[josaviini]

Hola, estoy aprendiendo sobre sistemas dinámicos y no entiendo muy bien por qué si tengo dos flujos \( \phi^t \) y \( \psi^t \) topológicamente conjugados (o equivalentes), la conjugación envía puntos fijos a puntos fijos y órbitas a órbitas (manteniendo el periodo en el caso de ser topológicamente conjugados). Muchas gracias por la ayuda.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, estoy aprendiendo sobre sistemas dinámicos y no entiendo muy bien por qué si tengo dos flujos \( \phi^t \) y \( \psi^t \) topológicamente conjugados (o equivalentes), la conjugación envía puntos fijos a puntos fijos y órbitas a órbitas (manteniendo el periodo en el caso de ser topológicamente conjugados). Muchas gracias por la ayuda.

 Que sean topológicamente conjugados significa que existe un homeomorfismo \( h \) tal que:

\( h(\phi(t,x))=\psi(t,h(x)) \)

Spoiler

No estoy seguro de que notación usas para el flujo. \(  \phi(t,x)=\phi_t(x) \)

[cerrar]

 Entonces dado un punto \( x_0 \) su órbita por el flujo \( \phi \) es:

\( \{\phi(t,x_0)|t\in I\} \)

 La imagen por el homeomorfismo \( h \) de su órbita es:

\( \{h(\phi(t,x_0))|t\in I\}=\{\psi(t,h(x_0)))|t\in I\} \)

 que es justo la órbita de \( h(x_0) \) por el flujo \( psi(x_0) \).Por tanto \( h \) envía órbitas en órbitas.

 Si el punto \( x_0 \) es fijo lá orbita es constante por \( \phi \) y por el razonamiento que acabamos de hacer la imagen de la órbita por \( x_0 \) es lá órbita de \( h(x_0) \) por \( \psi \) que será también constante y así \( h(x_0) \) un punto fijo de \( \psi \).

 Con la periodicidad de la órbita hay un razonamiento análogo:

\(  \phi(t,x_0)=\phi(T+t,x_0)\quad \Rightarrow{}\quad h(\phi(t,x_0))=h(\phi(T+t,x_0))\quad\Rightarrow{}\quad \psi(t,h(x_0))=\psi(T+t,h(x_0)) \)

 Para la equivalencia es muy parecido, sólo que en ese caso puede variar la parametrización del tiempo:

\( h(\phi(t,x))=\psi(s_x(t),h(x)) \)

 siendo \( s_x \) estrictamente creciente. Entonces los razonamientos vistos para la conjugación funcionan igual excepto el de la periodicidad.

Saludos.

[josaviini]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, estoy aprendiendo sobre sistemas dinámicos y no entiendo muy bien por qué si tengo dos flujos \( \phi^t \) y \( \psi^t \) topológicamente conjugados (o equivalentes), la conjugación envía puntos fijos a puntos fijos y órbitas a órbitas (manteniendo el periodo en el caso de ser topológicamente conjugados). Muchas gracias por la ayuda.

 Que sean topológicamente conjugados significa que existe un homeomorfismo \( h \) tal que:

\( h(\phi(t,x))=\psi(t,h(x)) \)

Spoiler

No estoy seguro de que notación usas para el flujo. \(  \phi(t,x)=\phi_t(x) \)

[cerrar]

 Entonces dado un punto \( x_0 \) su órbita por el flujo \( \phi \) es:

\( \{\phi(t,x_0)|t\in I\} \)

 La imagen por el homeomorfismo \( h \) de su órbita es:

\( \{h(\phi(t,x_0))|t\in I\}=\{\psi(t,h(x_0)))|t\in I\} \)

 que es justo la órbita de \( h(x_0) \) por el flujo \( psi(x_0) \).Por tanto \( h \) envía órbitas en órbitas.

 Si el punto \( x_0 \) es fijo lá orbita es constante por \( \phi \) y por el razonamiento que acabamos de hacer la imagen de la órbita por \( x_0 \) es lá órbita de \( h(x_0) \) por \( \psi \) que será también constante y así \( h(x_0) \) un punto fijo de \( \psi \).

 Con la periodicidad de la órbita hay un razonamiento análogo:

\(  \phi(t,x_0)=\phi(T+t,x_0)\quad \Rightarrow{}\quad h(\phi(t,x_0))=h(\phi(T+t,x_0))\quad\Rightarrow{}\quad \psi(t,h(x_0))=\psi(T+t,h(x_0)) \)

 Para la equivalencia es muy parecido, sólo que en ese caso puede variar la parametrización del tiempo:

\( h(\phi(t,x))=\psi(s_x(t),h(x)) \)

 siendo \( s_x \) estrictamente creciente. Entonces los razonamientos vistos para la conjugación funcionan igual excepto el de la periodicidad.

Saludos.

Muchísimas gracias Luis, me ha quedado muy claro.

Saludos

[josaviini]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, estoy aprendiendo sobre sistemas dinámicos y no entiendo muy bien por qué si tengo dos flujos \( \phi^t \) y \( \psi^t \) topológicamente conjugados (o equivalentes), la conjugación envía puntos fijos a puntos fijos y órbitas a órbitas (manteniendo el periodo en el caso de ser topológicamente conjugados). Muchas gracias por la ayuda.

 Que sean topológicamente conjugados significa que existe un homeomorfismo \( h \) tal que:

\( h(\phi(t,x))=\psi(t,h(x)) \)

Spoiler

No estoy seguro de que notación usas para el flujo. \(  \phi(t,x)=\phi_t(x) \)

[cerrar]

 Entonces dado un punto \( x_0 \) su órbita por el flujo \( \phi \) es:

\( \{\phi(t,x_0)|t\in I\} \)

 La imagen por el homeomorfismo \( h \) de su órbita es:

\( \{h(\phi(t,x_0))|t\in I\}=\{\psi(t,h(x_0)))|t\in I\} \)

 que es justo la órbita de \( h(x_0) \) por el flujo \( psi(x_0) \).Por tanto \( h \) envía órbitas en órbitas.

 Si el punto \( x_0 \) es fijo lá orbita es constante por \( \phi \) y por el razonamiento que acabamos de hacer la imagen de la órbita por \( x_0 \) es lá órbita de \( h(x_0) \) por \( \psi \) que será también constante y así \( h(x_0) \) un punto fijo de \( \psi \).

 Con la periodicidad de la órbita hay un razonamiento análogo:

\(  \phi(t,x_0)=\phi(T+t,x_0)\quad \Rightarrow{}\quad h(\phi(t,x_0))=h(\phi(T+t,x_0))\quad\Rightarrow{}\quad \psi(t,h(x_0))=\psi(T+t,h(x_0)) \)

 Para la equivalencia es muy parecido, sólo que en ese caso puede variar la parametrización del tiempo:

\( h(\phi(t,x))=\psi(s_x(t),h(x)) \)

 siendo \( s_x \) estrictamente creciente. Entonces los razonamientos vistos para la conjugación funcionan igual excepto el de la periodicidad.

Saludos.

Hola Luis, revisitando esto, estoy intentando encontrar un ejemplo específico de funciones que sean equivalentes pero no conjugadas para ver que el periodo no se mantiene. ¿Se te ocurre alguna? Disculpa las molestias y mi torpeza y muchas gracias de antemano.

[Luis Fuentes]

Hola

 Prueba con los sistemas lineales:

\(  \begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)

y

\(  \begin{pmatrix}x'\\y'\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\-4&0\\\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix} \)

Saludos.

[josaviini]

¿Cómo podría demostrar que ambos sistemas son equivalentes pero no conjugados? ¿Tendría que fijarme en las órbitas de las soluciones para ver que no se mantiene el periodo pero sí que tienen los mismos puntos fijos y órbitas o tendría que intentar construir el propio homomorfismo y la parametrización correspondiente? Estoy un poco perdido. Gracias

[josaviini]

¿Cómo podría demostrar que ambos sistemas son equivalentes pero no conjugados? ¿Tendría que fijarme en las órbitas de las soluciones para ver que no se mantiene el periodo pero sí que tienen los mismos puntos fijos y órbitas o tendría que intentar construir el propio homomorfismo y la parametrización correspondiente? Estoy un poco perdido. Gracias

Nada, ya he visto que ambos sistemas tienen las mismas órbitas circulares salvo período, todo bien. Muchas gracias Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Nada, ya he visto que ambos sistemas tienen las mismas órbitas circulares salvo período, todo bien. Muchas gracias Luis.

Correcto. Más en general para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, se puede probar que dos sistemas \( x'=Ax \) y \( x'=Bx \) son:

- Topológicamente equivalentes si y sólo si \( A,B \) tienen el mismo número de autovalores con parte real positiva.
- Topológicamente  conjugados si y sólo si \( A,B \) son matrices semejantes (existe \( P \) inversible, tal que \( B=P^{-1}AP \)).

Saludos.

[josaviini]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola, estoy aprendiendo sobre sistemas dinámicos y no entiendo muy bien por qué si tengo dos flujos \( \phi^t \) y \( \psi^t \) topológicamente conjugados (o equivalentes), la conjugación envía puntos fijos a puntos fijos y órbitas a órbitas (manteniendo el periodo en el caso de ser topológicamente conjugados). Muchas gracias por la ayuda.

 Que sean topológicamente conjugados significa que existe un homeomorfismo \( h \) tal que:

\( h(\phi(t,x))=\psi(t,h(x)) \)

Spoiler

No estoy seguro de que notación usas para el flujo. \(  \phi(t,x)=\phi_t(x) \)

[cerrar]

 Entonces dado un punto \( x_0 \) su órbita por el flujo \( \phi \) es:

\( \{\phi(t,x_0)|t\in I\} \)

 La imagen por el homeomorfismo \( h \) de su órbita es:

\( \{h(\phi(t,x_0))|t\in I\}=\{\psi(t,h(x_0)))|t\in I\} \)

 que es justo la órbita de \( h(x_0) \) por el flujo \( psi(x_0) \).Por tanto \( h \) envía órbitas en órbitas.

 Si el punto \( x_0 \) es fijo lá orbita es constante por \( \phi \) y por el razonamiento que acabamos de hacer la imagen de la órbita por \( x_0 \) es lá órbita de \( h(x_0) \) por \( \psi \) que será también constante y así \( h(x_0) \) un punto fijo de \( \psi \).

 Con la periodicidad de la órbita hay un razonamiento análogo:

\(  \phi(t,x_0)=\phi(T+t,x_0)\quad \Rightarrow{}\quad h(\phi(t,x_0))=h(\phi(T+t,x_0))\quad\Rightarrow{}\quad \psi(t,h(x_0))=\psi(T+t,h(x_0)) \)

 Para la equivalencia es muy parecido, sólo que en ese caso puede variar la parametrización del tiempo:

\( h(\phi(t,x))=\psi(s_x(t),h(x)) \)

 siendo \( s_x \) estrictamente creciente. Entonces los razonamientos vistos para la conjugación funcionan igual excepto el de la periodicidad.

Saludos.

Hola Luis, estaba intentando formalizar qué pasa con los períodos en el caso de la equivalencia y no conjugación topológica. ¿Sería correcto decir que $$h(\phi(t,x_0)) = h(\phi(t+T,x_0)) \rightarrow \psi(\alpha(t+T,x_0),h(x_0))$$, y por tanto la órbita será la misma salvo reparametrización (donde habría que añadir el período)?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola Luis, estaba intentando formalizar qué pasa con los períodos en el caso de la equivalencia y no conjugación topológica. ¿Sería correcto decir que $$h(\phi(t,x_0)) = h(\phi(t+T,x_0)) \rightarrow \psi(\alpha(t+T,x_0),h(x_0))$$, y por tanto la órbita será la misma salvo reparametrización (donde habría que añadir el período)?

Es que no acabo de entender del todo que quieres decir con la fórmula marcada en rojo.

Con las órbitas periódicas ocurre lo siguiente. Cumplen:

\( \phi(t,x_0)=\phi(t+T,x_0) \)

Les aplicamos el homeomorfismo:

\( h(\phi(t,x_0))=h(\phi(t+T,x_0)) \)

Y por ser topológicamente equivalentes queda:

\( \psi(\alpha(t,x_0),h(x_0))=\psi(\alpha(t+T,x_0),h(x_0)) \)

Pero no tenemos garantizado que:

\( \alpha(t,x_0)+T=\alpha(t+T,x_0) \)

por tanto no tiene porque conservarse el período \( T \).

Saludos.