[franma]

Buenas a todos,

Me encontraba repasando algunas pruebas viejas y me surgió una duda el siguiente lema:
Sean \( M,N \) variedades sin borde, orientadas y de la misma dimensión con \( M \) compacta y \( N \) conexa, sean \( f,g:M\to N \) mapas suaves homotopicos y \( y\in N \) valor regular de \( f \) y \( g \). Entonces \( \deg(f,y)=\deg(g,y) \).

Donde se define \( \displaystyle \deg(f,y):=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\text{sg} (df_x) \), donde \( \text{sg} \) es el signo como isomorfismo entre espacios vectoriales (orientados), es decir, vale \( 1 \) si el diferencial preserva orientación o \( -1 \) si la revierte.

Ya tengo algunos resultados previos:
(1) Si \( f \) es una restricción al borde e \( y \) es valor regular de \( f \) entonces \( \deg(f,y)=0 \)
(2) Si consideramos en \( [0,1]\times M \) la orientación producto y en \( \partial([0,1]\times M) \) la orientación borde (normal saliente) entonces los siguientes difeomorfismos de \( M\to [0,1]\times M \) cumplen: \( x\mapsto (0,x) \) revierte orientación mientras que \( x\to (1,x) \) la preserva.
(3) El grado de Brouwer se separa en componentes conexas, es decir, si \( M=X\cup Y \) con \( X,Y \) las componentes conexas de \( M \) entonces \( \deg(f,y)=\deg(f|_X,y)+\deg(f|_Y,y) \)

Ahora la prueba es como sigue:
Consideramos \( F:[0,1]\times M \to N \) la homotopia entre \( f \) y \( g \). Se puede ver fácilmente que \( y \) es un valor regular de \( F|_{\partial([0,1]\times M)} \) luego por el punto (1) se tiene que \( \deg(F|_{\partial([0,1]\times M)},y)=0 \) pero \( \partial([0,1]\times M)=0\times M \cup 1\times M \) así que por el punto (3) tenemos \( 0=\deg(F|_{\partial([0,1]\times M)},y)=\deg(F|_{0\times M},y)+\deg(F|_{1\times M},y) \).

Además se observa que \( F|_{0\times M}(0,x)=f(x) \) y \( F|_{1\times M}(1,x)=g(x) \)

Ahora, tengo escrito que por el punto (2) se deduce de lo de arriba que \( 0=-\deg(f,y)+\deg(g,y) \). Yo creo que es porque como \( x\mapsto (0,x) \) revierte orientación, la variedad \( 0\times M \) orientada como borde de \( [0,1]\times M \) es difeomorfa a \( M \) pero su orientación es "revertida" entonces de ahí el signo menos.

Argumentos parecidos de orientaciones "revertidas" para colocar signos de menos en el grado se usan mas adelante de forma similar, tal vez sea un argumento genérico y no lo este viendo

¿Alguna idea?

Saludos,
Franco.

[geómetracat]

Es justo lo que dices, que la variedad \( 0\times M \) vista como subvariedad del borde \( \partial([0,1]\times M) \)es difeomorfa a \( M \) pero con la orientación invertida.

Para verlo, considera un punto \( p \in M \), y sea \( \partial_1,\dots,\partial_n \) una base orientada de \( T_pM \). Entonces, en \( [0,1]\times M \) tienes (en \( T_{(t,p)}[0,1]\times M \)) que la orientación viene dada por la base orientada \( \partial_t,\partial_1,\dots, \partial_n \).

Ahora hay que ver qué orientaciones induce esta orientación producto en las componentes del borde: \( 0\times M \) y \( 1\times M \).
Para ello tomamos en cada caso un vector que apunte hacia fuera del borde, que sería \( -\partial_t \) en el primer caso y \( \partial_t \) en el segundo, y ahora consideramos la orientación inducida en \( M \), que es la que hace que al añadirle este vector que apunta hacia fuera del borde como primer vector de la base tengamos una base orientada en \( [0,1]\times M \).

En el primer caso, \( -\partial_t,-\partial_1,\dots,\partial_n \) es una base orientada de \( T_{(0,p)}M \), por lo que la orientación que se induce en \( T_pM \) es la dada por \( -\partial_1,\dots,\partial_n \), que es la opuesta de la orientación original en \( M \).

Análogamente, en el segundo caso, la orientación que se induce en \( T_pM \) es \( \partial_1,\dots,\partial_n \), que es la orientación original en \( M \).

[franma]

Hola geómetracat  ,

Esa parte de la cuenta me ha quedado clara, lo que me confunde ahora es lo siguiente, como pasamos de \( \deg (F|_{0\times M},y) \) a \( -\deg (f,y) \). Yo se que \( M \) y \( 0\times M \) son difeomorfas y que \( F|_{0\times M}(0,x)=f(x) \) pero no me queda clara la cuenta, ya que son "dominios" diferentes donde estamos calculando el grado.

Espero que se entienda mi duda.

Saludos,
Franco.

[geómetracat]

Esa parte de la cuenta me ha quedado clara, lo que me confunde ahora es lo siguiente, como pasamos de \( \deg (F|_{0\times M},y) \) a \( -\deg (f,y) \). Yo se que \( M \) y \( 0\times M \) son difeomorfas y que \( F|_{0\times M}(0,x)=f(x) \) pero no me queda clara la cuenta, ya que son "dominios" diferentes donde estamos calculando el grado.

Eso es porque el grado es invariante por difeomorfismos que preservan orientación. Esto se sigue de la definición: si tienes una aplicación \( f:M \to N \) y un difeomorfismo \( g:M' \to M \), entonces para todo valor regular de \( f \), \( y\in N \), se tiene que \( \deg(f,y)=\deg(f\circ g, y) \). Intenta demostrarlo a partir de la fórmula de la definición, debería resultarte sencillo (y si no sale, vuelve a preguntar).

De igual manera, si con las mismas notaciones que antes ahora \( g \) es un difeomorfismo que invierte orientación, entonces \( \deg(f,y)=-\deg(f\circ g, y) \). De nuevo, esto debería ser sencillo de demostrar, siendo la clave que si \( g \) invierte orientación tienes que \( sg(d(f\circ g)_{g^{-1}(x)})=-sg(df_x) \).

Ahora aplicando la primera parte al difeomorfismo (que preserva orientación) \( g:M \to 1\times M \) tienes que \( \deg(F|_{1\times M},y)=\deg(f,y) \), y aplicando la segunda parte al difeomorfismo (que invierte orientación) \( g:M \to 0\times M \) tienes que \( \deg(F|_{0\times M},y)=-\deg(f,y) \). Y con eso ya tienes lo que querías.

Cualquier duda adicional vuelve a preguntar.

[franma]

Hola geómetracat,

Perdona que no pude responder antes a este hilo, tuve el examen de topología diferencial y estuve ocupado con otros exámenes. Pude verificar lo que me dijiste y me sirvió mucho.

Un saludo,
Franco.

[manooooh]

Hola

Perdona que no pude responder antes a este hilo, tuve el examen de topología diferencial y estuve ocupado con otros exámenes. Pude verificar lo que me dijiste y me sirvió mucho.

Cuéntanos cómo te va. Me interesa saber lo que pueden tomar en un examen de topología diferencial.

¡Espero apruebes!

Saludos

[geómetracat]

Perdona que no pude responder antes a este hilo, tuve el examen de topología diferencial y estuve ocupado con otros exámenes. Pude verificar lo que me dijiste y me sirvió mucho.

No te preocupes. Me alegro de que te fuera útil la respuesta y espero que te fueran muy bien los exámenes.