[Michel]

Demostrar que si el ortocentro de un triángulo acutángulo divide a las aturas en la misma razón, el triángulo es equilátero.

[feriva]

Demostrar que si el ortocentro de un triángulo acutángulo divide a las aturas en la misma razón, el triángulo es equilátero.

Hola, Michel. Aquí dejo un dibujo y mi explicación.

Perdón, he considerado sólo acutángulos equiláteros; habría que considerar los no equiláteros, pero sería fácil también

Spoiler

En cualquier caso, para un triángulo acutángulo, el ortocentro, junto con los vértices, divide las alturas en seis segmentos que forman seis triángulos rectángulos como se ve en el dibujo.


Suponemos el problema resuelto. Fijándonos en el dibujo vemos que en el caso de triángulo equilátero dichos triángulos rectángulos son todos iguales; lo cual es fácil de demostrar usando Pitágoras; y de igual modo es sencillo ver que sólo en ese caso los segmentos de las alturas son proporcionales.

[cerrar]

Saludos.

[EnRlquE]

Hola.

[...]
Perdón, he considerado sólo acutángulos equiláteros; habría que considerar los no equiláteros, pero sería fácil también
[...]

 feriva, me parece que la parte más complicada es probar que un triángulo acutángulo bajo las condiciones de problema es necesariamente equilátero. Es decir, el reciproco de lo que has mostrado. Dale una revisada, verás que no es trivial.

 Aprovecho para adjuntar mi solución bajo el sigueinte spoiler

Spoiler

Consideremos el triángulo acutángulo \( ABC \) en el que hemos trazado las alturas \( \overline{AP} \) y \( \overline{CQ}, \) como se muestra en la siguiente figura

 Llamemos \( H \) al ortocentro. Por condición del problema \( \dfrac{AH}{HP}=\dfrac{CH}{HQ}. \) Por otro lado los triángulos \( AQH \) y \( CPH \) son semejantes. Luego \( \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HQ}{HP}. \) Multiplicando miembro a miembro estas igualdades resulta que \( (AH)^{2}=(CH)^{2}, \) es decir, \( AH=CH. \) Esto quiere decir que el triángulo \( AHC \) es isósceles y a su vez implica que el triángulo \( ABC \) es isósceles con \( AB=BC \) (pues teniendo presente la semejanza de los triángulos \( AQH \) y \( CPH \) resulta que \( m\angle BAC=m\angle BCA \)).

 Repitiendo el mismo argumento, ahora con las alturas \( \overline{AP} \) y \( \overline{BR}, \) deducimos que \( BC=AC. \) Por tanto \( AB=BC=AC. \)

[cerrar]

Saludos,

Enrique.

[feriva]

Hola.

 feriva, me parece que la parte más complicada es probar que un triángulo acutángulo bajo las condiciones de problema es necesariamente equilátero. Es decir, el reciproco de lo que has mostrado. Dale una revisada, verás que no es trivial.

 Aprovecho para adjuntar mi solución bajo el sigueinte spoiler

Spoiler

Consideremos el triángulo acutángulo \( ABC \) en el que hemos trazado las alturas \( \overline{AP} \) y \( \overline{CQ}, \) como se muestra en la siguiente figura

 Llamemos \( H \) al ortocentro. Por condición del problema \( \dfrac{AH}{HP}=\dfrac{CH}{HQ}. \) Por otro lado los triángulos \( AQH \) y \( CPH \) son semejantes. Luego \( \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HQ}{HP}. \) Multiplicando miembro a miembro estas igualdades resulta que \( (AH)^{2}=(CH)^{2}, \) es decir, \( AH=CH. \) Esto quiere decir que el triángulo \( AHC \) es isósceles y a su vez implica que el triángulo \( ABC \) es isósceles con \( AB=BC \) (pues teniendo presente la semejanza de los triángulos \( AQH \) y \( CPH \) resulta que \( m\angle BAC=m\angle BCA \)).

 Repitiendo el mismo argumento, ahora con las alturas \( \overline{AP} \) y \( \overline{BR}, \) deducimos que \( BC=AC. \) Por tanto \( AB=BC=AC. \)

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Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. Muchas gracias, una demostración muy elegante.

No pretendí decir que fuera trivial, hay que hacer operaciones, claro, pero las tenía en papel y no las puse porque me quedó una demostración muy barroca y larga de la que no estaba nada orgulloso; tengo poca o ninguna experiencia en esto, con lo que soy más torpe de lo habitual, que ya es decir.

Saludos.

[EnRlquE]

Hola feriva.

 No pretendí decir que pretendiste decir que fuera trivial  . Nada más anoté lo anterior para aclarar que el problema pide probar que un triángulo es equilátero, pues al ver tu respuesta me pareció que interpretaste el recíproco de su enunciado. Pero si no fue así, todo bien.

Saludos,

Enrique.

[feriva]

Hola feriva.

 No pretendí decir que pretendiste decir que fuera trivial  . Nada más anoté lo anterior para aclarar que el problema pide probar que un triángulo es equilátero, pues al ver tu respuesta me pareció que interpretaste el recíproco de su enunciado. Pero si no fue así, todo bien.

Saludos,

Enrique.

Hola, Enrique. En esta ocasión lo entendí bien, por una vez y sin que sirva de precedente pero lo planteé mirando primero a ver qué pasaba con el equilátero y me di cuenta de que el enunciado era equivalente a demostrar que si el ortocentro divide en la misma proporción a todas las alturas, entonces, sólo en ese caso, se forman seis triángulos rectángulos iguales entre sí.

Saludos.