[DNBracco]

Hola, me gustaría alguien me dijera donde puedo encontrar una página donde se detalle paso por paso, de donde se desprenden las formulas de cinemática de física, en notación diferencial. O sea que me muestre cómo se debe integrar y derivar para llegar a las distintas fórmulas.
Gracias

[incógnita_j]

Yo en cinemática no he usado aún ecuaciones diferenciales, pero sí en física nuclear y electricidad, si puedo servir de ayuda...

[Alexandros]

En cinemática de la partícula se usan generalmente (a veces no en el primer curso de física, pero casi siempre sí, al menos en las universidades que conozco). Pero creo que no se refería a ecuaciones diferenciales...creo nomás.

DNBracco, busqué bastante pero no pude encontrar una página que trate el tema. Generalmente se llama "Integración de las ecuaciones de movimiento". La base es la siguiente: Hay 3 casos (bah, son los 3 que siempre se ven, hay más).
1) a=a(t) -> aceleración que depende del tiempo. Este caso es el más común y el más fácil. Se hace a=dv/dt=a(t) ==> dv=a(t).dt y se integra dos veces. Si ponés el caso particular de a=cte. obtenés las fórmulas de cinemática típicas: x=x0+t.v0+a.t^2, v^2=v0^2+2.a.x, etc.
2) a=a(v) -> aceleración que depende de la velocidad, como por ejemplo la fuerza de resistencia viscosa. Acá se hace: a=dv/dt=a(v) ==> dt=dv/a(v) y se integra (no siempre se puede analíticamente) obteniendo v(t) igual que arriba.
3) a=a(x) - aceleración que depende de la posición, como por ejemplo un resorte. Este es el más difícil: a=dv/dt=dv.dx/(dx.dt)=dv/dx.dx/dt=v.dv/dx=a(x) ==> v.dv=a(x).dx y se integra, pero queda v(x), lo que es un poco molesto. A veces se pueden algunos manejos (depende de la función a(x))para seguir y llegar a x(t), pero te los dejo a vos.

En algún libro de física que use Análisis creo que debería estar esto bien desarrollado. Cualquier cosa preguntá de nuevo (no se si te interpreté bien la pregunta).
Saludos,
Alejandro.

[Joaquin_mx]

Realmente no sé si deban considerarse derivadas como tales, sin embargo muchos autores manejan la "notación diferencial", si como diferencial entendemos el uso del operador d (en opinión personal creo que para unos casos realmente se trata de un incremento, mas que un "diferencial").

Bien, las definiciones básicas de velocidad  y aceleración son:

\( V=\displaystyle\frac{dx}{dt} \).....(1)   y   \( a=\displaystyle\frac{dv}{dt} \).....(2)

(2) también se representa por \( a=\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2} \) (donde "a" es la segunda derivada de la posición "x" respecto de t.)

Donde:   \( \textsf{x= posición, v=velocidad, a=aceleración, t=tiempo.} \)

[Joaquin_mx]

...así vemos \( V=\displaystyle\frac{dx}{dt} \)(1) en términos de incrementos tenemos \( V=\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta t} \);  así obtenemos:

\( V=\displaystyle\frac{x_f-x_o}{t_f-t_o} \), considerando \( t \) como el tiempo total transcurrido, obtenemos:

\( x_f=\,v.t\,+\,x_o \).....(3)
que sería lo mismo que diferenciar e integrar (1).

lo mismo con \( a=\displaystyle\frac{dv}{dt} \) diferenciando \( a\,dt=dv \) y manteniendo a=constante, desde \( t_o\;\textsf{hasta}\;t_f\;\textsf{y}\;v_o\;\textsf{hasta}\;v_f \).

\( a\displaystyle\int_{t_o}^{t_f}dt=\displaystyle\int_{v_o}^{v_f}dv \)

tomando el tiempo inicial cero, tiempo final t y velocidad final "v";tenemos:

\( v=\,a.t\,+\,v_o \).....(4)

finalmente sustituyendo (4) en (1) obtenemos la fórmula más general de cinemática.

\( v=\displaystyle\frac{dx}{dt} \).....(1)

diferenciando

\( v\,dt=dx \) sustituyendo (4)

\( (a.t\,+\,v_o)\,dt=dx \)    integrando de valores iniciales a finales

\( a\displaystyle\int_{t_o}^{t}\,t\,dt\;+\;v_o\displaystyle\int_{t_o}^{t}\,dt\,=\,\displaystyle\int_{x_o}^{x}\,dx \)

de ahí resulta:

\( x-x_o\,=\,v_o.(t-t_o)\,+\,\displaystyle\frac{1}{2}a.(t-t_o)^2 \)

haciendo \( (t-t_o)=t \)

nos queda.

\( x-x_o\,=\,v_o.t\,+\,\displaystyle\frac{1}{2}a.t^2 \)