n \)
• En \( \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{n^2},\frac{1}{2}\right] \) es la recta que une el punto \( \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n^2},1+\frac{1}{n}\right) \) con el punto \( \left(\frac{1}{2},0\right) \)
• En \( \left[\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\ell(n) \right] \) es la recta que une el punto \( \left(\frac{1}{2},0\right) \) con el punto \( \left(\frac{1}{2}+\ell(n),-1+\frac{1}{n^2}\right) \)
• En \( \left[\frac{1}{2}+\ell(n),1\right] \) es constante \( -1+1/n^2 \)

donde \( \ell(n):= \dfrac{n^2-4n-3}{n^3-n} \) (el \( n>5 \) es para que esta función sea positiva)

Ahora, si no me equivoque en ninguna cuenta se tiene que \( ||f_n||_\infty=1+1/n \) y que \( f_n\in C \) para todo \( n\geq 5 \), así que con esto probamos que \( C\neq \emptyset \) y que \( \inf\{||f||_\infty:f\in C\}=1 \)

Para terminar, debemos probar que \( C \) no contiene elementos de norma mínima, esto yo lo veo "intuitivamente", pues si \( f\in C \) es tal que \( ||f||_\infty=1 \) entonces el grafico de f queda totalmente contenido en el rectángulo \( [0,1]\times[-1,1] \) y la única manera de que verifique la condición estando ahí es que \( f=\chi_{[0,1/2]} - \chi_{[1/2,1]} \) que no es continua.

No estoy pudiendo formalizar esta ultima idea Cualquier ayuda es bienvenida.

Saludos,
Franco.

[Gustavo]

Hola.

No estoy pudiendo formalizar esta ultima idea

Usa la continuidad de \( f \) para controlarla cerca a \( \frac12 \). Si \( f(\frac12) <1 \), toma \( \varepsilon>0 \) tal que \( f(\frac12)+\varepsilon <1 \).

Existe entonces \( 0<\delta<\frac12 \) tal que \( f(x)<f(\frac12)+\varepsilon \) para \( \frac12-\delta < x< \frac12 \).

Luego \( \displaystyle \int_0^{\frac12} f(x) \,\mathrm dx = \int_0^{\frac12-\delta} f(x)\, \mathrm dx + \int_{\frac12-\delta}^{\frac12} f(x)\, \mathrm dx < \textstyle ( \frac12-\delta )\cdot 1 + \delta \cdot  (f(\frac12)+ \varepsilon ) < \frac12 \).

Deberíamos tener entonces \( f(\frac12)=1 \), pero...

[Luis Fuentes]

Hola

 Una variante suponiendo que conoces el resultado típico de que la única función continua no negativa con integral nula en un intervalo es la función cero constate.

 Si \( \|f\|_\infty=1 \):

\(  \displaystyle\int_{0}^{1/2}f(x)dx\leq \displaystyle\int_{0}^{1/2}1dx=1/2 \) (*)
\(  \displaystyle\int_{1/2}^{0}f(x)dx\geq \displaystyle\int_{0}^{1/2}(-1)dx=-1/2 \) (*)
 
 Por tanto:

\(  1=\displaystyle\int_{0}^{1/2}f(x)dx+\displaystyle\int_{1/2}^{0}f(x)\leq 1/2-(-1/2)=1 \)

 y como se da la igualdad entre el principio y el final las desigualdades iniciales (*) son igualdades. Pero entonces:

\(  \displaystyle\int_{0}^{1/2}(1-f(x))dx=0 \)
\(  \displaystyle\int_{1/2}^{1}(1+f(x))dx=0 \)

 y si la integral de una función continua no negativa es cero, la función es constantemente nula.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
Aunque ya está todo dicho, me gustaría saber qué opináis acerca la validez o no del siguiente razonamiento:
Supongamos que existe \( f\in C \) tal que \( \|f\|_{\infty}=1 \) entonces
\( 1=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f \)
Ahora bien
\( \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f\leq \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}|f|\\
-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f\leq\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1|f|\end{array}\right.\Longrightarrow
1=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f\leq \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}|f|+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1|f|=\displaystyle\int_0^1|f|\leq 1
 \)
Por tanto, \( |f|=1\Longrightarrow f=1 \,\,\,\vee\,\,\, f=-1 \), en cualquier caso, \( f\notin C \), lo cuál es una contradicción.
Saludos

[franma]

Hola Luis , hola Gustavo 

La respuesta de Luis me ha quedado clara, muchas gracias.

Respecto a la de Gustavo:

(...)

Deberíamos tener entonces \( f(\frac12)=1 \), pero...

Se me ocurre es que tu utilizaste la continuidad por izquierda para realizar este argumento, haciendo algo similar pero con la continuidad por la derecha de \( 1/2 \) podríamos argumentar que debe ser \( f(1/2)=-1 \) y llegar a un absurdo. ¿Esta bien?

Un saludo,
Franco.

[Luis Fuentes]

Hola

Aunque ya está todo dicho, me gustaría saber qué opináis acerca la validez o no del siguiente razonamiento:
Supongamos que existe \( f\in C \) tal que \( \|f\|_{\infty}=1 \) entonces
\( 1=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f \)
Ahora bien
\( \left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f\leq \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}|f|\\
-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f\leq\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1|f|\end{array}\right.\Longrightarrow
1=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}f-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1f\leq \displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}}|f|+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1|f|=\displaystyle\int_0^1|f|\leq 1
 \)
Por tanto, \( |f|=1\Longrightarrow f=1 \,\,\,\vee\,\,\, f=-1 \), en cualquier caso, \( f\notin C \), lo cuál es una contradicción.

Es muy parecida a la que indiqué en mi último mensaje.

Habría que aclarar EXACTAMENTE el porqué de la implicación en la frase en rojo; hay que dejar claro que la continuidad es imprescindible.

Saludos.

[ani_pascual]

Por tanto, \( |f|=1\Longrightarrow f=1 \,\,\,\vee\,\,\, f=-1 \), en cualquier caso, \( f\notin C \), lo cuál es una contradicción.
Es muy parecida a la que indiqué en mi último mensaje.
Habría que aclarar EXACTAMENTE el porqué de la implicación en la frase en rojo; hay que dejar claro que la continuidad es imprescindible.

Hola:
Sí, es cierto, pero como \( f\in C\subseteq {\cal C}([0,1]) \) daba por hecho que es \( f \) continua.
Así, si \( \exists\,a\in (0,1) \) tal que \( 0<|f(a)|=\varepsilon <1 \) entonces por la continuidad de \( f \) existe \( 1>\delta>0 \) tal que \( \forall\,x\in(a-\delta,a+\delta) \) es \( |f(x)|<\dfrac{1+\varepsilon}{2} \)
De esta manera
\( 1=\left|\displaystyle\int_0^1|f|\right|=\left|\displaystyle\int_0^{a-\delta}|f|+\displaystyle\int_{a-\delta}^{a+\delta}|f|+\displaystyle\int_{a+\delta}^1|f|\right|\leq \left|\displaystyle\int_0^{a-\delta}|f|\right|+\left|\displaystyle\int_{a-\delta}^{a+\delta}|f|\right|+\left|\displaystyle\int_{a+\delta}^1|f|\right|\leq (a-\delta )+(1+\varepsilon)\delta +1-(a+\delta)=1-\delta (1-\varepsilon)<1 \)
lo cuál es absurdo. Así pues, \( f=1\,\,\vee\,\,\, f=-1 \)
¿Se podría razonar así?
Saludos

[Gustavo]

Se me ocurre es que tu utilizaste la continuidad por izquierda para realizar este argumento, haciendo algo similar pero con la continuidad por la derecha de \( 1/2 \) podríamos argumentar que debe ser \( f(1/2)=-1 \) y llegar a un absurdo. ¿Esta bien?

Exacto.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, es cierto, pero como \( f\in C\subseteq {\cal C}([0,1]) \) daba por hecho que es \( f \) continua.
Así, si \( \exists\,a\in (0,1) \) tal que \( 0<|f(a)|=\varepsilon <1 \) entonces por la continuidad de \( f \) existe \( 1>\delta>0 \) tal que \( \forall\,x\in(a-\delta,a+\delta) \) es \( |f(x)|<\dfrac{1+\varepsilon}{2} \)
De esta manera
\( 1=\left|\displaystyle\int_0^1|f|\right|=\left|\displaystyle\int_0^{a-\delta}|f|+\displaystyle\int_{a-\delta}^{a+\delta}|f|+\displaystyle\int_{a+\delta}^1|f|\right|\leq \left|\displaystyle\int_0^{a-\delta}|f|\right|+\left|\displaystyle\int_{a-\delta}^{a+\delta}|f|\right|+\left|\displaystyle\int_{a+\delta}^1|f|\right|\leq (a-\delta )+(1+\varepsilon)\delta +1-(a+\delta)=1-\delta (1-\varepsilon)<1 \)
lo cuál es absurdo. Así pues, \( f=1\,\,\vee\,\,\, f=-1 \)
¿Se podría razonar así?

Si.

Saludos.