[S.S]

Hola a todos.

Hace poco vi en Wikipedia el concepto de dynamical billiard  https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiards y por otro lado estaba leyendo la ley de Snell, No soy físico solo leia, asi que no tengo muha idea de la misma a no ser su enunciado. El punto es que me hice la siguiente pregunta y no sé si me pueden dar luz de como abordarla.
Supongamos que tenemos um rectángulo  como el de la figura, con medidas digamos 10 y 7 (no sé si estas medidas sean necesarias) en el cual tenemos una linea divisora que separa dos entornos  con diferente indice de refraccion \( n_{1} \) para la parte inferior y \( n_{2} \) para la parte superior. Supongamos ahora que tengo un rayo de luz como el amarillo en la figura  con coordendas (-1.5, -3.5) (no tengo certeza de si esta posicion influye), con ángulo respecto al normal \( \theta_{1} \) al salir del primer entorno el se refracta segun la ley de Snell con un ángulo \( \theta_{2} \) luego va a la superficie superior del rectangulo donde el rayo es reflejado, (Todas los lados del rectangulo son espejos ), y asi el rayo va reflejadose y refractandose muchas veces. La pregunta es ¿Existe un ángulo \( \theta_{1} \) para el cuál el rayo vuelve a pasar por el punto amarillo? ¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron? (A exepción del ángulo 0 y 90)

La cuestion es que no sé como modelarlo para no tener que siempre estar haciendo cálculos cada que el rayo se refracta o se refleja.   .

[ani_pascual]

La cuestion es que no sé como modelarlo para no tener que siempre estar haciendo cálculos cada que el rayo se refracta o se refleja.   .

Hola:
No lo he pensado mucho, pero me parece que el ángulo \( \theta_4=\theta_2 \) y que \( \theta_5=\theta_1 \). Asimismo, creo que depende de las coordenadas del punto amarillo. Tal y como está el dibujo, se podría ver si es posible una reflexión en la parte inferior que llegara al espejo de la izquierda y se reflejara con un ángulo complementario a \( \theta_1 \) y en la ordenada adecuada de tal manera que el rayo reflejado volviera a pasar por el punto amarillo con la misma dirección que el rayo inicial. Lo pensaré un poco más.
PD:
¡Cualquier jugador de billar clásico nos daría una pronta respuesta! 
Saludos

[ancape]

Hola a todos.

Hace poco vi en Wikipedia el concepto de dynamical billiard  https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiards y por otro lado estaba leyendo la ley de Snell, No soy físico solo leia, asi que no tengo muha idea le misma a no ser su enunciado. El punto es que me hice la siguiente pregunta y no sé si me pueden dar luz de como abordarla.
Supongamos que tenemos um rectángulo  como el de la figura, con medidas digamos 10 y 7 (no sé si estas medidas sean necesarias) en el cual tenemos una linea divisora que separa dos entornos  con diferente indice de refraccion \( n_{1} \) para la parte inferior y \( n_{2} \) para la parte superior. Supongamos ahora que tengo un rayo de luz como el amarillo en la figura  con coordendas (-1.5, -3.5) (no tengo certeza de si esta posicion influye), con ángulo respecto al normal \( \theta_{1} \) al salir del primer entorno el se refracta segun la ley de Snell con un ángulo \( \theta_{2} \) luego va a la superficie superior del rectangulo donde el rayo es reflejado, (Todas los lados del rectangulo son espejos ), y asi el rayo va reflejadose y refractandose muchas veces. La pregunta es ¿Existe un ángulo \( \theta_{1} \) para el cuál el rayo vuelve a pasar por el punto amarillo? ¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron? (A exepción del ángulo 0 y 90)

La cuestion es que no sé como modelarlo para no tener que siempre estar haciendo cálculos cada que el rayo se refracta o se refleja.   .

Hola

Veo algunas imprecisiones en el dibujo.
Supongo que la línea azul separa las dos zonas de índice de refracción diferente. Un rayo que no cambie de zona se refleja siempre de forma que el rayo de incidencia es simétrico del de reflexión respecto a la normal en el punto de reflexión. En es caso los ángulos \( \theta_3, \theta_4 \) son iguales. También lo son los que forma el rayo reflejado que has pintado con puntos suspensivos.
No se ve bien pero supongo que no sugerirá el dibujo que los tramos 1 y 2 del rayo están alineados.

Saludos

[Richard R Richard]

Si,  se puede pasar por ese punto amarillo de nuevo, de dos formas, una es variando el ángulo de salida y la posición de partida, otra es moviendo solo la posición de partida solo a derecha, observa que si lo haces el último haz punteado ascendente se corre a la izquierda, entonces habrá un punto donde ese haz pase por la posición de inicio.


para el otro caso del mismo modo, tienes que seguir modelando la trayectoria para que ingrese nuevamente por el medio de abajo y se repita el patrón exactamente en el mismo ángulo, Poder se puede pero hay que estudiar muy bien las dimensiones de la caja los índices de refracción de las capas el espesor de cada capa y la posición original, terminan siendo cualquier punto de la trayectoria, no únicamente un punto.


La idea subyacente de reforzar la señal con los rebotes  pero en un único medio es el principio de un laser, hacer que todo combine creo que se llama hacer una señal coherente.


Saludos

[ani_pascual]

En es caso los ángulos \( \theta_3, \theta_4 \) son iguales. También lo son los que forma el rayo reflejado que has pintado con puntos suspensivos.

Hola:
Me parece que el ángulo \( \theta_4 \) pretende ser el que forma el rayo con la normal en la separación de los medios, por lo que será el complementario de \( \theta_3 \) y como éste es el complementario de \( \theta_2 \) se tiene que \( \theta_4=\theta_2 \). Una vez más, el dibujo está bastante abierto a interpretaciones 
Saludos

[ancape]

Hola

Adjunto gráfico en Geogebra del lanzamiento de un rayo desde un punto P en Zona A en el caso particular de que el cociente de los índices de refracción de ambos medios (Zonas A y B) sea 2, esto es el ángulo de paso de una zona a otra se reduce a la mitad o se amplía al doble. Moviendo el punto \( P_2 \) objetivo inicial de lanzamiento en \( P \) del rayo, que también podemos mover, podemos observar que las trayectorias cuando vuelven a entrar en Zona A se mantienen paralelas a sí mismas. Por ejemplo la trayectoria en línea discontinua se mantiene paralela a sí misma al mover \( P_2 \) en la línea de separación. Simplemente considerando que ángulo de incidencia es igual al de reflexión cuando el movimiento no cambia de zona y que en el cambio de zona el ángulo se amplia o reduce siempre según el cociente de los índices de refracción podemos probar contando ángulos lo que el gráfico sugiere y he expuesto antes. Así, como decía Richard, aunque matemáticamente no quedaba explicado, volver al punto de partida después de los rebotes es seguro si se elige adecuadamente la posición de partida o el ángulo de disparo.

Saludos

[Richard R Richard]

Definamos algunas cosas para tener  nomenclaturas comunes

Todo lo referido al medio por encima, lo denominamos con subíndice 1 y todo lo de debajo subíndice 0

Supongamos que los índice de refracción cumplen $$n_1<n_0$$  ejemplo aire - agua

La caja tiene largo $$L$$ la capa inferior tiene altura $$d$$ y la superior altura $$h$$  la caja tiene dimensiones de $$L \times (d+h)$$

La posición inicial la definimos como $$(x_0,y_0)$$ tomada como referencia el vértice inferior izquierdo como $$(0,0)$$

Sea $$h_c$$ la altura medida desde la separación de medios donde el rayo rebota e invierte su velocidad horizontal

Hay que darse cuenta que  los rayos son paralelos a la entrada y salida de cada medio y la proyección horizontal de ellos debe coincidir

Esto lleva a que ocurra la siguiente relación

$$2(h-h_c)\tan\theta_1=2y_0\tan\theta_0$$


y la relación de longitud de dentro de la caja en direccion horizontal queda

$$L-x_0=d\tan\theta_0+ h\tan \theta_1$$

Según la ley de Snell  $$\color{red}\dfrac{\sin\theta_0}{n_0}=\dfrac{\sin\theta_1}{n_1}\color{black}$$ La he liado por confiar en la memoria es $$\sin\theta_0n_0=\sin\theta_1n_1$$ Por lo tanto lo que sigue adolece de la propagacióin de ese error

$$\theta_1=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\sin\theta_0\right)$$

como $$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}$$


podemos definir un parámetro $$w=\sin\theta_0$$  y suponer que se cumple $$w\in (0,1)$$
entonces
queda una ecuación a la cual hay que hallarle la raiz osea que haga se cumpla

$$0=x_0-L+\dfrac{wd}{\sqrt{1-w^2}}+\dfrac{hw}{\sqrt{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}-w^2}}$$

No es fácil hallar la raíz, sin poner valores reales a los parámetros, pero está claro que existe...

Con más tiempo me pienso un ejemplo para el refuerzo en la cual coinciden direccion y posicion, y si coincide la fase la onda se refuerza.

[Richard R Richard]

Hola

Adjunto gráfico en Geogebra del lanzamiento de un rayo desde un punto P en Zona A en el caso particular de que el cociente de los índices de refracción de ambos medios (Zonas A y B) sea 2, esto es el ángulo de paso de una zona a otra se reduce a la mitad o se amplía al doble. Moviendo el punto \( P_2 \) objetivo inicial de lanzamiento en \( P \) del rayo, que también podemos mover, podemos observar que las trayectorias cuando vuelven a entrar en Zona A se mantienen paralelas a sí mismas. Por ejemplo la trayectoria en línea discontinua se mantiene paralela a sí misma al mover \( P_2 \) en la línea de separación. Simplemente considerando que ángulo de incidencia es igual al de reflexión cuando el movimiento no cambia de zona y que en el cambio de zona el ángulo se amplia o reduce siempre según el cociente de los índices de refracción podemos probar contando ángulos lo que el gráfico sugiere y he expuesto antes. Así, como decía Richard, aunque matemáticamente no quedaba explicado, volver al punto de partida después de los rebotes es seguro si se elige adecuadamente la posición de partida o el ángulo de disparo.

Saludos

Claro, observa que si extiendes a izquierda el grafico  que propones no tienes que forzar la entrada con un ángulo hacia atrás, existirá una longitud natural correcta para pasar por el mismo punto, hay que tener en claro que toda la trayectoria está basada solo en dos ángulos diferentes, el de partida y el que asigne la ley de Snell debido a la refracción, el resto son solo reflexiones que es donde los ángulos de entrada y salida se igualan y es relativamente fácil hallar una trayectoria simétrica (por suponer algo) donde todo coincida para pasar nuevamente por el mismo punto....


Lo más difícil sería el caso en que todos  los ángulos fueran variables en cada rebote, pero como las transiciones mantienen relaciones constantes y la reflexiones también, siempre existe la forma que , dada una longitud de caja especifica el rayo puede pasar de nuevo por el mismo lugar... luego queda la tarea de medir la longitud y contar el número de reflexiones para  determinar una frecuencia en que la superposición de fases sea constructiva, si es que sirve para algo.


Si en la intersección de $$\overline{SN}$$ e $$\overline{IP_2}$$ se traza un eje de simetría vertical  haciendo que el lado izquierdo sea igual al derecho , entonces  cualquier punto P estaría sobre la trayectoria , solo hay que lanzarlo con una direccion determinada y con dos sentidos posibles.
Obviamente lo interesante es hallar la longitud L en función de los índices de de refracción y el ángulo inicial o bien la viceversa, que dada una longitud L se tenga  hallar el ángulo inicial.


Saludos

[Richard R Richard]

Hay que observar que 


$$\dfrac L2=2(h-h_c)\tan\theta_1=2(h-h_c)\dfrac{w}{\sqrt{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}-w^2}}$$
y que


$$\dfrac{(h-2h_c)}{\sqrt{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}-w^2}}=\dfrac{d}{\sqrt{1-w^2}}$$


de donde se desprende que por igualación en $$h_c$$  existe una nueva ecuación que relaciona la longitud para la trayectoria simétrica,
 y es posible obtener un número K perteneciente a los enteros de patrones similares al simétrico consecutivos, con igual resultado de refuerzo.

[ani_pascual]

Hola:
Además de preguntar si es posible elegir el ángulo \( \theta_1 \) para que la trayectoria vuelva a pasar por el punto de partida, también pregunta S.S lo siguiente:

¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron?

Creo que depende de la posición inicial, además de los índices de refracción de los medios y de las dimensiones de la caja; quizás no sea posible siempre que ocurra lo que se muestra en la figura

¿Qué opináis?
Saludos