No sé si tienes claro que \( \phi \) está bien definida y es una aplicación lineal de \( k \)-espacios vectoriales. Eso es porque la aplicación \( (f, g)\mapsto fg \) es bilineal y balanceada por lo que se extiende a una aplicación lineal sobre el producto tensorial.
Luego, supongo que la estructura de anillo que consideras en el producto tensorial es la determinada por \( (f\otimes g)\cdot (f'\otimes g') = ff'\otimes gg' \). Entonces sólo tienes que comprobar que \( \phi((f\otimes g)\cdot (f'\otimes g')) = \phi(f\otimes g)\phi(f'\otimes g') \), pero eso es inmediato, ya que ambos miembros son \( ff'gg' \). Por la linealidad de \( \phi \) de esta igualdad se sigue que \( \phi(\alpha\beta) = \phi(\alpha)\phi(\beta) \), para todos los elementos \( \alpha,\beta \) del producto tensorial (cada uno es suma finita de tensores puros \( f\otimes g \), y sólo tienes que aplicar que \( \phi \) conserva las sumas y los productos de tensores puros.)