[zimbawe]

Hola a todos. Tengo una duda, y agradecería si me pueden ayudar a solucionarla.

Resulta que cuando yo quiero mostrar que el producto tensorial entre dos \(  A  \) módulos \(  M, N  \) es isomorfo a otro A-módulo \(  P  \) se suele proceder de la siguiente manera.

1) Construyo una función bilineal \(  f: M \times N \to P  \)
2) Muestro que existe una función \(  A  \) lineal de \(  M \otimes N \to P  \)
3) Uso la propiedad universal del producto tensorial para mostrar que \(  M \otimes N \cong  \).
Aquí viene mi pregunta,

En: https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/AtiyahMacdonald.pdf

En la proposición 2.14 están probando que el producto tensorial es asociativo.

Se supone que hay que mostrar que

\(  (M \otimes N) \otimes P \cong M \otimes N \otimes P  \).

Yo entiendo la demostración pero hay un detalle que no sé porque es necesario.

¿Por qué tengo que definir la función \(  f: M \otimes N \to M \otimes N \otimes P  \)?

No se supone que lo que debería hacer es

Definir una función \(  \varphi: (M \otimes N) \times P \to M \otimes N \otimes P  \) y utilizar 1), 2) y 3)?

Quedo atento, mil gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Se supone que hay que mostrar que

\(  (M \otimes N) \otimes P \cong M \otimes N \otimes P  \).

Yo entiendo la demostración pero hay un detalle que no sé porque es necesario.

¿Por qué tengo que definir la función \(  f: M \otimes N \to M \otimes N \otimes P  \)?

 No es exactamente eso lo que hace. Para cada \( z\in P \) define \(  f_z: M \otimes N \to M \otimes N \otimes P \).

\( f_z(x\otimes y)=x\otimes y\otimes z \)

 que induce \(  f: (M \otimes N)\otimes P \to M \otimes N \otimes P \),

\( f((x\otimes y)\otimes z)=f_z(x\otimes y) \).

Saludos.

[zimbawe]

Gracias Luis. Mi pregunta es: ¿Por qué ese paso es necesario?¿Por qué no definir \(  f: (M \otimes N) \otimes P \to M \otimes N \otimes P  \) de una vez?

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias Luis. Mi pregunta es: ¿Por qué ese paso es necesario?¿Por qué no definir \(  f: (M \otimes N) \otimes P \to M \otimes N \otimes P  \) de una vez?

Para usar la propiedad universal del producto tensorial dos veces.

Es decir para definir:

\(  f: (M \otimes N) \otimes P \to M \otimes N \otimes P  \)

necesitas definir una aplicación bilineal:

\(  f: (M \otimes N) \times P \to M \otimes N \otimes P  \)

Esto supone para cada \( z\in P \) definir una aplicación \( A \)-lineal:

\( f_z:(M\otimes N)\to M \otimes N \otimes P \)

y esto a su vez definir una aplicación bilineal:

\( M\times N\to M \otimes N \otimes P \).

Saludos.

[zimbawe]

Ahhhh, ahora si es claro. Mil gracias Luis.

[zimbawe]

Luis, perdona, pensé que había sido claro, pero reflexionando me di cuenta que no. O por lo menos no para mí.

¿Por qué no puedo definir directamente \(  f((x \otimes y), z)=x \otimes y \otimes z  \) ?