[Eparoh]

Hola a todos.

Estoy tratando con el siguiente resultado:

Sea \( (X, \left\|{\cdot}\right\|) \) un espacio normado e \( Y \) un subespacio de \( X \). Si \( |||{\cdot}||| \) es una norma equivalente a \( \left\|{\cdot}\right\|_Y \) (la norma heredada) en \( Y \), entonces existe una norma \( \left |{\cdot}\right | \) en \( X \) equivalente a \( \left\|{\cdot}\right\| \) y tal que induce la norma \( |||\cdot||| \) en \( Y \).

He consultado la demostración en varios sitios y en todos se hace lo mismo, que en esencia es lo siguiente:

• Como \( \left\|{\cdot}\right\|_Y \) y \( ||| \cdot ||| \) son equivalente en \( Y \), existe un \( C>0 \) tal que \( B_1 \subset C B_2 \), donde \( B_1=B_X \cap Y \) (la bola unidad cerrada en \( Y \) con la norma heredada, siendo \( B_X \) la bola unidad cerrada en \( X \)) y \( B_2 \) es la bola unidad cerrada en \( Y \) para la norma \( ||| \cdot ||| \).
• Se define
  
  \( B=\text{conv}\left\{\dfrac{1}{C} B_X \cup B_2\right\} \)
  y es fácil ver que es convexo, equilibrado (balanced, yo lo traduzco así  ), acotado y contiene al cero como punto interior. Por tanto, el funcional de Minkowski para este conjunto es una norma equivalente en \( X \), la que llamaremos \( \left |{\cdot}\right | \), tal que su bola unidad cerrada es la clausura de \( B \).
• Por último se ve que \( B \cap Y = B_2 \) y de ello se concluye que efectivamente la norma \( \left |{\cdot}\right | \) induce en \( Y \) la norma \( ||| \cdot ||| \).

Algo no me cuadra en el último paso. No en la demostración de la igualdad entre conjuntos, que es sencilla, sino en que para probar que efectivamente la norma que hemos definido induce la deseada habría que ver realmente que \( \text{cl}(B) \cap Y = B_2 \), pues la bola unidad cerrada en la nueva norma es la clausura de \( B \), no el propio \( B \), ¿no?.

Si \( B \) fuera cerrado todo estaría claro, pero no veo demasiado claro que eso sea cierto en general, sobre todo para espacios de dimensión infinita (igual me equivoco claro) y más teniendo en cuenta que \( Y \) no tiene porque ser cerrado. Otra opción, sería también que \( B \cap Y = \text{cl}(B) \cap Y \), pero tampoco veo esto muy claro (sin lo anterior obviamente). En ningún lado se menciona nada de esto y no se si es que me he hecho un lío con algo muy tonto 

¿Alguna idea?

Un saludo y gracias por las respuestas.

[Luis Fuentes]

Hola

 He tenido que revisar un poco la teoría que está detrás de todo esto. Veamos si no digo algún disparate...

 Si he entendido bien la norma que se define con el funcional de Minkowsky a partir del conjunto \( B \) es:

\( |x|=inf\{t> 0|x/t\in B\}=inf\{t\geq 0|x\in tB\} \)

 Pero si \( x\in Y \) entonces \( x/t\in Y \) y entonces

 \( x/t\in B\quad \Longleftrightarrow{}\quad x/t\in B\cap Y=B_2 \)

 Entonces sin \( x\in Y \):

\( |x|=inf\{t> 0|x/t\in B_2\}=inf\{t\geq 0|x\in tB_2\} \)

 y eso es justo el funciona del Minkosky en \( Y \) asociado a la bola cerrada unidad \( B_2 \) de la norma \( |||{\cdot}||| \) y por tanto:

\( |x|=inf\{t> 0|x/t\in B_2\}=inf\{t\geq 0|x\in tB_2\}=|||x||| \)

 Por tanto la norma \( |\cdot| \) restringida a \( Y \) es justo la norma \( |||{\cdot}||| \) que es lo que queríamos probar.

Saludos.

[Eparoh]

Hola Luis.

Ahora mismo lo estoy viendo desde el móvil y andando por la calle, pero yo diría que está bien.

Cuando en la prueba se decía que con ver la última igualdad que proponía bastaba para asegurar que ambas normas eran iguales, yo entendía que utilizaba que dos espacios normados con las mismas bolas unidad tienen la misma norma, pero tal vez se refirieran al argumento que das, donde si se utiliza lo que yo digo, pero para saber que el funcional de Minkowski respecto de \( B_2 \) será precisamente la norma \( |||{\cdot}||| \) y poder concluir la última igualdad que muestras.

Muchas gracias por la ayuda. La verdad es que estaba muy bloqueado con esto y, viendo tu respuesta, me parece que fue precisamente por interpretar mal el "basta ver" tan típico en los libros de matemáticas

Un saludo.