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Hola!
Estaba viendo el problema 57 de este enlace:
https://www.unirioja.es/talleres/creatividad_matematica/SeminarioBachillerato/solhoja8_2017.pdf
y me surgió la duda de cómo hallar \( a_3 \).
El problema es sobre relaciones de recurrencia, y dice:
Se quiere recubrir un rectángulo de tamaño \( 2\times n \) con baldosas de tamaños \( 2\times1 \) y \( 2\times2 \). Encuentra una relación de recurrencia para calcular \( a_n \), el número total de recubrimientos diferentes que pueden hacerse.
Pude entender que \( a_1=1 \) y \( a_2=3 \), pero no entiendo por qué \( a_3=5 \).
Si el rectángulo es de \( 2\times 3 \), yo veo que sólo existen 3 formas de poner las baldosas:
- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \) en horizontal.
- \( 3 \) baldosas \( 2\times 1 \), \( 1 \) horizontal y \( 2 \) vertical.
- \( 1 \) baldosa \( 2\times2 \) y \( 1 \) baldosa \( 2\times1 \) horizontal.
¿Alguien puede dibujar las situaciones restantes, por favor?
Gracias!!
Saludos
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En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.
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Hola sugata!! Espero que estés bien.
En el 2º y tercer caso, cambia horizontales por verticales.
El mismo rectángulo puesto de pie.
Ahhh... ¿o sea que sería así?:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113753.0;attach=22019)
Yo pensé que la (1) y la (5) contaban como uno, lo mismo entre la (3) y (4). ¿No es que lo que importa es si las baldosas están o no horizontales o verticales? ¿Es otra combinación si están por encima o por debajo de otras?
Gracias y saludos
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¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.
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Hola
¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.
No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(
En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?
Saludos
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Tú mismo dices que si a la (3) la giras 180° obtienes la (4). Luego la (3) es distinta de la (4), ya que si fuera la misma no tendrías que hacerle nada. Es decir, que cuando hablan de recubrimientos distintos no quiere decir que dos recubrimientos son iguales si existe alguna simetría que lleva uno en el otro, quiere decir que son distintos si el dibujo es distinto. O de otra manera, no es lo mismo poner una baldosa \( 2 \times 1 \) a la izquierda y una \( 2 \times 2 \) a la derecha que una baldosa \( 2 \times 2 \) a la izquierda y una \( 2 \times 1 \) a la derecha.
Aunque hubiera alguna duda sobre esto y pudieras sospechar que cuando dice distintas quisiera decir distintas salvo simetría, de la solución que dan es bien claro que considera diferentes a configuraciones distintas de las baldosas, aunque puedes transformar una en la otra con una simetría.
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Hola
¿El 3 y 4 son exactamente el mismo recubrimiento?
Numera las baldosas iguales con el mismo número. Observas en seguida que son distintas.
No entiendo bien cómo me dices de numerarlas. Disculpa :(
En la (3) tenemos las 2 verticales debajo, y la horizontal arriba. En la (4) están las 2 verticales arriba y la horizontal abajo. Es como si a la (3) la hubiese girado 180º grados, resulta en la (4). ¿Por qué las consideramos como distintas?
Saludos
Si llamamos 1 a las baldosas 2x1, y 2 a las 2x2, en tus dibujos sería.
El primero
\(
1\\2
\)
Y el 5 sería
\( 2\\1 \)
Al no estar colocados en el mismo sitio, como dice geómetracat, no son iguales.
P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?
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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?
Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).
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P.D. ¿Dónde está el botón rápido de Látex?
Es el botón que tiene una \( \Sigma \) (de más a la izquierda).
Gracias. Esto habrá cambiado hace poco, porque lo último que escribí seguía llamándose "Tex"
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Hola a ambos
Muchas gracias, pensé que los giros era una cuestión estética, pero sí que es cierto que mirar una figura rotada 0º o 180º, son figuras distintas. Es bueno saberlo de ustedes ;)
Saludos
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Hola a ambos
Muchas gracias, pensé que los giros era una cuestión estética, pero sí que es cierto que mirar una figura rotada 0º o 180º, son figuras distintas. Es bueno saberlo de ustedes ;)
Saludos
Una figura rotada 0º, muy distinta no es...
:P
Sé lo que querías decir, pero así expresado me sonaba raro.
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Hola
Tengo una duda en cómo el documento busca la recurrencia.
Dice que si tenemos recubiertos \( 2\times(n-1) \) es necesario recubrir con una baldosa de \( 2\times1 \) lo cual lo entiendo.
Mi problema viene cuando dice que para recubrir \( 2\times(n-2) \) se deben añadir dos baldosas \( 2\times1 \) en horizontal o una baldosa \( 2\times2 \). De ahí deduce que \( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \).
Pero ¿no es que \( a_2=3 \)? Para mí cuando se recubrieron \( 2\times(n-2) \) hay 3 opciones: las que dice y además dos baldosas de \( 2\times1 \) en vertical. ¿Estoy en lo correcto?
En ese caso el autor está equivocado y ya no veo por qué \( a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \). ¿Alguien me ayuda?
Saludos
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El caso de dos baldosas en vertical ya está contemplado en el caso en que amplías un recubrimiento \( 2\times (n-1) \). Si lo contaras también en el segundo caso estarías contando un mismo recubrimiento dos veces, y por tanto estaría mal.
Es decir, dado un recubrimiento \( 2\times n \) hay dos casos. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-1) \) añadiendo una baldosa vertical al final. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-2) \) pero no de uno \( 2 \times (n-1) \) en cuyo caso se obtiene o bien agregando dos baldosas horizontales o una \( 2\times 2 \). Ahora los casos son excluyentes (ningún recubrimiento aparece en los dos casos) y por tanto puedes escribir la recurrencia que te dan.
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Hola
El caso de dos baldosas en vertical ya está contemplado en el caso en que amplías un recubrimiento \( 2\times (n-1) \). Si lo contaras también en el segundo caso estarías contando un mismo recubrimiento dos veces, y por tanto estaría mal.
Es decir, dado un recubrimiento \( 2\times n \) hay dos casos. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-1) \) añadiendo una baldosa vertical al final. O bien proviene de un recubrimiento \( 2 \times (n-2) \) pero no de uno \( 2 \times (n-1) \) en cuyo caso se obtiene o bien agregando dos baldosas horizontales o una \( 2\times 2 \). Ahora los casos son excluyentes (ningún recubrimiento aparece en los dos casos) y por tanto puedes escribir la recurrencia que te dan.
Muchas gracias! Creo entenderte, y es simplemente que estaba contando casos repetidos.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113753.0;attach=22073)
¿Lo entendí bien?
El problema que veo es que para \( n=4 \) me da menos que lo que debería dar que son \( 11 \) (contando las que no oscuras da un total de 8).
Saludos
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El diagrama no está bien. Tienes que ir persiguiendo cada posibilidad hasta el final. Por ejemplo, en la primera bifurcación arriba te queda \( 2 \times (n-1) + 2 \times 1 \) y lo marcas como si fuera terminal, pero ahora deberías descomponer el factor \( 2 \times (n-1) \) siguiendo la recurrencia.
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Hola
manooooh: no entiendo muy bien el esquema que haces.
No se porque bifurcas los casos \( 2\times (n-2) \) pero no los \( 2\times (n-1) \). No estoy seguro de que sea clarificador.
Tampoco entiendo esto:
El problema que veo es que para \( n=4 \) me da menos que lo que debería dar que son \( 11 \) (contando las que no oscuras da un total de 8).
Para \( n=4 \) el número de configuraciones ciertamente son 11 y salen aplicando la relación recursiva indicada:
\( a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_n=a_{n-1}+2a_n \)
\( a_3=a_2+2\cdot a_1=3+2\cdot 1=5 \)
\( a_4=a_3+2\cdot a_2=5+2\cdot 3=11 \)
Saludos.
P.D. Mientras escribías esto se adelantó geómetracat
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Hola
El diagrama no está bien. Tienes que ir persiguiendo cada posibilidad hasta el final. Por ejemplo, en la primera bifurcación arriba te queda \( 2 \times (n-1) + 2 \times 1 \) y lo marcas como si fuera terminal, pero ahora deberías descomponer el factor \( 2 \times (n-1) \) siguiendo la recurrencia.
Ah, claro. Entonces el diagrama no nos dice nada. Porque no podría detenerse jamás, salvo si decimos que \( 2\times(n-1)+2\times1=2\times(n-2)+2\times1+2\times1=2\times(n-3)+2\times1+2\times1+2\times1=\cdots=2\times1+\cdots+2\times1 \).
Entonces está bien en que siempre dado un recubrimiento cualquiera, por ejemplo \( 2\times(n-6) \), van a haber 2 posibilidades: que las \( 2\times(n-5) \) se le agreguen la baldosa \( 2\times1 \), o que se cuenten nuevas combinaciones.
Saludos
AGREGADO:
No se porque bifurcas los casos \( 2\times (n-2) \) pero no los \( 2\times (n-1) \). No estoy seguro de que sea clarificador.
Estoy de acuerdo contigo. Pensé que las no oscuras eran terminales pero siguen dependiendo de \( n \). En ese caso, para que sean terminales, es lo mismo que hacer con menos símbolos la recurrencia en la forma que haces.
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He dibujado el diagrama correspondiente a \( 2 \times 4 \). Los números entre paréntesis corresponden a no terminales, que aún hay que seguir desarrollando.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113753.0;attach=22074)
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Hola
:aplauso: :aplauso:. Ahora lo veo claro gracias a tu dibujo. No consideré los casos en que la baldosa podía estar acostada. Y eso que me lo dijiste.
Muchísimas gracias :).
Saludos
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Hola
Por cierto te puede interesar el siguiente problema parecido:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=108800.0
Saludos.
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Hola
¿Así quedaría el desarrollo para \( n=3 \)?:
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=113753.0;attach=22079)
(Me olvidé poner paréntesis al \( 2\times3 \))
Gracias y saludos
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Sí, yo lo veo bien.
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Hola a todos
Estoy peleándome con el enunciado y es que ahora volviendo a pensar me doy cuenta de que si, supuesto nos lo dieran como ejercicio para practicar, ¿una baldosa \( 2\times1 \) no es distinta a una \( 1\times2 \) (la baldosa \( 2\times1 \) rotada)?
En ese caso el problema cambia, por eso les pregunto a ustedes si solamente leyendo el enunciado:
El enunciado sólo habla de baldosas verticales y cuadradas. Solamente con ese tipo de baldosas. ¿Por tanto está mal considerar baldosas horizontales?
Por otra parte, si viene alguien que lee el enunciado y lo resuelve sin considerar baldosas horizontales, ¿lo tendría mal planteado? En este caso, ¿cómo se lo hacemos notar?
Saludos y gracias
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Pues tienes razón, no me había fijado en el enunciado original. Es como poco ambiguo, aunque yo creo que si leyera el enunciado por primera vez entendería que solo puedo usar baldosas \( 2\times 1 \) (verticales) y \( 2\times 2 \).
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Hola
Pues tienes razón, no me había fijado en el enunciado original. Es como poco ambiguo, aunque yo creo que si leyera el enunciado por primera vez entendería que solo puedo usar baldosas \( 2\times 1 \) (verticales) y \( 2\times 2 \).
Vaya. :'( Había preparado el video y ahora debería descartarlo, o al menos incluir la solución que prácticamente el 99.99% pensaría.
De todas maneras tiene un arreglo bastante fácil: Si eliminamos las baldosas horizontales, la recurrencia pedida sería \( a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \), con \( a_1=1 \) y \( a_2=2 \), parecida a la que teníamos antes pero muy parecida a la de Fibonacci, salvo que el término \( a_2 \) cambia. Por lo que su resolución no es muy distinta...
Saludos
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Yo lo que haría sería modificar ligeramente el enunciado para dejar claro que puedes usar baldosas \( 2\times 1 \) y \( 1 \times 2 \) (horizontales o verticales). El problema es mucho más interesante que si solo puedes ponerlas verticales, que como dices es la sucesión de Fibonacci (desplazada).
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Hola
Yo lo que haría sería modificar ligeramente el enunciado para dejar claro que puedes usar baldosas \( 2\times 1 \) y \( 1 \times 2 \) (horizontales o verticales). El problema es mucho más interesante que si solo puedes ponerlas verticales, que como dices es la sucesión de Fibonacci (desplazada).
Eso sería magnífico si ocurriera antes de enviarlo a los alumnos como trabajo opcional. ;D
Saludos
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Eso sería magnífico si ocurriera antes de enviarlo a los alumnos como trabajo opcional. ;D
Vaya. :(
Entonces la mejor alternativa creo que es explicar ambos planteamientos.
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Hola
Estoy peleándome con el enunciado y es que ahora volviendo a pensar me doy cuenta de que si, supuesto nos lo dieran como ejercicio para practicar, ¿una baldosa \( 2\times1 \) no es distinta a una \( 1\times2 \) (la baldosa \( 2\times1 \) rotada)?
En ese caso el problema cambia, por eso les pregunto a ustedes si solamente leyendo el enunciado:
El enunciado sólo habla de baldosas verticales y cuadradas. Solamente con ese tipo de baldosas. ¿Por tanto está mal considerar baldosas horizontales?
¿El enunciado es este?
Se quiere recubrir un rectángulo de tamaño \( 2\times n \) con baldosas de tamaños \( 2\times1 \) y \( 2\times2 \). Encuentra una relación de recurrencia para calcular \( a_n \), el número total de recubrimientos diferentes que pueden hacerse.
Yo entendería ahí sin más aclaración que las baldosas \( 2\times 1 \) se pueden usar en cualquier posición.
Saludos.
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Hola Luis, ¡cuánto tiempo! Seguro hayas estado muy ocupado con tareas académicas
Sí, es ese el enunciado.
El problema es que "Cambiar de posición" puede significar "Otro tipo de baldosa", y de ahí la confusión. Creo que también los arquitectos usan distintos diseños para baldosas horizontales y verticales.
Agradezco tu apreciación, aunque tomé la decisión de que el que haya entendido sólo con verticales estará bien resuelto, y el que lo haya entendido con los 2 tipos también estará bien. No cambia mucho la forma de resolver. De hecho ya entregaron y algunos lo pensaron de una forma y otros de la otra. ¿Lo ves bien?
Saludos