[Richard R Richard]

Venías bien.

     La gravedad de una semiesfera  hueca con respecto al eje de las X, es igual pero de sentido contrario a la gravedad de la otra semiesfera  hueca  y por lo tanto las 2 se anulan.

Falso, cualquier conclusión seguida a esta , también lo será. La gravedad al interior de la esfera hueca es cero en las 3 direcciones espaciales.

En todo caso, demuestra que no es cero al interior, \( r<R \) además por las dudas \( r\neq R \)  luego llegaremos a hacer tender a la igualdad.

Observa entonces si es la misma función que al exterior que al interior para que se anule. Suerte.

Has cronometrado lo que tardé en darme cuenta que te equivocas.

[Carlos Ivorra]

Obviedades irrelevantes

hay algo   que quiero volver a recalcar pues es muy importante y lo hago con el siguiente esquema:
 

   
   1) Está claro que en el punto P, que está en el exterior de la  esfera, fuera de la superficie, tiene como resultado de la gravedad, en la componente Y,    \( E_y=0 \).
       Esto se explica desde el punto de vista físico, ya que cualquier punto de la esfera hueca, dm,  crea una  gravedad en la componente Y  en este punto P y luego existe otro punto de la superficie, en la semiesfera contraria, d'm, que crea la misma componente pero con signo contrario.

     Esto es debido a la simetría esférica de la esfera y que la fuerza que se crea por cada partícula es radial entre el punto de medida y la partícula que crea el campo.

[cerrar]

     Este mismo argumento es válido desde el punto de vista físico para el punto de la superficie de la esfera, P'. No hay nada diferente desde el punto de vista físico que haga que la \( E_y \) sea distinto de cero para este punto.

Que no veas nada diferente no quiere decir que no haya nada diferente ni mucho menos es una demostración de que no hay nada diferente. Sólo indica que el cuerno de un unicornio rosa se te ha metido en el ojo (y el de otro en el otro) y no te dejan ver nada.

Lo diferente es que el campo en un punto exterior de la esfera tiene significado físico y el campo en un punto de la esfera NO tiene significado físico. Que tú quieras decir lo contrario es algo que no podemos resolverte aquí. Pero no va a tener significado físico sólo por que tú lo digas.

Ya te explicamos que el campo en un punto de una esfera hueca NO tiene significado físico porque el espesor de un cascaón NO es despreciable a la hora de calcular el campo en un punto del propio cascarón. En cambio, sí que es despreciable cuando consideras puntos dentro o fuera del cascarón. Pero que no entiendas eso no significa que no sea verdad ni mucho menos que hayas demostrado que no es verdad.

Más obviedades irrelevantes

    Por lo tanto, el único valor posible  de la componente \(  E_y \)   en el punto de la superficie de la esfera hueca  es cero.

Es el único valor posible, en efecto, pero sólo en el sentido de que, si ha de tomar un valor, ha de ser cero. La otra posibilidad, que es la real, es que no toma ningún valor, porque no existe ni tiene significado físico.

    Esto es algo tan básico en física, pero no es que lo diga yo, sino que lo podéis encontrar este razonamiento,  en internet cuando se calcula el campo creado por cuerpos con simetría esférica. Os adjunto un ejemplo del cálculo del campo eléctrico de una cáscara  semiesférica, en coordenadas cartesianas, en su centro. Lo importante de este ejemplo es sólo para que veáis que  en los puntos del eje de simetría de  estas formas con simetría esférica, sólo se crea la componente según el eje de simetría y se anulan las otras dos de los ejes cartesianos.

     

[cerrar]

   Por lo tanto lo único que hay que calcular es la componente \( E_x \).

En puntos interiores o exteriores, así es. En puntos de la esfera no, porque ahí el cálculo no tiene significado físico y matemáticamente la integral no existe. Ya te lo he demostrado.

    En resumen desde el punto de vista físico, en una esfera hueca , utilizando las coordenadas cartesianas, sabemos que las componentes \( E_y \)  \( E_z \) se anulan  por simetría esférica y la definición del campo gravitatorio y sólo tenemos un valor distinto de cero en la componente \(  E_x \).

El campo que quieres calcular NO tiene significado físico, y no lo va a tener sólo porque tú no entiendas por qué no lo tiene.

   2)  De todas formas  estoy intentando armonizar lo que dice la física con las matemáticas y por ello continuo con el intento.

   Primero indicar que yo veo varios tipos de funciones a la hora de integrarlas según R,L, HK:

Pero tú ves unicornios rosa por todas partes, así que lo que veas no es de fiar.

   1) Funciones que por forma no pueden ser integradas según la definición R,L, HK. Las cuales no puedes dar dar ningún resultado de la integral, pues no se sabe cómo calcularla, no puedes hacer ningún tipo de cálculo. Para mí estas funciones no son integrables.

Eso es un disparate. Que una función sea integrable o no lo sea no depende para nada de lo que sepas o no sepas calcular. Para ti no son unicorniorrosaintegrables, pero eso es irrelevante.

   2) Funciones que sí se puede integrar según la definición R, L, HK, y por tanto puedes realizar la integral según la regla de Barrow y todas las demás propiedades de las integrales. Para mí  estas funciones son funciones integrables.

La definición de integral de Henstock-Kurzweil exige que el resultado sea finito. Si opinas lo contrario, escribe la definición y la discutimos. En cuanto a la integral de Lebesque, para integrandos no negativos se admite el valor infinito, pero si el integrando no es no negativo, una función integrable Lebesgue tiene integral finita por definición. En todo caso, podrías admitir un resultado infinito siempre que la integral de la parte positiva o de la parte negativa del integrando sea finito. Si ambos son infinitos, muéstrame una definición de integral de Lebesgue que admita un resultado infinito.

      a) Al realizar la integral el resultado sale un valor finito. Indica que el área que existe entre la función y el eje x es un número finito.

      b) Al realizar el cálculo de la integral el resultado es divergente. Indica que el área que existe entre la función y el eje x es  infinita.

      Tanto el caso a)  como el b) tiene un significado físico y nos da información precisa sobre esta función que estamos integrando. El que salga infinita es lo mismo que decir que la gravedad a una distancia de una masa puntual es infinita.

Esto ya es matemática de unicornios rosa. Muéstrame una definición de integral de Lebesgue o Henstock-Kurzweil que admita un resultado infinito. En cualquier caso, la integral HK definida en el libro que te cité sólo admite valores finitos (si opinas lo contrario, muéstrame la definición correspondiente) y así hay que entenderlo al leer los teoremas demostrados en ese libro.

Por otro lado indicar que  lo que demostré en mi último mensaje

 Sea un función f(x) que su integral diverge.   \( \int_a^b f(x) dx = + infinito \).

      Sea \( g(x)= 0  \)    la función nula  para todo x,  \( g(x) \) la podemos poner de la siguiente forma sencillamente:
      \( g(x)= f(x) - f(x),, \)

     Integrando ambas igualdades tenemos que la igualdad se mantiene:

    \( \int_a^b g(x) dx = 0 \)   y por tanto    \( 0=  \int_a^b f(x) dx - \int_a^b f(x) dx,, \)

     Por lo tanto   la resta de 2 integrales que divergen puede  resultar cero, sólo si ambas funciones son iguales.

Veo que hablo con una pared. Ya te expliqué que no es ése el caso de tu unicorniorrosademostración. En ella tienes una integral en un rectángulo y la descompones en suma de dos integrales en dos rectángulos menores, y has admitido que las integrales en esos rectángulos menores son infinitas, pero eso prueba que la función no es integrable en el rectángulo grande, por el teorema 2.2 que te cité. Si no entiendes eso, no veo qué podemos hacer para que lo entiendas.

   No le has dado la importancia que tiene, pues aquí te demuestro que es falso que siempre que una suma o resta de  integrales que alguna diverja el resultado  es divergente y esto lo utilices para decir que la integral suma también diverja.

No lo has demostrado. Sólo lo has unicorniorrosademostrado. Pero el teorema 2.2 demuestra que si una función es integrable en un rectángulo grande, entonces también lo es en cualquier rectángulo menor, y eso significa (lo sepas tú o no) que la integral en el rectángulo menor es finita. Todo lo demás son delirios tuyos.

Más unicornios rosa

   Hay sólo un caso que esto no se cumple y es cuando es una resta de las integrales de la misma función.  Y esto es incuestionable pues si esto no fuera así la integral de la función  \( f(x)=0 \) divergería, lo cual no es posible.

   Pero esto es precisamente lo que pasa en el caso de la componente \( E_y \).

     La gravedad de una semiesfera  hueca con respecto al eje de las X, es igual pero de sentido contrario a la gravedad de la otra semiesfera  hueca  y por lo tanto las 2 se anulan.

    Es el único caso que esto puede ocurrir.

[cerrar]

   Recordemos que:

\( \vec E_y =\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\theta, d\theta  -\frac{G\rho}{\sqrt 8}\int_{0}^{\pi}  B \cos\alpha  d\alpha =0 \)

donde B es
   \( B= \lim_{t\rightarrow 1^-}\left(\tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{t+1}}{\sqrt{2}}\right)-2 \sqrt{t+1}\right) \)

  Por tanto queda demostrado que la \( E_y = 0 \)  para  las 2 formas de integrar \( (x,\theta) \). 

¿Cuál es tu nivel de ignorancia?

a) No sabes que \( B \) da infinito.
b) Lo sabes y te da igual.

El teorema 2.2 demuestra que si esas dos integrales son infinitas, entonces el integrando NO es integrable en el rectángulo grande (que es tanto como decir que la función que te da el campo no es integrable en la esfera).

Tendrás que incluir el teorema 2.2. en el saco de teoremas de "la oficialidad" que son falsos porque no tienen en cuenta los unicornios rosa.

   De esta forma queda armonizada la Física y las Matemáticas.

Nunca han dejado de estar armonizadas. Lo que no está en armonía con la realidad son tus delirios.

Más bobadas ya sobrerrefutadas

   Carlos, ten en cuenta que las funciones \( f(x,\theta) \) que tenemos en todas las componentes son del tipo:

    \( f(x,\theta) = g(x) h(\theta) \),, donde las funciones \( g(x) \) y \( h(\theta) \) tienen primitivas y por lo tanto son integrables en HK.

     Y tu sabes que este tipo de funciones cuando es un producto con las variables separadas,  siempre cumple el teorema de Fubini, da igual  en el orden que se integre el resultado es el mismo. Por lo tanto siempre podemos asignar cualquiera de las 2 formas de integrar  como resultado  final de la integral,

    Por lo tanto  Carlos si quieres discutir sobre  la gravedad de esta esfera hueca en su superficie en coordenadas cartesianas  debe ser sobre la componente E_x.
   Que como ves no hay ningún problema para calcular su integral   resultando

   \( \vec E_x=-\frac{GM}{2R^2} \vec i \)

   Que como ves sale exactamente igual que el cálculo que llevamos haciendo en coordenadas esféricas. Lo cual no podía ser de otra forma.

[cerrar]

[DCM]

Hola de nuevo Carlos,

     1) Te recuerdo que el hilo del cálculo del campo de gravedad de esferas huecas de espesor infinitesimal. Sí  las que decías que me las había inventado, que eso no existía.
      Ya quedó claro atrás que sí existían  estas esferas  y que el campo se calculaba igual que el caso de una esfera hueca de espesor cero.

     ¿tiene sentido o significado físico, calcular la gravedad que existe en un punto de la superficie exterior de una cascarón esférico de un espesor, d?. Claro que  lo tiene.
    Bien pues estas esferas huecas de espesor infinitesimal, son cascarones esféricos que su espesor d no es nulo pero d--> 0.

    Por lo tanto, tiene el mismo significado físico calcular la gravedad que se genera en la superficie exterior de estas esferas huecas de espesor infinitesimal.

    Pues sí, el significado físico es el mismo para un cascarón de espesor, d ,finito que para uno con un espesor infinitamente pequeño.

2)



   Estudiando desde el punto de vista físico, el punto en P y P', observan la misma simetría en la distribución de las masas que forman la esfera hueca. La misma simetría.
     Por  lo tanto  si en P, las componentes \( E_y \), \( E_z \),  se anulan por la simetría esférica, en el punto P', se anularán de la misma forma.

      El punto P y P' no entienden de integración ni nada de esto, ellos entienden de si existe simetría de las masas  para  saber si alguna componente  se anularán.
     Por lo tanto las componentes \( E_y=E_z=0 \). No por integración de funciones sino desde el punto de vista físico, de lo que marca la física.

     Pero esto ya estaba claro desde el principio, incluso Masacroso lo compartió con nosotros:

Bueno, parece que es cierto que hay una discontinuidad, me he entretenido en hacer todo el cálculo, aunque de una manera más rigurosa:

Se define la fuerza gravitatoria generada por una masa puntual $$M$$ en posición $$p$$ en una masa puntual $$m$$ en posición $$q$$ como

$$
\mathbf{F}(q):=\frac{GmM}{\|p-q\|^3}(p-q)\tag1
$$

siendo $$G$$ la constante de gravitación universal. Si la masa está distribuida uniformemente sobre un cuerpo $$C$$ de densidad $$\rho$$ entonces la fuerza sobre $$q$$ vendrá dada por

$$
\mathbf{F}(q)=\int_{C}d\mathbf{F}=\int_{C}\frac{G\rho m}{\|p-q\|^3}(p-q)\,d V\tag2
$$

donde $$dV$$ is la forma de volumen correspondiente al cuerpo $$C$$. Para el caso de una esfera de radio $$R$$ se tiene que $$dV=R^2 \operatorname{sen}\theta\, d\varphi \,d\theta$$, para $$\varphi \in[0,2\pi)$$ y $$\theta \in[0,\pi)$$. Si definimos $$q:=(0,0,r)$$ entonces tenemos que

$$
\begin{align*}
&p-q=(R\cos \varphi\operatorname{sen}\theta , R \operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\theta ,R \cos \theta -r)\tag3\\[1em]
&\|p-q\|^2=R^2+r^2-2rR \cos \theta \tag4
\end{align*}
$$

Ahora bien, si $$r\neq R$$ entonces (2) es Bochner-integrable, por lo que podemos aplicar el teorema de Fubini, quedando únicamente la componente en $$z$$ de la integral, es decir que

$$
\mathbf{F}(q)=\mathbf{K}\int_{0}^{\pi} \frac{\operatorname{sen}\theta(R\cos \theta -r)}{(R^2+r^2-2rR\cos \theta )^{3/2}}\,d \theta,\quad \mathbf{K}:=\boldsymbol{\hat z}\,G\rho m R^22\pi \tag5
$$

     donde decía  " quedando únicamente la componente en z de la integral" ( el sistema de referencia había cambiado la z por la x de ahora).


  3)  Esto de las integrales que divergen es semejante a lo que pasa con los límites de una función, cuando su variable tiene a un punto, que divergen:

     En general   si \(  lim(x-->a) f(x)=+ infinito \)   y \( lim(x-->a) g(x)=+ infinito \)

      \( lim(x->a) (f(x)-g(x)) \)  no sabemos lo que sale, es una indeterminación y habría que ver qué definición tiene ambas funciones para saber el resultado final.

     Pero qué pasa si \( f(x) = g(x) \)

         Lo que ocurre es  que \( lim(x->a) (f(x)+g(x)) = 0 \).  Aquí no hay indeterminación alguna.

     En integrales impropias que divergen  ocurre lo mismo y es lo que os he explicado en mi anterior mensaje.

      En general  la diferencia de 2 integrales que divergen,  diverge, a excepción de que las 2 integrales sea la misma expresión algebraica, en cuyo caso la integral sale 0.

    Y esto lo he demostrado así,  pues si esto no ocurriese así la integral de la función f(x) = 0  entre cualquier límites de integración  tendría que ser divergente, lo cual es absolutamente erróneo.

4) Por último el que una integral sea divergente,  solo indica que el área de la curva que hay entre la función y el eje de la variable es infinito. Y esto tiene  cabida en la física sin ningún problema.

    Adjunto un vídeo que  explica  mejor el significado de esto.

   https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-13/v/divergent-improper-integral
    Un saludo.

[Carlos Ivorra]

     1) Te recuerdo que el hilo del cálculo del campo de gravedad de esferas huecas de espesor infinitesimal. Sí  las que decías que me las había inventado, que eso no existía.

Te dije, y mantengo, que hablar de esferas de espesor infinitesimal es una forma poco rigurosa de interpretar la integración por capas de un cascarón esférico, considerando que \( dr \) es un incremento infinitesimal del radio, pero eso carece de todo rigor y en una exposición seria del cálculo no tiene cabida, por más que heurísticamente sirva para recordar ciertos procedimientos de cálculo.

Lo que no tiene ningún sentido es considerar una esfera de espesor infinitesimal como objeto en sí mismo, y calcularle su campo gravitatorio.

      Ya quedó claro atrás que sí existían  estas esferas  y que el campo se calculaba igual que el caso de una esfera hueca de espesor cero.

Te quedaría claro a ti que sí que existen, que es una forma perifrástica de decir que no existen.

     ¿tiene sentido o significado físico, calcular la gravedad que existe en un punto de la superficie exterior de una cascarón esférico de un espesor, d?. Claro que  lo tiene.

Sin duda.

    Bien pues estas esferas huecas de espesor infinitesimal, son cascarones esféricos que su espesor d no es nulo pero d--> 0.

Eso es una fantasmada de las tuyas. Si hablas de una esfera en concreto, tendrá un espesor d concreto. No tiene sentido decir que tiende a 0. Si lo haces tender a 0 tienes una esfera distinta para cada d, no una única esfera cuyo espesor tiende a 0.

    Por lo tanto, tiene el mismo significado físico calcular la gravedad que se genera en la superficie exterior de estas esferas huecas de espesor infinitesimal.

Si te refieres a una esfera de un espesor d no nulo, claro que tiene sentido, y su valor es \( GM/R^2 \), donde \( R \) es el radio exterior, siempre entendiendo que el radio interior es un \( r<R \).

    Pues sí, el significado físico es el mismo para un cascarón de espesor, d ,finito que para uno con un espesor infinitamente pequeño.

Eso es otra fantasmada de las tuyas sin rigor ni significado alguno.

2)



   Estudiando desde el punto de vista físico, el punto en P y P', observan la misma simetría en la distribución de las masas que forman la esfera hueca. La misma simetría.
     Por  lo tanto  si en P, las componentes \( E_y \), \( E_z \),  se anulan por la simetría esférica, en el punto P', se anularán de la misma forma.

      El punto P y P' no entienden de integración ni nada de esto, ellos entienden de si existe simetría de las masas  para  saber si alguna componente  se anularán.
     Por lo tanto las componentes \( E_y=E_z=0 \). No por integración de funciones sino desde el punto de vista físico, de lo que marca la física.

Todo eso estaría muy bien si el integrando fuera integrable, pero cuando el punto está sobre la esfera el integrando NO es integrable, y no lo será sólo porque lo repitas una y otra vez. Ya te he demostrado que NO es integrable, y tú sólo dices que no ves por qué no tendría que serlo, y que tú no lo veas por qué no lo es no demuestra que lo sea, sólo demuestra que necesitas gafas.

     Pero esto ya estaba claro desde el principio, incluso Masacroso lo compartió con nosotros:

Bueno, parece que es cierto que hay una discontinuidad, me he entretenido en hacer todo el cálculo, aunque de una manera más rigurosa:

Se define la fuerza gravitatoria generada por una masa puntual $$M$$ en posición $$p$$ en una masa puntual $$m$$ en posición $$q$$ como

$$
\mathbf{F}(q):=\frac{GmM}{\|p-q\|^3}(p-q)\tag1
$$

siendo $$G$$ la constante de gravitación universal. Si la masa está distribuida uniformemente sobre un cuerpo $$C$$ de densidad $$\rho$$ entonces la fuerza sobre $$q$$ vendrá dada por

$$
\mathbf{F}(q)=\int_{C}d\mathbf{F}=\int_{C}\frac{G\rho m}{\|p-q\|^3}(p-q)\,d V\tag2
$$

donde $$dV$$ is la forma de volumen correspondiente al cuerpo $$C$$. Para el caso de una esfera de radio $$R$$ se tiene que $$dV=R^2 \operatorname{sen}\theta\, d\varphi \,d\theta$$, para $$\varphi \in[0,2\pi)$$ y $$\theta \in[0,\pi)$$. Si definimos $$q:=(0,0,r)$$ entonces tenemos que

$$
\begin{align*}
&p-q=(R\cos \varphi\operatorname{sen}\theta , R \operatorname{sen}\varphi \operatorname{sen}\theta ,R \cos \theta -r)\tag3\\[1em]
&\|p-q\|^2=R^2+r^2-2rR \cos \theta \tag4
\end{align*}
$$

Ahora bien, si $$r\neq R$$ entonces (2) es Bochner-integrable, por lo que podemos aplicar el teorema de Fubini, quedando únicamente la componente en $$z$$ de la integral, es decir que

$$
\mathbf{F}(q)=\mathbf{K}\int_{0}^{\pi} \frac{\operatorname{sen}\theta(R\cos \theta -r)}{(R^2+r^2-2rR\cos \theta )^{3/2}}\,d \theta,\quad \mathbf{K}:=\boldsymbol{\hat z}\,G\rho m R^22\pi \tag5
$$

     donde decía  " quedando únicamente la componente en z de la integral" ( el sistema de referencia había cambiado la z por la x de ahora).

Masacroso dice "si \( r\neq R \)" entonces el integrando es integrable, y sólo entonces vale lo que dice luego. Si de cada frase lees sólo lo que te interesa y te olvidas de lo que no te interesa, nunca te faltarán unicornios rosa que te lleven a unicorniorrosalandia, donde los sueños que te atreves a soñar se hacen realidad.

Palabrería de charlatán

  3)  Esto de las integrales que divergen es semejante a lo que pasa con los límites de una función, cuando su variable tiene a un punto, que divergen:

     En general   si \(  lim(x-->a) f(x)=+ infinito \)   y \( lim(x-->a) g(x)=+ infinito \)

      \( lim(x->a) (f(x)-g(x)) \)  no sabemos lo que sale, es una indeterminación y habría que ver qué definición tiene ambas funciones para saber el resultado final.

     Pero qué pasa si \( f(x) = g(x) \)

         Lo que ocurre es  que \( lim(x->a) (f(x)+g(x)) = 0 \).  Aquí no hay indeterminación alguna.

     En integrales impropias que divergen  ocurre lo mismo y es lo que os he explicado en mi anterior mensaje.

      En general  la diferencia de 2 integrales que divergen,  diverge, a excepción de que las 2 integrales sea la misma expresión algebraica, en cuyo caso la integral sale 0.

    Y esto lo he demostrado así,  pues si esto no ocurriese así la integral de la función f(x) = 0  entre cualquier límites de integración  tendría que ser divergente, lo cual es absolutamente erróneo.

4) Por último el que una integral sea divergente,  solo indica que el área de la curva que hay entre la función y el eje de la variable es infinito. Y esto tiene  cabida en la física sin ningún problema.

    Adjunto un vídeo que  explica  mejor el significado de esto.

   https://es.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-integration-new/bc-6-13/v/divergent-improper-integral
    Un saludo.

[cerrar]

No voy a repetirte lo mismo una y otra vez. Esto ya está sobradamente refutado. Te he demostrado que la integral que quieres calcular NO existe, y tu cháchara no hará que exista. Te he demostrado que si la integral en la esfera es finita, la integral en media esfera también tendría que serlo, y hasta tú admites que la integral en media esfera es infinita. Si no lo entiendes, es que no tienes remedio.

Yo sólo intervengo en este hilo para que ningún visitante casual que pase por el foro pueda creer que aquí se da por bueno nada de lo que dices, y quede claro que todo cuanto dices tiene su refutación. Sería un desprestigio para el foro que alguien pudiera creer que alguien aquí te toma en serio o cree que tus argumentos pueden tener algún peso. Pero estás oponiendo vaguedades de charlatán contra teoremas matemáticos, y eso lo puede advertir cualquiera. Con eso basta.

[DCM]

No voy a repetirte lo mismo una y otra vez. Esto ya está sobradamente refutado. Te he demostrado que la integral que quieres calcular NO existe, y tu cháchara no hará que exista. Te he demostrado que si la integral en la esfera es finita, la integral en media esfera también tendría que serlo, y hasta tú admites que la integral en media esfera es infinita. Si no lo entiendes, es que no tienes remedio.

Yo sólo intervengo en este hilo para que ningún visitante casual que pase por el foro pueda creer que aquí se da por bueno nada de lo que dices, y quede claro que todo cuanto dices tiene su refutación. Sería un desprestigio para el foro que alguien pudiera creer que alguien aquí te toma en serio o cree que tus argumentos pueden tener algún peso. Pero estás oponiendo vaguedades de charlatán contra teoremas matemáticos, y eso lo puede advertir cualquiera. Con eso basta.

     Hola  Carlos de nuevo, y a todos los presentes. Deciros lo siguiente:

  1)  Sobre  las esferas huecas de espesor infinitesimal,  decirte que son tan antiguas como la propia teoría de la gravedad de Newton, ya las utilizó Newton  en el estudio de la gravedad de esferas macizas. Esto está aquí abajo descrito:

   En  "PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA"  escrito por Newton,  en la sección XII DE LAS FUERZAS ATRACTIVAS DE CUERPOS ESFÉRICOS,
    En el ESCOLIO Y PROPOSICIÓN LXXIV. TEOREMA XXXIV, dice lo siguiente:
 



   En definitiva dice que las esferas macizas se consideran como un conjunto infinito de esferas huecas   cuyo espesor tiende a infinito. Con este argumento , aplicando,  lo que  obtuvo para esferas de superficies matemática ( de espesor cero)  y considerando que ese mismo efecto es producido por esferas hueca de  espesor tendiendo a cero, llegó a obtener  que la fuerza que se ejerce sobre un corpúsculo a la esfera es inversamente proporcional a la distancia entre el corpúsculo  y  el centro de la esfera.

     En resumen,  quizás fuera Newton el inventor de las esferas huecas de espesor que tiende a cero ( espesor infinitesimal), hace más de 300 años  y al día de hoy se utiliza igualmente con el mismo significado que desde entonces, como os puse en el enlace de mensajes atrás.  Y desde Newton  está aceptado que  el efecto, con respecto de la gravedad, que provoca las esferas huecas de espesor cero es igual al que provoca las esferas huecas de espesor que tiende a cero pues sin esto nunca hubiera podido llegar a concluir lo dicho en el TEOREMA XXXIV.

    Con todo lo que os he expuesto sobre este tema, está claro que yo no inventé nada  como se pretendió dar a entender  en este hilo y aquí está la prueba.
   Por lo tanto  una esfera hueca de espesor cero es un modelo matemático pero igualmente la esfera hueca de espesor infinitesimal es otro modelo matemático que es más realista que el primero, debido a que tiene espesor como las esferas de la realidad ( por lo tanto está formada por 2 superficies esféricas), sólo que su espesor infinitamente pequeño y  por ello podemos considerarla como si fuera una esfera hueca con una densidad superficial. Y por lo dicho anteriormente la  gravedad que genera  la esfera hueca de espesor infinitesimal se calcularía como si fuera una  esfera hueca de densidad superficial.


  2)  Por otro lado  vuelvo  a incidir en el error que estás cometiendo sobre las componentes \( E_z \) y \( E_y \).

      Carlos, desde el punto de vista físico, en el sistema de referencia que has planteado,  cualquier punto de eje X (dentro, fuera o en la superficie) las componentes del campo gravitatorio E_y=E_z=0,  por la simetría esférica que existe. Aquí hay físicos que están siguiendo este hilo y les pido que digan la verdad sobre esto. Esto no tiene nada que ver con integración.

     El problema lo tienes  debido a que según tus conocimientos en integrales te sale que no es integrable la función en  un punto de la superficie.
     Pero lo que no hay duda alguna es que \( E_y=E_z= 0 \), desde el punto de vista físico.

    Te vuelvo a recalcar:

      a) Como ya te he dicho en mi mensaje anterior, esto estaba ya más que asumido, te pongo el mensaje de Masacroso siguiente al anterior que puse, en el que ya hace la integral como se hacen las integrales impropias y dice:

La integral \( \int_{R\mathbb{S}^2}d\mathbf{F} \) para \( r=R \) no existe como tal, por eso decía que podía, en todo caso, asumirse como impropia. El tema aquí es que no puedes plantear ninguna integral iterada derivada de la original, con ningún tipo de coordenadas, cuando el integrando no es absolutamente integrable en la integral original, que es lo que ocurre en este caso.

Pero si tomas \( r=R \) y defines \( U_\epsilon :=\{p\in R\mathbb{S}^2: \|p-q\|\leqslant \epsilon \} \) para \( \epsilon >0 \) y \( E_\epsilon :=R \mathbb{S}^2\setminus U_\epsilon  \) entonces el integrando vuelve a ser absolutamente integrable en \( E_{\epsilon } \) y tienes que

\( \displaystyle{
\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{E_\epsilon }d\mathbf{F}=-\frac{GmM}{2R^2}\boldsymbol{\hat z}
} \)

  Fijate que  su resultado final  de la fuerza gravitatoria sólo tiene  una componente la z (en nuestro caso es la x).  Por lo tanto las otras 2 componentes se anulan.


    b) Cuando tenemos una función que queremos integrar,  lo primero que debemos de analizar es si esta función es integrable o no  por algunas de las definiciones de integrales (Lebesgue, HK, etc), analizando las discontinuidades, si está acotada  o no o si tiene primitivas, etc.
      Si una función cuyo  conjunto de discontinuidades  no sea medida nula, ya no es integrable de ninguna forma, pero si el conjunto  de discontinuidades es de medida nula, ya tenemos la posibilidad que sea  integrable por Lebesgue o HK, tendríamos que analizar si la función está acotada o no, pues si no está acotada entonces no es integrable por Lebesgue.
      Pero lo importante en el caso de  la integral HK es que esa condición de función acotada  desaparece y sólo con tener primitiva la función es integrable en HK. Lo cual es genial, pues las funciones en física lo cumple  prácticamente  todas y en este caso particular  que estamos, así es, las funciones a integrar todas tienen primitivas.
    Una vez que ya sabemos que podemos integrar la función, que es integrable, pasamos a realizar el cálculo de esa integral y eso se hace con la regla de Barrow y con todas las propiedades que tenemos sobre funciones integrables,  como ya sabemos.

   El resultado que obtenemos de ese cálculo,  corresponde al área que queda entre la función y el eje  de la variable.  En física esta integral representará a una   magnitud de una variable física que estamos estudiando y al realizar la integral nos indica qué valor tiene esa variable física en un punto determinado.
      El resultado de la integral finita indica que la magnitud de esa variable física  es finita y el resultado infinito indica que esa magnitud es infinitamente grande, igual que ocurre cuando calculamos el campo a una distancia cero de una partícula de masa puntual.
    El resultado de una integral  con resultado infinito, en física, sólo significa que su magnitud es infinitamente grande, pero no invalida nada del cálculo realizado y tiene su significado físico.
   Todas las funciones que tenemos que integrar  para  calcular   la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal,  en todas sus componentes, sean cuales sean el sistema de coordenadas utilizado, son funciones que tienen primitiva por lo tanto son integrables HK.
     Al mismo tiempo todas las funciones \( f(x,\theta)= h(x) . g(\theta) \)        donde siempre las funciones h y g   tienen primitivas (por lo tanto son integrables en HK)  y como ya os he  comentado, cuando las variables están separadas en funciones distintas y es un producto de 2 funciones, en este caso el Teorema de Fubini se cumple siempre y  además realizando el cálculo  de estas integrales   siempre sale un valor finito tanto en la coordenada \( E_x \), como en las \( E_y \) \( E_z \) que ambas se anulan.

    Tu  problema Carlos es que dices que  si en una resta de integrales una de ellas diverge, la resta diverge y dices que no es integrable.
    Pero esto  no es cierto  para un  único caso,  es en el caso de que sea la diferencia de la integral de la misma función.  Esto lo entiendes perfectamente, pero no  eres capaz de asumirlo.  Date cuenta que si en este caso la función resta,  divergería, implicaría que la función f(x) = 0 para todo x, divergería también, lo cual es imposible. Lo cual llegaríamos a un absurdo. ¿Tienes algún argumento para rebatir esto?

      Pues en este  caso es  en lo que  te anclas para decir que la E_y E_z no son integrables ,pero como te explico tus argumentos no son ciertos.

    En resumen  estamos analizando el campo gravitatorio de las esferas huecas y esto está haciendo tambalear las bases de la física en gravedad e incluso en las integrales matemáticas.

    Ya lo dije en otro mensaje anterior pero quiero recalcar que  el resultado de la gravedad en la superficie exterior de una esfera hueca de espesor infinitesimal sea \( g=\frac{GM}{2R^2}=2 \pi G \sigma \) , tiene una importancia enorme para mí pues fue lo que me  orientó en el entendimiento de lo que  realmente está ocurriendo en estas esferas huecas.

   Tuve que partir de lo  más básico en física de la gravedad para que no tuviera ninguna duda que lo que saliera era correcto.

    1) Partí de que la gravedad que genera una partícula en el infinito es cero y de ahí como ya sabéis obtuve el mismo resultado que el obtenido en la integral. Este análisis no tiene nada que ver con el de la integral que tanto se está discutiendo. De tal forma que  ahora ya no es necesario hablar de integrales para llegar al mismo resultado.

    2) Partí  del cálculo del flujo que crea el campo  de un dm de la esfera hueca, sobre una doble superficie gaussiana  esférica que envolvía a la esfera hueca, llegando a la misma conclusión que antes pero ahora desde otra perspectiva completamente distinta e independiente de las otras 2 anteriores.

   En definitiva  he llegado a obtener lo mismo  desde 3 caminos distintos e independiente lo cual para mí es muy alentador, aunque lo obtenido es muy disruptivo y difícil de digerir.

   

        Un saludo.

[Carlos Ivorra]

Fantasmadas varias

  1)  Sobre  las esferas huecas de espesor infinitesimal,  decirte que son tan antiguas como la propia teoría de la gravedad de Newton, ya las utilizó Newton  en el estudio de la gravedad de esferas macizas. Esto está aquí abajo descrito:

   En  "PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA"  escrito por Newton,  en la sección XII DE LAS FUERZAS ATRACTIVAS DE CUERPOS ESFÉRICOS,
    En el ESCOLIO Y PROPOSICIÓN LXXIV. TEOREMA XXXIV, dice lo siguiente:
 



   En definitiva dice que las esferas macizas se consideran como un conjunto infinito de esferas huecas   cuyo espesor tiende a infinito. Con este argumento , aplicando,  lo que  obtuvo para esferas de superficies matemática ( de espesor cero)  y considerando que ese mismo efecto es producido por esferas hueca de  espesor tendiendo a cero, llegó a obtener  que la fuerza que se ejerce sobre un corpúsculo a la esfera es inversamente proporcional a la distancia entre el corpúsculo  y  el centro de la esfera.

     En resumen,  quizás fuera Newton el inventor de las esferas huecas de espesor que tiende a cero ( espesor infinitesimal), hace más de 300 años  y al día de hoy se utiliza igualmente con el mismo significado que desde entonces, como os puse en el enlace de mensajes atrás.  Y desde Newton  está aceptado que  el efecto, con respecto de la gravedad, que provoca las esferas huecas de espesor cero es igual al que provoca las esferas huecas de espesor que tiende a cero pues sin esto nunca hubiera podido llegar a concluir lo dicho en el TEOREMA XXXIV.

    Con todo lo que os he expuesto sobre este tema, está claro que yo no inventé nada  como se pretendió dar a entender  en este hilo y aquí está la prueba.
   Por lo tanto  una esfera hueca de espesor cero es un modelo matemático pero igualmente la esfera hueca de espesor infinitesimal es otro modelo matemático que es más realista que el primero, debido a que tiene espesor como las esferas de la realidad ( por lo tanto está formada por 2 superficies esféricas), sólo que su espesor infinitamente pequeño y  por ello podemos considerarla como si fuera una esfera hueca con una densidad superficial. Y por lo dicho anteriormente la  gravedad que genera  la esfera hueca de espesor infinitesimal se calcularía como si fuera una  esfera hueca de densidad superficial.

[cerrar]

Hay que tener valor para citar a Newton, cuando, precisamente en sus Principia, Newton calcula el campo gravitatorio de una esfera hueca que tu ignorancia dice que está mal.

En efecto, Newton habla de esferas de espesor infinitesimal, y eso es así porque tanto Newton como Leibniz, inventores del cálculo infinitesimal, hablaban de cosas infinitesimales como si nada, pero los matemáticos no tardaron en señalar que esos usos salvajes de infinitesimales no eran rigurosos ni fiables. Y ello llevó a más de un siglo de fundamentación del cálculo infinitesimal que culminó con la eliminación completa de los infinitésimos.

Los razonamientos de Newton, Leibniz, los Bernoulli, Euler, etc. sobre cálculo infinitesimal son correctos precisamente por el hecho de que todos ellos (bueno, todos los correctos, que incorrectos también había un puñado) pueden ser expresados sin hacer ninguna referencia a infinitésimos. Un razonamiento con infinitésimos (o un concepto que involucre infinitésimos, como tu concepto de esfera de espesor infinitesimal) sólo es admisible en la medida en que pueda reformularse sin hablar para nada de infinitésimos. Por ejemplo, el cálculo de una integral sobre una esfera maciza que se obtiene descomponiéndola en capas esféricas de espesor infinitesimal puede ser correcto porque, si no haces barbaridades, puedes reducirlo a un cambio de variables a coordenadas esféricas que no requiere hablar para nada de infinitésimos. Pero tus usos de esferas de espesor infinitesimal no pueden reformularse sin infinitésimos (y, si opinas lo contrario, hazlo, reformúlalos sin usar infinitésimos), por lo que no tienen rigor alguno.

Espero que no te dé por darte el pegote hablando de análisis no estándar igual que trataste de darte el pegote hablando de la integral de Kurzweil-Henstock, que en realidad es totalmente prescindible para este contexto, pues en sus términos se puede refutar igualmente toda tu unicorniorrosaintegración, pero, por si tienes la tentación, me anticipo aclarando a los posibles lectores de este hilo (ya que tú tienes las ideas demasiado confusas como para que se te pueda aclarar nada) que en el contexto del análisis no estándar puedes considerar esferas de espesor infinitesimal, ciertamente, pero son objetos no estándar que dan lugar a campos gravitatorios no estándar, al menos cuando quieres calcularlos sobre puntos de la propia esfera. Más concretamente, lo que sucede es que si consideras puntos de la esfera a distancias diferentes del centro (lo que exige que estén infinitamente próximos), los módulos del campo en dichos puntos no están necesariamente infinitamente próximos, lo que, si lo intentas traducir al análisis estándar, se corresponde con que el campo no está definido sobre la propia esfera.

  2)  Por otro lado  vuelvo  a incidir en el error que estás cometiendo sobre las componentes \( E_z \) y \( E_y \).

      Carlos, desde el punto de vista físico, en el sistema de referencia que has planteado,  cualquier punto de eje X (dentro, fuera o en la superficie) las componentes del campo gravitatorio E_y=E_z=0,  por la simetría esférica que existe. Aquí hay físicos que están siguiendo este hilo y les pido que digan la verdad sobre esto. Esto no tiene nada que ver con integración.

El argumento de simetría sólo te dice que SI la integral existe, sus componentes y, z tienen que ser nulas, pero no demuestra que la integral exista, que es lo que sucede en este caso (que no existe). Por lo tanto, NO puedes apelar a la simetría para justificar que \( E_y = E_z = 0 \) porque para ello tendrías que justificar previamente que las integrales que definen a \( E_y, E_z \) existen, y ya te he demostrado que NO existen.

     El problema lo tienes  debido a que según tus conocimientos en integrales te sale que no es integrable la función en  un punto de la superficie.
     Pero lo que no hay duda alguna es que \( E_y=E_z= 0 \), desde el punto de vista físico.

Ya te hemos explicado que, desde el punto de vista físico el campo gravitatorio de una esfera hueca no está definido sobre la esfera porque el grosor de un casquete esférico no es despreciable por muy pequeño que éste sea cuando tratas de calcular el campo en un punto del propio casquete, y eso hace inviable considerar que el grosor es nulo. Y mucho menos infinitesimal, porque cualquier cosa con sentido que pudieras decir sobre esferas de espesor infinitesimal tendrías que poder expresarla sin hacer referencia a infinitésimos, y en este caso no puedes (y, si puedes, muestra cómo).

    Te vuelvo a recalcar:

      a) Como ya te he dicho en mi mensaje anterior, esto estaba ya más que asumido, te pongo el mensaje de Masacroso siguiente al anterior que puse, en el que ya hace la integral como se hacen las integrales impropias y dice:

La integral \( \int_{R\mathbb{S}^2}d\mathbf{F} \) para \( r=R \) no existe como tal, por eso decía que podía, en todo caso, asumirse como impropia. El tema aquí es que no puedes plantear ninguna integral iterada derivada de la original, con ningún tipo de coordenadas, cuando el integrando no es absolutamente integrable en la integral original, que es lo que ocurre en este caso.

Pero si tomas \( r=R \) y defines \( U_\epsilon :=\{p\in R\mathbb{S}^2: \|p-q\|\leqslant \epsilon \} \) para \( \epsilon >0 \) y \( E_\epsilon :=R \mathbb{S}^2\setminus U_\epsilon  \) entonces el integrando vuelve a ser absolutamente integrable en \( E_{\epsilon } \) y tienes que

\( \displaystyle{
\lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{E_\epsilon }d\mathbf{F}=-\frac{GmM}{2R^2}\boldsymbol{\hat z}
} \)

  Fijate que  su resultado final  de la fuerza gravitatoria sólo tiene  una componente la z (en nuestro caso es la x).  Por lo tanto las otras 2 componentes se anulan.

Todo lo que dice Masacroso es correcto, lo cual no apoya nada de lo que dices tú. Él calcula una integral que sí que existe (al quitar el entorno \( U_\epsilon \)) y calcula un límite que sí que existe y da lo que él dice. Pero el problema de que el integrando no sea integrable es que, cambiando los entornos \( U_\epsilon \) por otros entornos elegidos con mala idea, puedes hacer que el mismo límite de casi cualquier resultado. En particular, puedes hacer que las componentes \( E_y, E_z \) no sean nulas y valgan lo que tú quieras a priori. Por eso el límite que calcula no tiene ningún significado matemático (más allá de lo que literalmente significa, un límite de ciertas integrales) ni mucho menos físico.

Trampas de tahúr

    b) Cuando tenemos una función que queremos integrar,  lo primero que debemos de analizar es si esta función es integrable o no  por algunas de las definiciones de integrales (Lebesgue, HK, etc), analizando las discontinuidades, si está acotada  o no o si tiene primitivas, etc.
      Si una función cuyo  conjunto de discontinuidades  no sea medida nula, ya no es integrable de ninguna forma, pero si el conjunto  de discontinuidades es de medida nula, ya tenemos la posibilidad que sea  integrable por Lebesgue o HK, tendríamos que analizar si la función está acotada o no, pues si no está acotada entonces no es integrable por Lebesgue.
      Pero lo importante en el caso de  la integral HK es que esa condición de función acotada  desaparece y sólo con tener primitiva la función es integrable en HK. Lo cual es genial, pues las funciones en física lo cumple  prácticamente  todas y en este caso particular  que estamos, así es, las funciones a integrar todas tienen primitivas.
    Una vez que ya sabemos que podemos integrar la función, que es integrable, pasamos a realizar el cálculo de esa integral y eso se hace con la regla de Barrow y con todas las propiedades que tenemos sobre funciones integrables,  como ya sabemos.

   El resultado que obtenemos de ese cálculo,  corresponde al área que queda entre la función y el eje  de la variable.  En física esta integral representará a una   magnitud de una variable física que estamos estudiando y al realizar la integral nos indica qué valor tiene esa variable física en un punto determinado.
      El resultado de la integral finita indica que la magnitud de esa variable física  es finita y el resultado infinito indica que esa magnitud es infinitamente grande, igual que ocurre cuando calculamos el campo a una distancia cero de una partícula de masa puntual.
    El resultado de una integral  con resultado infinito, en física, sólo significa que su magnitud es infinitamente grande, pero no invalida nada del cálculo realizado y tiene su significado físico.
   Todas las funciones que tenemos que integrar  para  calcular   la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal,  en todas sus componentes, sean cuales sean el sistema de coordenadas utilizado, son funciones que tienen primitiva por lo tanto son integrables HK.
     Al mismo tiempo todas las funciones \( f(x,\theta)= h(x) . g(\theta) \)        donde siempre las funciones h y g   tienen primitivas (por lo tanto son integrables en HK)  y como ya os he  comentado, cuando las variables están separadas en funciones distintas y es un producto de 2 funciones, en este caso el Teorema de Fubini se cumple siempre y  además realizando el cálculo  de estas integrales   siempre sale un valor finito tanto en la coordenada \( E_x \), como en las \( E_y \) \( E_z \) que ambas se anulan.

    Tu  problema Carlos es que dices que  si en una resta de integrales una de ellas diverge, la resta diverge y dices que no es integrable.
    Pero esto  no es cierto  para un  único caso,  es en el caso de que sea la diferencia de la integral de la misma función.  Esto lo entiendes perfectamente, pero no  eres capaz de asumirlo.  Date cuenta que si en este caso la función resta,  divergería, implicaría que la función f(x) = 0 para todo x, divergería también, lo cual es imposible. Lo cual llegaríamos a un absurdo. ¿Tienes algún argumento para rebatir esto?

      Pues en este  caso es  en lo que  te anclas para decir que la E_y E_z no son integrables ,pero como te explico tus argumentos no son ciertos.

    En resumen  estamos analizando el campo gravitatorio de las esferas huecas y esto está haciendo tambalear las bases de la física en gravedad e incluso en las integrales matemáticas.

    Ya lo dije en otro mensaje anterior pero quiero recalcar que  el resultado de la gravedad en la superficie exterior de una esfera hueca de espesor infinitesimal sea \( g=\frac{GM}{2R^2}=2 \pi G \sigma \) , tiene una importancia enorme para mí pues fue lo que me  orientó en el entendimiento de lo que  realmente está ocurriendo en estas esferas huecas.

   Tuve que partir de lo  más básico en física de la gravedad para que no tuviera ninguna duda que lo que saliera era correcto.

    1) Partí de que la gravedad que genera una partícula en el infinito es cero y de ahí como ya sabéis obtuve el mismo resultado que el obtenido en la integral. Este análisis no tiene nada que ver con el de la integral que tanto se está discutiendo. De tal forma que  ahora ya no es necesario hablar de integrales para llegar al mismo resultado.

    2) Partí  del cálculo del flujo que crea el campo  de un dm de la esfera hueca, sobre una doble superficie gaussiana  esférica que envolvía a la esfera hueca, llegando a la misma conclusión que antes pero ahora desde otra perspectiva completamente distinta e independiente de las otras 2 anteriores.

   En definitiva  he llegado a obtener lo mismo  desde 3 caminos distintos e independiente lo cual para mí es muy alentador, aunque lo obtenido es muy disruptivo y difícil de digerir.

[cerrar]

Todo eso es palabrería. Esa cháchara no tiene nada que ver con una demostración. En cambio, esto sí que es una demostración:

1) Te he dado una referencia en la que se define la integral KH (definición 2.1) que implica que si una función es integrable su integral es finita. Independientemente de que pudieras generalizar la definición para obtener integrales con valor infinito, según esa definición la integral es siempre finita.

2) En ese libro se demuestra un teorema (con esa definición y no otra) que prueba que si una función es integrable en un rectángulo, lo es en cualquier rectángulo menor (y, en particular, eso significa que si la integral es finita en el rectángulo grande, tiene que ser finita en cualquier rectángulo menor).

3) En nuestro caso tienes una función definida en un rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \) que resulta que en \( [-1, 1]\times [0, \pi] \) no es integrable (porque la integral daría infinita).

4) Luego 2) implica que la función no puede tener integral finita en el rectángulo grande, ya que entonces también sería finita en el menor.

Esto ES una demostración. Cualquier PERO es ignorancia.

Esto demuestra que, como la integral que pretendes calcular en la esfera es infinita en una semiesfera, la integral no puede ser finita en la esfera completa. Y no te he arrejuntado palabras en una cháchara engañabobos como haces tú. Me he referido a definiciones concretas y he usado teoremas concretos ajustándome a sus hipótesis y a cálculos que son correctos a pesar de que tú has reconocido que lo son (me refiero a que la integral sobre la semiesfera es infinita). Esto es una prueba matemática irrefutable. Todo lo que has presentado tú ha sido bla, bla, bla, palabrería, o "cito un teorema que no vale, pero me invento una variante que me conviene". Nada serio.

Todo esto es válido igualmente para la integral de Lebesgue, pero lo expreso en términos de la integral HK porque has pretendido ampararte en que hay funciones integrables HK que no son integrables Lebesgue, pero estas referencias muestran que tu vía de escape no te lleva a ninguna parte, sino que la conclusión es la misma.

[DCM]

  Hola a todos, Carlos te respondo a tu último mensaje.

A)



    Carlos  te repito por última vez, aplicando lo básico de  la teoría de la gravedad que crea una partícula puntual en un punto dado P'. La gravedad generada en ese punto siempre es un vector que tiene como módulo \( g=\frac{GM}{r^2} \) ,donde r es la distancia que los separa y como dirección y sentido la línea que une el punto P' con la masa puntual, en sentido hacia la partícula puntual.  Y sabiendo que una esfera hueca la podemos considerar como formada de infinitas partículas puntuales repartidas por toda la superficie.

     En cualquier punto del eje x  de la esfera incluido  los de la superficie, según lo que acabo de decir en las líneas de arriba,  para cada masa elemental dm, existe otra  simétrica, d'm,  en la otra semiesfera que hace que las componentes \( E_y \), \( E_z  \)se  anulen. Por lo tanto a nivel total igualmente, tanto  la componente \( E_y  \) como la \(  E_z \) se anularán. Esto es consecuencia de la  simetría esférica que tiene el objeto másico creador de la gravedad y de las propiedades de las fuerzas gravitatorias que crean las infinitas partículas que forman la esfera.

  Esto es así desde el punto de vista físico y esto es irrefutable.

  Como he dicho en mi anterior mensaje si existe algún  físico que no esté de acuerdo con esto que lo diga ahora, explicando el motivo.

       Por lo tanto,  sólo tenemos una componente de la gravedad, \( E_x \), sobre la que discutir, si es que no estuvieras de acuerdo con el resultado que he obtenido.
 
     
      Realmente Carlos tienes un problema y es que este resultado , \( E_y=E_z=0 \), que fácil sale de la Física , tú dices que no estás de acuerdo,  y esto conlleva a replantearte qué es lo que está mal en tus argumentos matemáticos sobre integración.

      Yo voy a hacer un último intento para que entendáis como se puede armonizar este resultado de la Física y la  integración matemática, en el punto siguiente lo explico.


B)    Lo primero es recordar que es la integral de una función, para tenerlo siempre presente:Dada una función f(x), de un variable real x ,   y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano XY, limitada entre gráfica de f(x), el eje x y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del  eje x.

 

  Y un poco de historia sobre la integración para entender lo que viene (por favor descargar el fichero para poder leer correctamente):


.
Carlos te explico lo que pasa
 
    Tú  estás demostrando todo creyendo que estás trabajando con  la integral de Lebesgue pero esto no es el entorno donde estamos hablando sino es con integrales de HK y lo demuestro a continuación.

        El concepto de la integral de Lebesgue está definida para una función  \( f(x) \) con dominio en un intervalo finito  [a,b]  y cuya imagen está acotada.
 Esto último es debido a que en su definición  se crean las particiones en la imagen de la función f(x)  y no en la variable x como en el caso de Riemann o en HK.

   Con esta definición,  toda función integrable en Lebesgue tiene como consecuencia que su integral es finita siempre  y de igual forma la integral del valor absoluto de la función  es finita.
    Es decir si una función es integrable en Lebesgue su integral y la de su valor absoluto tiene un valor finito.
    Bien cuando se  dice que  una función  es integrable en Lebesgue indica que puede hacerse las particiones en la imagen  (por eso la función f(x)  debe ser acotada)  y se puede aplicar la regla de Barrow para calcular la integral.
     Si una función no es acotada, entonces no  es integrable en Lebesgue y no se puede utilizar la regla de Barrow para integrar la función y  no se puede dar ningún valor de la integral como resultado.

  Supongamos los supuestos siguientes:

   1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x),  tiene primitiva ,F(x),  pero al  aplicar la regla de Barrow,  su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.

            Esto implica que está función  no es integrable en Lebesgue y no puede dar  ningún valor como resultado para la integral.   ¿ Por qué es esto?

       El razonamiento es el siguiente, supongo que es integrable, y por lo tanto puede utilizarse la regla de Barrow, por lo tanto la integral debe ser finita si es de Lebesgue integrable, pero  como  la integral es infinita, eso indica que  la premisa inicial supuesta (que la función es integrable Lebesgue) no es cierta y por lo tanto esta función no es Lebesgue integrable, por lo tanto,  no es posible dar ningún valor resultado para la integral.

    El resultado de la integral no es que sea infinito sino que no se puede dar ningún valor de la integral debido a que esta función no está permitido integrar como Lebesgue.

   2)   Supongamos que tengo una resta de 2 integrales  de 2 funciones que tienen primitiva las dos  y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.
          En este caso  está claro que esta función que su integral diverge  no es integrable en Lebesgue y por lo tanto no se puede dar ningún valor resultado para esa integral. Por lo tanto si hay alguna de las integrales que no sabemos calcular la integral, esto hace que la resta de ambas funciones tampoco se pueda integrar y por tanto la resta de estas integrales no es integrable en  Lebesgue.

  3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)=  g(x) h(y) \)  está definida en un rectángulo  y  las funciones  \( g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R,  pero alguna de estas  2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya  a éste?

       En este caso como en el primer rectángulo la función es no integrable en Lebesgue, es decir, no se puede calcular su integral. Entonces cualquier integral que contenga a este rectángulo tampoco se podrá calcular la integrar y diremos que  la función es no integrable en Lebesgue para el rectángulo mayor.

    Carlos todo lo que estás demostrando hasta aquí  en tus mensajes sería correcto si estuviéramos hablando de funciones integrables en Lebesgue, pero la realidad es que no es el entorno en el que estamos inmerso, sino que estamos  en el entorno de integración HK.

  Con  la integración HK todo cambia, pues  no exige que la función  a integrar  sea acotada y ya no exige ninguna condición de integrabilidad de la función encadenada al resultado de su integral. 

Existe un teorema en integración HK que dice: Que  si una función tiene primitiva entonces esa función es integrable HK.

 

  Fíjaros que no dice nada sobre si el la integral  sea un número finito o infinito.

  Entonces si una función tiene primitiva, entonces es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow . La integral  nos da el valor del área  de la función, si el área es infinita entonces la integral sale infinita, pero no hay ningún problema sobre la integrabilidad en HK.

 Veamos como cambia los 3 supuestos anteriores:

 1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x),  tiene primitiva ,F(x),  pero al  aplicar la regla de Barrow,  su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.

       En HK al tener la función f(x) su primitiva, la función es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow y el valor de la integral ahora sí podemos decir  que es infinita. Es decir que  el área que representa esta integral es infinita.

2)  Supongamos que tengo una resta de 2 integrales  de 2 funciones que tienen primitiva y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.

     En este caso las 2 funciones a restar sus integrales, son integrables en HK y por tanto podemos utilizar la regla de Barrow para ambas, de forma que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx \) tendrá  2 posibles resultados:

      a)  El resultado de la integral  divergente en todos los casos menos en uno (caso b).
      b)  El resultado de la integral es cero cuando f(x) = g(x),,  a=c,, b=d.  pues en este caso tendríamos que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx= F(b)-F(a) -( F(b) - F(a))= 0. \)

3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)=  g(x) h(y) \)  está definida en un rectángulo  y  las funciones  \( g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R,  pero alguna de estas  2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya  a éste?

    En este caso las funciones \(  g(x) \), \( h(y)  \) son integrable en HK en todo el rectángulo y podemos utilizar la regla de Barrow y se puede demostrar para este tipo de funciones, que el Teorema de Fubini se cumple siempre y por lo tanto la función \( f(x,y) \) es integrable en HK,.
 Tenemos 2 posibles resultados para esta integral de \( f(x,y) \), suponiendo que \( \int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a) = infinito \):

  a) El resultado de la integral diverge en todos los casos menos en uno (caso b).
  b) El resultado de la integral sale 0   cuando   \( \int_c^d h(y) dy = H(c) - H(d)= 0 \).  pues en este caso tendremos siempre
      \(  \int_c^d \int_a^b  g(x) h(y) dx dy = (G(b) - G(a))  (H(c) - H(d)) =  (G(b) - G(a))· 0= 0  \)
     \( \int_a^b \int_c^d  g(x) h(y) dy dx = (H(c) - H(d))  (G(b) - G(a)) = 0 · (G(b) - G(a)) = 0 \).

    Resaltar que no hay ninguna indeterminación, pues el número 0 multiplicado por cualquier número es 0.

    En definitiva las funciones que tenemos que integrar  para calcular las componentes \( E_z \) y \( E_y  \)son funciones del tipo\(  f(x,y)=  g(x) h(y) \), con las funciones \(  g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R y además estamos en el caso b) con lo que el resultado para \( E_y=E_z= 0 \).

 El cálculo de la integral para la semiesfera en HK da como resultado que la función es integrable en HK debido a que tiene primitiva  y al aplicar la regla de Barrow  el resultado de la integral diverge, es decir el área de la función es infinita.

    En definitiva la integrabilidad de las funciones en HK no depende del valor de la integral  y para el caso de funciones que tienen primitiva todas las funciones son integrables en HK.

   Con esto he tratado de explicar que lo que explica Carlos no es correcto en HK. Sí sería correcto en la integración Lebesgue.

   Es curioso que después de cientos de años de formalización de la integral se vuelva a los inicios de donde partió todo, Newton-Leibniz.


 

Todo lo que dice Masacroso es correcto, lo cual no apoya nada de lo que dices tú. Él calcula una integral que sí que existe (al quitar el entorno \( U_\epsilon \)) y calcula un límite que sí que existe y da lo que él dice. Pero el problema de que el integrando no sea integrable es que, cambiando los entornos \( U_\epsilon \) por otros entornos elegidos con mala idea, puedes hacer que el mismo límite de casi cualquier resultado. En particular, puedes hacer que las componentes \( E_y, E_z \) no sean nulas y valgan lo que tú quieras a priori. Por eso el límite que calcula no tiene ningún significado matemático (más allá de lo que literalmente significa, un límite de ciertas integrales) ni mucho menos físico.

   Por otro lado decirte que  no me creo que esta integral salga otra cosa que lo que resultó a Masacroso y a mí. Por ello sería conveniente que dieras un ejemplo de cómo sale otra cosa distinta a esto. Pero por favor, utilizando la integración de esferas huecas superficiales y no partiendo de esferas huecas de espesor finito.

c)  Está claro que las  esferas huecas de espesor infinitesimales llevaban siglos existiendo antes de nosotros y tú querías hacer ver que esto no existía y era una invención mía.  Bueno su existencia ha quedado bien clara.

   Decirte que si revisas mis mensajes puedes ver que se obtienen los mismos resultados con esferas huecas con  espesor cero que con espesor infinitesimales.

   Ya por el mes de agosto/23 te lo mostré:

 6) Si utilizamos el teorema de Gauss sobre esta esfera, con 2 superficies  esféricas con el mismo centro de la esfera hueca, de radios R+\( \varepsilon \) y R-\( \varepsilon \), y hacemos \( \varepsilon=10^{-1000} \) por ejemplo, pero que estén interconectadas ambas superficies por un orificio de diámetro  \( R1=10^{-1000} \) por ejemplo.

   Aplicando el teorema de Gauss y  partiendo de la base que la gravedad en el punto \( r=R+\varepsilon \), podemos suponer que es igual a  \( g=\frac{GM}{2R^2} \), aunque sería menor a ese valor, pero por la cercanía a la superficie despreciamos esa diferencia.
 También despreciamos la diferencia entre  los valores de  \( R+\varepsilon  \)y \( R-\varepsilon \) y R, a nivel de cálculo matemático.

      \( 4\pi G M= 4\pi R^2  \frac{GM}{2R^2}+g_{int} 4\pi R^2  \)

      \( GM=  \frac{GM}{2}+g_{int} R^2 \)    esto implica que

         \( g_{int} = \frac{GM}{2R^2} \)

      Es decir que en el interior de la esfera hueca  la gravedad no es cero y en puntos muy cercanos a la superficie (R- \( 10^{-1000} \)) de la esfera la gravedad podemos considerarla igual a la gravedad que hay en su superficie.

     Esto ya os lo he  mostrado en el mensaje anterior donde se ha visto que existe flujo de campo gravitatorio tanto a través de la superficie exterior como la interior de la superficie gaussiana que generé, semejante a la que aquí he descrito.

     Para obtener los resultados que expongo aquí no es necesario hablar de esferas huecas con espesor infinitesimales.
 
     A mí me gusta más utilizar el modelo de esferas huecas de espesor infinitesimal pues es más cercano a la realidad de esferas huecas de espesor finito que la esferas huecas de espesor cero, que es un modelo más simple y alejado.

   Un saludo.

[feriva]

      Realmente Carlos tienes un problema y es que este resultado , \( E_y=E_z=0 \), que fácil sale de la Física , tú dices que no estás de acuerdo,  y esto conlleva a replantearte qué es lo que está mal en tus argumentos matemáticos sobre integración.

Hola, DCM.
Es decir, que, según afirmas, \( E_y \) y \( E_z \) se anulan y, como se anulan, eso implica (según tú) que
\( E_y=0 \) y \( E_z=0 \); ¿estoy entendiendo bien?

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Carlos te respondo a tu último mensaje.

No, no respondes a nada, por no hacer mudanza en tu costumbre. No respondes a absolutamente nada. Te limitas a repetir tus devaríos, como si por repetirlos mil veces pudieran pasar a tener sentido.

A)

Dibujo bobo

[cerrar]

    Carlos  te repito por última vez,

No caerá esa breva (que sea la última vez).

La misma cantinela de siempre

aplicando lo básico de  la teoría de la gravedad que crea una partícula puntual en un punto dado P'. La gravedad generada en ese punto siempre es un vector que tiene como módulo \( g=\frac{GM}{r^2} \) ,donde r es la distancia que los separa y como dirección y sentido la línea que une el punto P' con la masa puntual, en sentido hacia la partícula puntual.  Y sabiendo que una esfera hueca la podemos considerar como formada de infinitas partículas puntuales repartidas por toda la superficie.

     En cualquier punto del eje x  de la esfera incluido  los de la superficie, según lo que acabo de decir en las líneas de arriba,  para cada masa elemental dm, existe otra  simétrica, d'm,  en la otra semiesfera que hace que las componentes \( E_y \), \( E_z  \)se  anulen. Por lo tanto a nivel total igualmente, tanto  la componente \( E_y  \) como la \(  E_z \) se anularán. Esto es consecuencia de la  simetría esférica que tiene el objeto másico creador de la gravedad y de las propiedades de las fuerzas gravitatorias que crean las infinitas partículas que forman la esfera.

[cerrar]

  Esto es así desde el punto de vista físico y esto es irrefutable.

  Como he dicho en mi anterior mensaje si existe algún  físico que no esté de acuerdo con esto que lo diga ahora, explicando el motivo.

No puedes pedir que te expliquen algo cuando llevas todo este hilo sin entender nada de lo que te explican. El campo gravitatorio de una esfera hueca sobre los puntos de la esfera hueca no tiene significado físico por las razones que te hemos explicado y que no merece la pena repetir una vez más. Y desde el punto de vista matemático eso se traduce en que la función que debería calcularlo no es integrable. Y si no es integrable (ni tiene sentido físico) tu argumento de simetría no vale. El argumento de simetría sólo prueba que si la función es integrable, su integral debe ser cero (en las componentes y, z), pero no prueba que la función sea integrable, y yo te he demostrado que no lo es.

[/b][/u]
       Por lo tanto,  sólo tenemos una componente de la gravedad, \( E_x \), sobre la que discutir, si es que no estuvieras de acuerdo con el resultado que he obtenido.

Pues claro que no estoy de acuerdo. Si lo has obtenido tú, es que está mal. Eso enseña la estadística de este hilo.

      Realmente Carlos tienes un problema y es que este resultado , \( E_y=E_z=0 \), que fácil sale de la Física , tú dices que no estás de acuerdo,  y esto conlleva a replantearte qué es lo que está mal en tus argumentos matemáticos sobre integración.

Sale fácil de la física de unicornios rosa. La física seria te dice que el campo que quieres calcular no tiene sentido físico.

      Yo voy a hacer un último intento para que entendáis como se puede armonizar este resultado de la Física y la  integración matemática, en el punto siguiente lo explico.

No caerá esa breva (que sea tu último intento).

Cháchara de vendecrecepelos

B)    Lo primero es recordar que es la integral de una función, para tenerlo siempre presente:Dada una función f(x), de un variable real x ,   y un intervalo [a,b] de la recta real, la integral es igual al área de la región del plano XY, limitada entre gráfica de f(x), el eje x y las líneas verticales x=a y x=b, donde son negativas las áreas por debajo del  eje x.

 

  Y un poco de historia sobre la integración para entender lo que viene (por favor descargar el fichero para poder leer correctamente):

[cerrar]

.
Carlos te explico lo que pasa
 
    Tú  estás demostrando todo creyendo que estás trabajando con  la integral de Lebesgue pero esto no es el entorno donde estamos hablando sino es con integrales de HK y lo demuestro a continuación.

Porque tú lo digas. Te he demostrado que la integral que quieres calcular no existe haciendo referencia exclusivamente a las definiciones y teoremas del libro:

The Kurzweil-Henstock Integral for Undergraduates

de Alessandro Fonda.

En ese libro sólo se considera la integral de Kurzweil-Henstock, de modo que cuando dice "integrable" quiere decir KH-integrable. Sólo menciona las integrales de Riemann y Lebesgue para probar que son casos particulares.

Así que la demostración que te he dado considera en todo momento única y exclusivamente la integral de Kurzweil-Henstock. Y si crees otra cosa, eso muestra que no te enteras de nada de lo que te digo.

Más venta de crecepelos

        El concepto de la integral de Lebesgue está definida para una función  \( f(x) \) con dominio en un intervalo finito  [a,b]  y cuya imagen está acotada.
 Esto último es debido a que en su definición  se crean las particiones en la imagen de la función f(x)  y no en la variable x como en el caso de Riemann o en HK.

   Con esta definición,  toda función integrable en Lebesgue tiene como consecuencia que su integral es finita siempre  y de igual forma la integral del valor absoluto de la función  es finita.
    Es decir si una función es integrable en Lebesgue su integral y la de su valor absoluto tiene un valor finito.
    Bien cuando se  dice que  una función  es integrable en Lebesgue indica que puede hacerse las particiones en la imagen  (por eso la función f(x)  debe ser acotada)  y se puede aplicar la regla de Barrow para calcular la integral.
     Si una función no es acotada, entonces no  es integrable en Lebesgue y no se puede utilizar la regla de Barrow para integrar la función y  no se puede dar ningún valor de la integral como resultado.

  Supongamos los supuestos siguientes:

   1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x),  tiene primitiva ,F(x),  pero al  aplicar la regla de Barrow,  su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.

            Esto implica que está función  no es integrable en Lebesgue y no puede dar  ningún valor como resultado para la integral.   ¿ Por qué es esto?

       El razonamiento es el siguiente, supongo que es integrable, y por lo tanto puede utilizarse la regla de Barrow, por lo tanto la integral debe ser finita si es de Lebesgue integrable, pero  como  la integral es infinita, eso indica que  la premisa inicial supuesta (que la función es integrable Lebesgue) no es cierta y por lo tanto esta función no es Lebesgue integrable, por lo tanto,  no es posible dar ningún valor resultado para la integral.

    El resultado de la integral no es que sea infinito sino que no se puede dar ningún valor de la integral debido a que esta función no está permitido integrar como Lebesgue.

   2)   Supongamos que tengo una resta de 2 integrales  de 2 funciones que tienen primitiva las dos  y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.
          En este caso  está claro que esta función que su integral diverge  no es integrable en Lebesgue y por lo tanto no se puede dar ningún valor resultado para esa integral. Por lo tanto si hay alguna de las integrales que no sabemos calcular la integral, esto hace que la resta de ambas funciones tampoco se pueda integrar y por tanto la resta de estas integrales no es integrable en  Lebesgue.

  3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)=  g(x) h(y) \)  está definida en un rectángulo  y  las funciones  \( g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R,  pero alguna de estas  2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya  a éste?

       En este caso como en el primer rectángulo la función es no integrable en Lebesgue, es decir, no se puede calcular su integral. Entonces cualquier integral que contenga a este rectángulo tampoco se podrá calcular la integrar y diremos que  la función es no integrable en Lebesgue para el rectángulo mayor.

    Carlos todo lo que estás demostrando hasta aquí  en tus mensajes sería correcto si estuviéramos hablando de funciones integrables en Lebesgue, pero la realidad es que no es el entorno en el que estamos inmerso, sino que estamos  en el entorno de integración HK.

  Con  la integración HK todo cambia, pues  no exige que la función  a integrar  sea acotada y ya no exige ninguna condición de integrabilidad de la función encadenada al resultado de su integral. 

Existe un teorema en integración HK que dice: Que  si una función tiene primitiva entonces esa función es integrable HK.

 

  Fíjaros que no dice nada sobre si el la integral  sea un número finito o infinito.

  Entonces si una función tiene primitiva, entonces es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow . La integral  nos da el valor del área  de la función, si el área es infinita entonces la integral sale infinita, pero no hay ningún problema sobre la integrabilidad en HK.

 Veamos como cambia los 3 supuestos anteriores:

 1) ¿Qué ocurre si una función ,f(x),  tiene primitiva ,F(x),  pero al  aplicar la regla de Barrow,  su integral y la de su valor absoluto sale infinita?.

       En HK al tener la función f(x) su primitiva, la función es integrable en HK y podemos utilizar la regla de Barrow y el valor de la integral ahora sí podemos decir  que es infinita. Es decir que  el área que representa esta integral es infinita.

2)  Supongamos que tengo una resta de 2 integrales  de 2 funciones que tienen primitiva y una de esas integrales al realizar la regla de Barrow, sale infinita.

     En este caso las 2 funciones a restar sus integrales, son integrables en HK y por tanto podemos utilizar la regla de Barrow para ambas, de forma que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx \) tendrá  2 posibles resultados:

      a)  El resultado de la integral  divergente en todos los casos menos en uno (caso b).
      b)  El resultado de la integral es cero cuando f(x) = g(x),,  a=c,, b=d.  pues en este caso tendríamos que \( \int_a^b f(x) dx -\int_c^d g(x) dx= F(b)-F(a) -( F(b) - F(a))= 0. \)

3) Supongamos que tengo una función \( f(x,y)=  g(x) h(y) \)  está definida en un rectángulo  y  las funciones  \( g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R,  pero alguna de estas  2 funciones el cálculo con la regla de Barrow, sale infinita. ¿Qué pasa si intentamos integrar la función en un rectángulo mayor que incluya  a éste?

    En este caso las funciones \(  g(x) \), \( h(y)  \) son integrable en HK en todo el rectángulo y podemos utilizar la regla de Barrow y se puede demostrar para este tipo de funciones, que el Teorema de Fubini se cumple siempre y por lo tanto la función \( f(x,y) \) es integrable en HK,.
 Tenemos 2 posibles resultados para esta integral de \( f(x,y) \), suponiendo que \( \int_a^b g(x) dx = G(b) - G(a) = infinito \):

  a) El resultado de la integral diverge en todos los casos menos en uno (caso b).
  b) El resultado de la integral sale 0   cuando   \( \int_c^d h(y) dy = H(c) - H(d)= 0 \).  pues en este caso tendremos siempre
      \(  \int_c^d \int_a^b  g(x) h(y) dx dy = (G(b) - G(a))  (H(c) - H(d)) =  (G(b) - G(a))· 0= 0  \)
     \( \int_a^b \int_c^d  g(x) h(y) dy dx = (H(c) - H(d))  (G(b) - G(a)) = 0 · (G(b) - G(a)) = 0 \).

    Resaltar que no hay ninguna indeterminación, pues el número 0 multiplicado por cualquier número es 0.

    En definitiva las funciones que tenemos que integrar  para calcular las componentes \( E_z \) y \( E_y  \)son funciones del tipo\(  f(x,y)=  g(x) h(y) \), con las funciones \(  g(x) \) y  \( h(y) \) ambas tienen primitivas en todo R y además estamos en el caso b) con lo que el resultado para \( E_y=E_z= 0 \).

 El cálculo de la integral para la semiesfera en HK da como resultado que la función es integrable en HK debido a que tiene primitiva  y al aplicar la regla de Barrow  el resultado de la integral diverge, es decir el área de la función es infinita.

    En definitiva la integrabilidad de las funciones en HK no depende del valor de la integral  y para el caso de funciones que tienen primitiva todas las funciones son integrables en HK.

[cerrar]

   Con esto he tratado de explicar que lo que explica Carlos no es correcto en HK. Sí sería correcto en la integración Lebesgue.

   Es curioso que después de cientos de años de formalización de la integral se vuelva a los inicios de donde partió todo, Newton-Leibniz.

Estás más perdido que un pato en alta mar. Es un teorema sobre la integral KH que si una función es KH-integrable es un rectángulo (y eso implica por definición que la integral es finita), entonces es KH-integrable en cualquier rectángulo menor. Eso está demostrado en el libro que te acabo de citar y en mensajes anteriores te he dado la referencia exacta. Resulta que la integral en la esfera (para la componente \( E_y \), por ejemplo) se reduce a una integral (siempre KH, si así lo quieres) sobre el rectángulo \( [-1, 1]\times [0, 2\pi] \), y la integral en media esfera es la integral del mismo integrando sobre \( [-1, 1]\times [0, \pi] \), pero tú mismo has reconocido que la integral sobre la semiesfera es infinita, a pesar de lo cual, la integral en la semiesfera es infinita. Por el teorema que te cito, la integral sobre toda la esfera no puede ser finita, al contrario de lo que pretendes.

Esto es una demostración, y toda ella se basa en definiciones y teoremas sobre la integral KH, no sobre la integral de Lebesgue, aunque también valdría y sobraría. Considerar la integral KH no aporta nada realmente, pero sólo te digo que, como as en la manga, no te vale.

Tu cháchara de vendecrecepelos no es una demostración. Son cosas que no vienen a cuento. No tiene sentido que hables de funciones con o sin primitiva cuando eso son funciones de una variable, y aquí estamos con funciones de dos variables. Te he demostrado que tu integrando no es integrable y tu NO respondes a mi mensaje, aunque digas que lo haces. A una demostración no se le responde con cháchara.

 

Todo lo que dice Masacroso es correcto, lo cual no apoya nada de lo que dices tú. Él calcula una integral que sí que existe (al quitar el entorno \( U_\epsilon \)) y calcula un límite que sí que existe y da lo que él dice. Pero el problema de que el integrando no sea integrable es que, cambiando los entornos \( U_\epsilon \) por otros entornos elegidos con mala idea, puedes hacer que el mismo límite de casi cualquier resultado. En particular, puedes hacer que las componentes \( E_y, E_z \) no sean nulas y valgan lo que tú quieras a priori. Por eso el límite que calcula no tiene ningún significado matemático (más allá de lo que literalmente significa, un límite de ciertas integrales) ni mucho menos físico.

   Por otro lado decirte que  no me creo que esta integral salga otra cosa que lo que resultó a Masacroso y a mí. Por ello sería conveniente que dieras un ejemplo de cómo sale otra cosa distinta a esto. Pero por favor, utilizando la integración de esferas huecas superficiales y no partiendo de esferas huecas de espesor finito.

Pues claro que no te lo crees. ¿Qué mayor evidencia hay de que algo es cierto que el hecho de que no te lo creas? Y, sí, a buenas horas me voy a pasar una hora detallando las cuentas que me pides para que me salgas con cualquier unicornio rosa como respuesta. Si no entiendes una prueba tan elemental como la que te he dado de que la función que quieres integrar no es integrable, no esperarás que considere la posibilidad de que vayas a entender cómo descomponer la esfera en unión numerable creciente de conjuntos donde el integrando es integrable y de modo que las integrales converjan a cualquier valor.

c)  Está claro que las  esferas huecas de espesor infinitesimales llevaban siglos existiendo antes de nosotros y tú querías hacer ver que esto no existía y era una invención mía.  Bueno su existencia ha quedado bien clara.

Pues estamos de acuerdo: Su existencia TE ha quedado bien clara. Eso es lo mismo que decir que no existen.

Más trampas de tahúr

   Decirte que si revisas mis mensajes puedes ver que se obtienen los mismos resultados con esferas huecas con  espesor cero que con espesor infinitesimales.

   Ya por el mes de agosto/23 te lo mostré:

 6) Si utilizamos el teorema de Gauss sobre esta esfera, con 2 superficies  esféricas con el mismo centro de la esfera hueca, de radios R+\( \varepsilon \) y R-\( \varepsilon \), y hacemos \( \varepsilon=10^{-1000} \) por ejemplo, pero que estén interconectadas ambas superficies por un orificio de diámetro  \( R1=10^{-1000} \) por ejemplo.

   Aplicando el teorema de Gauss y  partiendo de la base que la gravedad en el punto \( r=R+\varepsilon \), podemos suponer que es igual a  \( g=\frac{GM}{2R^2} \), aunque sería menor a ese valor, pero por la cercanía a la superficie despreciamos esa diferencia.
 También despreciamos la diferencia entre  los valores de  \( R+\varepsilon  \)y \( R-\varepsilon \) y R, a nivel de cálculo matemático.

      \( 4\pi G M= 4\pi R^2  \frac{GM}{2R^2}+g_{int} 4\pi R^2  \)

      \( GM=  \frac{GM}{2}+g_{int} R^2 \)    esto implica que

         \( g_{int} = \frac{GM}{2R^2} \)

      Es decir que en el interior de la esfera hueca  la gravedad no es cero y en puntos muy cercanos a la superficie (R- \( 10^{-1000} \)) de la esfera la gravedad podemos considerarla igual a la gravedad que hay en su superficie.

     Esto ya os lo he  mostrado en el mensaje anterior donde se ha visto que existe flujo de campo gravitatorio tanto a través de la superficie exterior como la interior de la superficie gaussiana que generé, semejante a la que aquí he descrito.

[cerrar]

     Para obtener los resultados que expongo aquí no es necesario hablar de esferas huecas con espesor infinitesimales.
 
     A mí me gusta más utilizar el modelo de esferas huecas de espesor infinitesimal pues es más cercano a la realidad de esferas huecas de espesor finito que la esferas huecas de espesor cero, que es un modelo más simple y alejado.

Vale, pues si no necesitas hablar de esferas huecas con espesor infinitesimal, no hables de ellas y así nos ahorramos tener que discutir si existen o no existen. Si no logro convencerte de que los unicornios rosa no existen, es difícil que pueda convencerte de que las esferas de grosor infinitesimal no existen, así que mejor no hablamos de ellas.

[DCM]

      Realmente Carlos tienes un problema y es que este resultado , \( E_y=E_z=0 \), que fácil sale de la Física , tú dices que no estás de acuerdo,  y esto conlleva a replantearte qué es lo que está mal en tus argumentos matemáticos sobre integración.

Hola, DCM.
Es decir, que, según afirmas, \( E_y \) y \( E_z \) se anulan y, como se anulan, eso implica (según tú) que
\( E_y=0 \) y \( E_z=0 \); ¿estoy entendiendo bien?

Saludos.

 Hola  Feriva, lo que dices es correcto. Estás  entendiendo bien.
  Un saludo