Autor Tema: No existe una rel. de equiv. de la circunferencia a los reales.

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09 Agosto, 2022, 10:04 am
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AndresSanchez

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Buenos días. ¿Cómo se prueba que no existe una relación de equivalencia \( R \) tal que \( S^1/R \) sea homeomorfo a \( \mathbb{R} \)?
Intuitivamente lo veo pero no sabría dar una argumentación rigurosa.

09 Agosto, 2022, 10:45 am
Respuesta #1

geómetracat

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Como \( S^1 \) es compacto y la aplicación cociente \( S^1 \to S^1/R \) es continua y exhaustiva, su imagen \( S^1/R \) es compacta. Pero \( \Bbb R \) no es compacto, por lo que no puede ser homeomorfo a \( S^1/R \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)