Autor Tema: Inducción con fracciones y exponentes

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15 Abril, 2021, 11:23 pm
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ds

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Hola a todos!

Alguien me puede ayudar con este ejercicio de inducción?

Para todo real \[ x \] distinto de \[ 1 \] y \[ -1 \] y todo natural \[ n \geq{0} \] demostrar que se cumple la siguiente identidad

\[ \dfrac{1}{1+x} + \dfrac{2}{1+x^2} + \dfrac{4}{1+x^4} +... + \dfrac{2^n}{1+x^{2^n}} = \dfrac{1}{x-1} - \dfrac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}} \]


Entiendo que el caso base es demostrar para 0, suponemos un k arbitrario y demostramos para k+1. Ya probé con \[ n=0 \], pero al momento d de hacer \[ n=2 \], del lado izquierdo me sale un expresión muy horrible

Además, al momento de hacer la suposición para \[ k \] no sé cómo moverme, es decir qué álgebra seguir, como manipularlo. Las fracciones se me dificultan al igual que los exponentes

Alguna idea o sugerencia de como puedo seguir?

Gracias!

16 Abril, 2021, 01:04 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Hay un error tipográfico en el enunciado la igualdad es :

\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1} \)

Ahora sí

n=0

Lado izquierdo \( \displaystyle\frac{1}{1+x} \)

Lado derecho \( \displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{0+1}}{x^{2^{0+1}}-1}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{x+1-2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{1}{x+1} \)

Luego se cumple la igualdad y por ende el teorema.

n+1

Supuesto verdadero para n
\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-2^{n+1} \ (\displaystyle\frac{2}{(x^{2^{n+1}}-1)(1+x^{2^{n+1}})})=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+2}}{x^{2^{n+2}}-1} \)

Lqqd
Saludos

20 Abril, 2021, 08:13 pm
Respuesta #2

ds

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Hola

Hay un error tipográfico en el enunciado la igualdad es :

\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1} \)

Ahora sí

n=0

Lado izquierdo \( \displaystyle\frac{1}{1+x} \)

Lado derecho \( \displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{0+1}}{x^{2^{0+1}}-1}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{x+1-2}{x^2-1}=\displaystyle\frac{1}{x+1} \)

Luego se cumple la igualdad y por ende el teorema.

n+1

Supuesto verdadero para n
\( \displaystyle\frac{1}{1+x}+\displaystyle\frac{2}{1+x^2}...+\displaystyle\frac{2^n}{1+x^{2^n}}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+1}}{x^{2^{n+1}}-1}+\displaystyle\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\displaystyle\frac{1}{x-1}-2^{n+1} \ (\displaystyle\frac{2}{(x^{2^{n+1}}-1)(1+x^{2^{n+1}})})=\displaystyle\frac{1}{x-1}-\displaystyle\frac{2^{n+2}}{x^{2^{n+2}}-1} \)

Lqqd
Saludos

Muchas gracias, compañero.
En mis apuntes lo tengo justo así como en la pregunta, aun así le preguntaré a mis compañeros.
Saludos!

21 Abril, 2021, 08:48 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

En mis apuntes lo tengo justo así como en la pregunta, aun así le preguntaré a mis compañeros.
Saludos!

Pero no hay duda que el enunciado tiene la errata que indica delmar. Tal como lo habías escrito es inmediato que para \( n=0 \) ya no se cumpliría.

Saludos.