Autor Tema: Intersección de una cónica con una circunferencia que pasa por sus focos.

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05 Octubre, 2022, 12:48 pm
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martiniano

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Hola.

Un problemita para resolver con regla y compás de estos apuntes.

Dada una cónica y una circunferencia que pasa por sus focos hallar su intersección.


Spoiler
Sea \[ X \] esa intersección. Supongamos que la cónica es una elipse. Tenemos que \[ \widehat{F_1XF_2} \] es el ángulo cuyo arco capaz sobre el segmento \[ F_1F_2 \] es la circunferencia dada. Llamemos \[ C \] a la circunferencia focal con centro en \[ F_1 \] y sea \[ Y \] la intersección de \[ C \] con la recta \[ F_1X \]. Tenemos que el triángulo \[ YXF_2 \] es isósceles con \[ XY=XF_2 \] de donde \[ \widehat{F_1YF_2}=\widehat{XYF_2}=\displaystyle\frac{1}{2}\cdot{(180º-(180º-\widehat{F_1XF_2}))}=\displaystyle\frac{\widehat{F_1XF_2}}{2} \], cuyo arco capaz sobre el segmento \[ F_1F_2 \] tiene el centro en la circunferencia dada por el enunciado.

Se traza ese arco capaz y su intersección con \[ C \] es \[ Y \]. Se traza la recta \[ F_1Y \] y donde corta a la circunferencia dada es \[ X \], la intersección buscada.

Si la cónica es una hipérbola es muy similar.

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Un saludo.