[aesede]

Hola Jabato.

a) El cambio de variable deberías haberlo expresado en la forma \( x=x(u) \) y no al revés \( u=u(x) \). Esto no plantea demasiados problemas en el caso de las intgerales 1, 2 y 3, por ejemplo, pero ...

Entiendo. Evidentemente, en la práctica no "afectó" la forma de expresar el cambio, pero seguramente debe tener un fundamento teórico que no logro ver. ¿Por qué es así?

b) En las integrales 4, 5 y 6 el cambio de variable no es correcto porque no se corresponde con una función invertible.

Estoy de acuerdo, sino no podría "ir y venir" con los cambios. ¿Ésto es aplicable también a los cambios que se hacen para resolver por composición? ¿O sólo para sustitución?

Sin embargo los resultados a los que llegas si son correctos, pero porque has empleado la composición de funciones como método de integración y no el método de substitución. De hecho las ocho primeras integrales se deberían resolver, en mi opinión, por composición de funciones. No estoy demasiado seguro de que captes la sutil diferencia entre un método y otro.

Sinceramente, lo veía como dos formas distintas de expresar lo mismo. Quizás me ayudaría algún ejercicio resuelto de esos que, si aplicás incorrectamente el método, te llevan a "errores garrafales". Creo que ayudaría a entender mejor la diferencia, así que si no es mucho pedir...

Tampoco aclaras en la integral 9 como resuelves cada uno de los sumandos. El primero es una integral inmediata, pero ¿como resuelves el segundo sumando?

El segundo sumando es similar al ejercicio 1), con la salvedad que: \( y'=\displaystyle\frac{ln(x)}{x} \). De la forma incorrecta en que resolví los ejercicios en el post anterior, diría que se hace el cambio: \( u = ln(x) \), y la integral se transforma en:

\( \displaystyle\int_{}^{} u' u dx = \displaystyle\int_{}^{} u du = \displaystyle\frac{1}{2} u^2 + c = \displaystyle\frac{1}{2} ln^2(x) + c \)

En la integral 10 podías dar algún detalle más.

Si hacemos el cociente tenemos que: \( \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} = 2-5x \), por lo tanto podemos simplificar el integrando por una función que es equivalente en todo el dominio de la primera. Ésto nos simplifica mucho los cálculos, ya que la integral se convierte en:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} (2-5x) dx = 2x - \displaystyle\frac{5}{2} x^2 + c \)

Quizás este ejercicio estaba pensado para algún otro método, pero me pareció menos rebuscado transformar el integrando para que tenga primitiva inmediata. (tengo un error cuando copié el resultado de la 10, me faltó el cuadrado de la x en el segundo término)

Saludos profe

[Jabato]

No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Seguiré contestando a vuestras preguntas por orden de numeración de los ejercicios, así vamos recorriendo bien el tema. Sigo pues  con los ejercicios 1 al 8 y con las dudas de aesede.

Creo que es un error pensar que en el método de composición de funciones se utiliza un cambio de variable. No es correcto. En dicho método lo que se utiliza es la definición del diferencial de una función para tratar de reescribir la función subintegral en la forma:

\( f(x)f'(x)dx= f(x)d(u) \)

que entonces puede aplicarse cuando es posible hacer que:

\( f(x)=v(u) \)

Efectivamente pueden interpretarse tales asociaciones como "cambios de variable", pero no es tal cosa ó al menos no lo veo yo así.

La interpretación que debe hacerse según lo veo yo, (y según se redactó el dictado del curso) es la siguiente:

a) Cuando hacemos:

\( x=x(t) \)

en el método de susbstitución lo que hacemos es substituir la variable \( x \) por la variable \( t \), cambio que podemos hacer siempre. Llegaremos a un resultado integrable ó no, pero el cambio lo podemos hacer siempre.

b) En el método de composición lo que hacemos es aplicar la definición de diferencial de una función:

\( f'(x)dx=du \)

y no un cambio de variable propiamente dicho.

Aunque es cierto que los segundos pueden interpretarse a veces también como cambios de variable, pero no siempre. Ya te expuse algún caso.

Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.

[aesede]

No tengo ahora demasiado tiempo para muchos comentarios. Debo irme, pero sí lo tengo para hacer solo uno breve. ¿Como es posible que el cociente de dos polinomios de segundo grado te de como resultado un polinomio de primero? ¡¿?!

Esta tarde procuraré contestar a todas tus preguntas.

Saludos, Jabato.

Hice cualquier cosa. No sé en qué estaba pensando. Tengo la cabeza en otro lado.

Eso me pasa por apurado, y por no pensar. Pido disculpas.

Vamos de nuevo:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = \displaystyle\int_{}^{} dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{2-5x}{x^2+4} dx = x + \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2}{x^2+4} dx - 5 \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x}{x^2+4} dx + c \)

La integral del segundo sumando la resolvemos haciendo el cambio: \( u = \displaystyle\frac{1}{2}x \), con lo que \( du = \displaystyle\frac{1}{2} dx \):

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2dx}{x^2+4} = \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2 dx}{4 (\displaystyle\frac{1}{4} x^2+1)}= \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{1+u^2} = arctan(u) + c_1 = arctan(\displaystyle\frac{x}{2}) + c_1 \)

La integral del tercer término la resolvemos haciendo el cambio \( u = x^2+4 \), con lo que \( du = 2x dx \):

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{-5 x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{2x dx}{x^2+4} = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{u'}{u} dx = - \displaystyle\frac{5}{2} \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{du}{u} = - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c_2 \)

Ahora sí, el resultado final es:

\( \displaystyle\int_{}^{} \displaystyle\frac{x^2-5x+6}{x^2+4} dx = x + arctan(\displaystyle\frac{1}{2} x) - \displaystyle\frac{5}{2} ln(x^2+4) + c \)

Otra vez coloqué los cambios de la forma \( u=u(x) \), supongo que cuando se está acostumbrado a algo es difícil dejarlo de lado. Vas a tener que tenerme paciencia jaja

Saludos.

[Jabato]

Un profesor de guitarra que tuve, hace ya muchos años, me decía que es mucho peor enseñar a un aficionado que sabe algo que a uno que no tiene ni idea, porque al primero hay que "desenseñarle" todo lo que hace mal. Y tenía mucha razón.

No estoy tratando de insinuar que seas un aficionado ni que hagas las cosas mál, aesede, entiéndeme, solo que en un curso que se llama "métodos de integración" convendría tener algún método para poder hablar de él. ¿No te parece?

El problema es que cuando entramos en el campo de las integrales indefinidas, toda la exactitud que tenían las matemáticas que habíamos estudiado desaparece como por arte de magia, empezamos a usar cosas que no son funciones como si lo fueran, nos olvidamos de los dominios y los codominios y de las reglas que deben satisfacer las funciones invertibles, continuas, derivables, etc. y entonces parece que todo vale. Y lo malo es que el sistema funciona. Muchas veces llegamos a resultados correctos usando métodos incorrectos, y claro, después pasa lo que pasa. Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método. Éste que os propongo yo, ó cualquier otro, me da igual, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto. Esa es la mejor manera de aprender esta técnica. Después, una vez dominemos la técnica, entonces es cuando empezamos a crear arte.

Saludos, Jabato.

[aesede]

Desde luego actuando con estos criterios a mi me va bien, y esa es la filosofía del curso y el planteamiento correcto del asunto. Es digamos el método que yo os propongo utilizar. Si quieres considerar que los segundos son también cambios de variable, pues tu mismo, pero ... entonces no llegaremos a entendernos, al menos no en este curso.

No lo tomes a mal. No estoy cuestionando lo que decís, ni mucho menos.

Es simplemente que, cuando lo estudié, lo estudié de otra forma. Somos animales de costumbres, y "desacostumbrarnos" a algo cuesta. Voy a pensar en el asunto, y tratar de entenderlo.

Mi consejo es que no nos salgamos del guión, y creo que entonces todo andará bien. Apliquemos un método, éste que os propongo yo, ó cualquier otro, pero uno que nos garantice que vamos a llegar a buen puerto.

Estoy de acuerdo, justamente para eso hago el curso.

Saludos

[Jabato]

El 9 y 10 parece que ya quedaron claros, sobretodo si conseguimos que aesede realice los cambios de variable al derecho y no al revés. Je, je.

El 11, convendría resolverlo aplicando uno de los métodos que establece el curso. Esa fué una exigencia que os puse justo antes de plantear los ejercicios de práctica:

"... y para los que la única condición que se os pone es la de resolverlos usando alguno de los métodos explicados en el curso ..."

¿Que método es el que aplicas aesede? Sinceramente no lo reconozco. ¿Podías hacer la exposición detallada y razonar como llegas a eso?

Si me permitis una sugerencia yo haría esto:

Sabemos que las soluciones de dicha ecuación son de la forma:

\( y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx \)

y puesto que:

\( d(ArcTan(x/2))=\displaystyle\frac{2dx}{4+x^2} \)

podemos reescribir la integral como:

\( y=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{ArcTan(x/2)}{4+x^2}\ dx=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}ArcTan(x/2)d(ArcTan(x/2)=\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}udu \)

que nos permite aplicar el método de integración por composición de funciones y concluir que:

\( y=\displaystyle\frac{1}{4}ArcTan(x/2)+Cte \)

Tu "diferencia de criterio" con el que he planteado aquí, aesede, parece estar en la consideración de que este método aplica un cambio de variable de la forma:

\( u=ArcTan(x/2) \)

y no cabe duda que es un enfoque posible, pero ése no es el enfoque que pretendo dar en este curso.

Saludos, Jabato.

[Dogod]

EJERCICIO 9: \( y'=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}+Ln(x)}{x} \)

Podemos descomponer la integral en dos sumandos, así:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx \).

En donde, del lado izquierdo, hemos racionalizado la expresión \( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x} \). Esto lo hemos hecho de la siguiente forma: Multiplicamos numerador y denominador por \( \sqrt[ ]{x}
 \), y nos queda:

\( \displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x}}x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}} \)


Bien, ahora que ya tenemos nuestras dos integrales procedemos a ver que en la segunda \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}dx
 \) podemos hacer una sustitución de la forma \( u = Ln(x) \), entonces \( du = \displaystyle\frac{1}{x} \). Y nos queda:

\( \displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}dx \), hemos hecho un cambio de la forma \( x=x(u) \), ya que podemos cambiar la integral de la siguiente forma:

\( \displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx=\displaystyle\int_{}^{}f(u)x'(u)du \), ahora:


\( \displaystyle\int_{}^{}u.du + \displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}dx = \)

\( \displaystyle\frac{u^2}{2} + \displaystyle\frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \displaystyle\frac{u^2}{2} + 2x^{1/2} + C = \). (Deshaciendo el cambio de variable):


\( 2\sqrt[ ]{x} + \displaystyle\frac{(Ln(x))^2}{2} + C \)

Estaré mal en el concepto?

Un saludo

[Jabato]

Creo que das demasiadas vueltas Sabio, y además cometes algún error que ya le he aclarado a aesede, veamos si puedo simplificar un poco tu razonamiento y corregirlo:

Una vez descompuesta la integral en suman de dos integrales, resulta que el primer sumando se corresponde con una integral inmediata:

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{x}}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^{-1/2}\ dx \)

Y el segundo podemos resolverlo mediante substitución con el cambio   \( x =e^t \)   \( dx=e^tdt \):

NOTA: Recuerda que el método de substitución siempre nos exige un cambio de variable de la forma \( x=x(t) \) que sea invertible y válido en todo el dominio de la función (no solo de este sumando sino de toda la función subintegral, piensa que lo que estamos haciendo es resolver una EDO, muy sencillita pero ... es toda una señora ecuación diferencial ordinaria de primer orden).

\( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{Ln(x)}{x}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}tdt \)

El resto ya es fácil. Solo hay que deshacer el cambio de variable y tenemos la primitiva del segundo sumando.

Nota, Sabio, que el cambio de variable que hemos utilizado esta vez es invertible y tiene validez en todo el dominio de la función subintegral que resulta ser \( x>0 \).

Esa forma de resolverlo es perfectamente conforme con el planteamiento dado en la teoría para el método de substitución.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Os recuerdo que hay todavía 9 ejercicios de aplicación que no habéis intentado. La idea era que esos ejercicios os sirvieran para entender los conceptos básicos.

Saludos, Jabato