Hola a todos, tengo lo siguiente.
Sea \( X \) un campo de clase \( C^{r}, r\geq 1 \) sobre la variedad \( M \). Si el punto \( p \) es un punto regular de \( X \), entonces el campo \( X \) es localmente estable en \( p \).
Mi intento:
Sea \( M \subset \mathbb{R}^{k} \) una variedad de dimensión \( m \). Como \( X: M \longrightarrow{\mathbb{R}^{k}} \), entonces sea \( X(\tilde{p}) =(X_{1}(\tilde p), \cdots, X_{r}(\tilde p)) \), como \( X(p)\neq 0 \), debe ser que existe una entrada \( X_{i}(p)\neq 0 \) para algún \( i \in \{1, \cdots , r \} \). Sea \( x: U \longrightarrow V \subset \mathbb{R}^{m} \) una parametrización de un entorno de \( p \), con \( x(p) = q \)
Hay varias cosas incorrectas, o al menos no bien definidas o inexactas, por ejemplo si \( M \) tiene dimensión \( m \) entonces cualquier campo vectorial toma valores en el fibrado tangente de \( M \), que se denomina como \( TM \), el cual localmente tiene la forma \( U\times \mathbb{R}^m \), donde \( U \) sería un abierto en \( {\color{red}{\mathbb{R}^m}} \). Si entendemos a \( X \) como un campo vectorial en la variedad ambiente donde se encuentra \( M \), que es \( \mathbb{R}^k \), entonces localmente tomaría valores en un conjunto de la forma \( V\times \mathbb{R}^k \), donde \( V \) sería un abierto en \( \mathbb{R}^k \). Ahora bien, el valor del campo vectorial en un punto \( p\in M \) toma valores en el espacio tangente a \( p \), el cual se denota como \( T_pM \), el cual es isomorfo a \( \mathbb{R}^m \).
Ahora, sí \( (U,x)=(U,x^1,\ldots ,x^m) \) es una carta local de \( M \), entonces el frame (o rejilla) que induce en \( TM|_U \) se suele denotar por \( \partial/\partial x^1,\ldots,\partial/\partial x^m \), y por tanto el campo vectorial se puede escribir con esa carta como
\( \displaystyle{
X_p=\sum_{k=1}^m X^k(p) \frac{\partial}{\partial x^k}\bigg|_p
} \)
para funciones (asumimos al menos continuas, o diferenciables, sino el ejercicio no tendría sentido) \( X^k \) desconocidas. Como \( X \) es regular en \( p \) entonces tienes que \( X_p\neq 0 \) (es decir, que el valor que toma el campo en \( p \) no es nulo), de ahí se sigue que existe al menos un \( j\in\{1,\ldots,m\} \) tal que \( X^j(p)\neq 0 \). Arriba he usado la notación \( X_p \) para referirme al campo vectorial en un punto, y la notación \( X^k \), en vez de \( X_k \), para referirme a sus funciones coordenadas (son notaciones usuales).
, luego se tiene que \( h:=X_{i}\circ x^{-1}: U \longrightarrow {\mathbb{R}} \) no es cero en \( q \in \mathbb{R}^{m} \). como \( h \) é continua e distinta de \( 0 \) em \( q \), por teorema de conservación del signo se tiene que existe un entorno en \( U \) tales que \( h \) é distinta de cero, sea tal entorno \( V_{q} \) y \( U_{p}= x^{-1}(V_{q}). \) Asi tenemos un entorno \( U_{p} \) en \( M \), tal que \( \left. X \right |_{U_{p}} \) es distinta de cero para cada \( \tilde p \in U_{p} \)...
Ok.
Pero ahi me atasque porque no sé como relacionar el entorno \( U_{p} \) con un entorno de \( N_{X} \) de \( X \) en el cual todo \( Y \in N_{X} \) sea topologicamente conjugado a \( X \) em \( p \), para algun \( q \in U_{p} \) que es el que debo encontrar para finalizar la prueba. No sé si sea un buen camino.
Aquí me pierdo, y puede que me equivoque porque apenas conozco sobre sistemas dinámicos, pero según entiendo la estabilidad local de un sistema se refiere a un entorno sobre un punto crítico, pero aquí no hay ningún punto crítico ya que el campo vectorial es no nulo en todo el entorno \( U_p \).
Añado: ok, buscando información sobre estabilidad de campos vectoriales veo que seguramente se refiera a lo que se denomina "estabilidad estructural". Pues de eso no tengo ni idea, lo siento
Corregido.
