Autor Tema: Teorema especial de la función implícita

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13 Abril, 2021, 11:33 pm
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Albersan

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Hola, ¿cómo están?

Necesito por favor que me ayuden a comprender un paso de  la demostración del teorema especial de la función implícita. (caso F  :\(   \mathbb{R^3} \rightarrow{\mathbb{R}} \)).

Suponga que la función F tiene derivadas parciales continuas. Designando a los puntos de \(  \mathbb{R^3}  \) ´por \(  (\vec{x},z)  \) , donde \(  \vec{x}\in{\mathbb{R^2}}  \)   y  \( z\in{\mathbb{R}}  \) y además sea  \( (\vec{x_0}, z_0) \) que satisface  \(  F(\vec{x_0},z_0)=0  \) y   \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},z_o)\neq{0}  \).

La demostracion se inicia suponiendo que  \( \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(x_0,y_0,z_o) >0  \) . Por continuidad se tienen números \( a>0 , b >0 \), tales que \( \left\|{x-x_0}\right\|<a \) y \( \left |{z-z_0}\right |<a \), entonces \(  \frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x},z)>b  \).
Además las otras derivadas parciales están acotadas por un número \( M  \) en la región, deducción directa de continuidad:  \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial x}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),   \( \left |{\frac{{\partial f}}{{\partial y}}}(\vec{x},z)\right |\leq{M}  \),

escribimos \(  F(\vec{x},z)=F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z)+F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0) \) . Finalmente si usamos la función  \( h(t)=F(t\vec{x}+(1-t)\vec{x_0},z)  \), por el teorema del valor medio tenemos que  \( \theta  \) satisface:

\(  F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}_x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), éste es el paso que no entiendo.

Muchísimas gracias.

14 Abril, 2021, 12:01 am
Respuesta #1

Masacroso

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Finalmente si usamos la función  \( h(t)=F(t\vec{x}+(1-t)\vec{x_0},z)  \), por el teorema del valor medio tenemos que  \( \theta  \) satisface:

\(  F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}_x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), éste es el paso que no entiendo.

Muchísimas gracias.

Si \( g:[0,1]\to \mathbb{R}^n,\, t\mapsto tx+(1-t)x_0 \) y \( f:\mathbb{R}^n \to  \mathbb{R} \) entonces \( f\circ g:[0,1]\to \mathbb{R} \), y por tanto el teorema del valor medio nos dice que

\( \displaystyle{
\exists \xi\in (0,1): (f\circ g)(1)-(f\circ g)(0)=(f\circ g)'(\xi)
} \)

De la regla de la cadena nos queda que \( (f\circ g)'(t)=\nabla f(g(t)) \cdot g'(t)=\nabla f(tx+(1-t)x_0)\cdot (x-x_0) \). En tu caso \( f=F(\cdot ,z) \) donde \( z \) es un valor fijo, y por tanto \( \nabla f(v)=\partial _1 F(v,z) \) (tú has usado la notación \( D_x \) en vez de \( \partial _1 \) pero es lo mismo).

16 Abril, 2021, 04:35 am
Respuesta #2

Albersan

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Gracias Masacroso, aun debo estudiar este caso especial, escribiré más adelante,  para comprobar si los conceptos los tengo claros.
Lo que más me da problema es el termino \( \theta_x  \) en la última ecuacion  con que estamos trabajando.

Gracias.

16 Abril, 2021, 06:04 am
Respuesta #3

Masacroso

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Gracias Masacroso, aun debo estudiar este caso especial, escribiré más adelante,  para comprobar si los conceptos los tengo claros.
Lo que más me da problema es el termino \( \theta_x  \) en la última ecuacion  con que estamos trabajando.

Gracias.

Lo que pasa es que tienes un error de escritura ahí, en vez de \( \theta _x \) debería ser \( \theta x \).

17 Abril, 2021, 08:08 pm
Respuesta #4

Albersan

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Gracias Masacroso:

Menos mal que era un error de escritura y no un concepto.

Gracias por la ayuda.

27 Abril, 2021, 10:04 pm
Respuesta #5

Albersan

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Hola, ¿qué tal?

               Quisiera por favor retomar este tema, porque me encontré con nuevas dificultades en el camino.

Tenía que \( F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), por lo tanto,

\( F(\vec{x},z)= [D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)}+[\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0
](z-z_0) \)     (\(  \theta \)  y  \( \phi \)  están entre \( 0 \) y \( 1  \))

El autor hace las siguientes suposiciones: Sea \(  a_0 \) tal que  \(  0<a_0<a \) y elige \( \delta>0 \) tal que   
   \( \delta<a_0 \)      y     \( \delta<\displaystyle\frac{ba_0}{2M} \).
Entonces si \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), la expresión del comienzo puede expresarse como: \( [\frac{{\partial f}}{{\partial x}}({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](x-x_0)+[\frac{{\partial f}}{{\partial y}}({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](y-y_0) \), donde cada derivada es menor que \( M\delta<M(\displaystyle\frac{ba_0}{2M})=\displaystyle\frac{ba_0}{2} \). Es decir, si \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), entonces \(  \left |{[D_xF({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)}}\right |<ba_0  \),

Eligiendo \( b \) adecuadamente y si  \(  \left\|{x-x_0}\right\|<\delta  \), entonces se tiene: \(  F(\vec{x},z_0+a_0)>0 \) y \( F(\vec{x},z_0-a_0)<0 \).    ¿Por qué esto último?   


Muchísimas gracias.

27 Abril, 2021, 10:56 pm
Respuesta #6

Masacroso

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Hola, ¿qué tal?

               Quisiera por favor retomar este tema, porque me encontré con nuevas dificultades en el camino.

Tenía que \( F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0,z})=[D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \), por lo tanto,

\( F(\vec{x},z)= [D_xF({\theta}x+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)}+\color{red}{[\frac{{\partial f}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0
](z-z_0)} \)     (\(  \theta \)  y  \( \phi \)  están entre \( 0 \) y \( 1  \))

No entiendo de dónde sale lo marcado en rojo. Tampoco sé lo que es \( f \). Ahí falta contexto, sino no se entiende.

27 Abril, 2021, 11:33 pm
Respuesta #7

Albersan

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Si, disculpa cometí un error,

Es \(  \frac{{\partial F}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0))(z-z_0) \),

\( F(\vec{x},z)=(F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z))  + (F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0)) \)            (\( F(\vec{x_0},z_0)=0 \)   por definición).


(1)\( F(\vec{x},z)-F(\vec{x_0},z)=[D_xF({\theta}\vec{x}+(1-\theta)\vec{x_0},z)](\vec{x}-\vec{x_0)} \)   y
 
\( F(\vec{x_0},z)-F(\vec{x_0},z_0)= \frac{{\partial F}}{{\partial z}}(\vec{x_0},\phi z+(1-\phi)z_0))(z-z_0) \), donde se ha aplicado la misma propiedad del TVM que en (1).   \( \phi\in{[0,1]} \)


28 Abril, 2021, 06:47 pm
Respuesta #8

Masacroso

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A ver, ya más o menos me aclaro con lo que has escrito. Con \( \mathbf{v}_0:=(x_0,y_0,z_0) \) tenemos que \( D_z F(\mathbf{v}_0)=c \) para algún \( c>0 \). Como \( D_zF \) es continua entonces para cualquier \( \epsilon >0 \) que elijamos, existe un \( a  >0 \) tal que \( |D_z F(\mathbf v)-c|<\epsilon  \) para todo \( \mathbf v\in \mathbb B (\mathbf{v}_0,a ) \), por tanto \( D_z F(\mathbf v)>c-\epsilon \).

Si \( F(\mathbf{v}_0)=0 \) entonces efectivamente tenemos que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
F(\mathbf v)&= F(x,y,z)\\
&=(F(x,y,z)-F(x_0,y_0,z))+(F(x_0,y_0,z)-F(x_0,y_0,z_0))\\
&=D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)+D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)
\end{align*}\tag1
} \)

para algún par de \( \theta,\phi\in(0,1) \).

Ahora bien, la derivada \( D_{(x,y)} F \) es continua y por tanto está acotada (con la norma correspondiente) en cualquier bola cerrada (u otro conjunto compacto) que tomemos, el autor toma una cota \( M \) para ambas derivadas \( D_{(x,y)}F,\, D_zF \) en la región \( \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \).

Tomando un \( \epsilon  \) arriba suficientemente pequeño podemos definir \( b:=c-\epsilon  \) y tener que \( b>0 \), entonces a partir de ahí el autor construye un \( \delta >0 \) tal que

\( \displaystyle{
|D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)|<M\delta <ba_0
}\tag2 \)

si \( \|(x-x_0,y-y_0)\|<\delta  \). También tenemos que

\( \displaystyle{
|D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)|>b|z-z_0|\tag3
} \)

Entonces si \( |z-z_0|\geqslant a_0 \) de (2) y de (3) tenemos que

\( \displaystyle{
|D_{(x,y)} F(\theta (x,y)+(1-\theta)(x_0,y_0),z)\cdot (x-x_0,y-y_0)|<|D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0)| \tag4
} \)

Por tanto el signo de \( D_z F(x_0,y_0,\phi z+(1-\phi)z_0)\cdot (z-z_0) \) determina el signo de \( F(x,y,z) \) cuando \( \|(x-x_0,y-y_0)\|<\delta  \) y \( |z-z_0|\geqslant a_0 \) (para \( (x,y,z)\in \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \), recordemos que todo esto es dentro de la región \( \mathbb B (\mathbf{v}_0,a) \)).

02 Mayo, 2021, 01:03 am
Respuesta #9

Albersan

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Muchas gracias Masacroso:

Ahora entiendo, ha sido de gran utilidad la explicación. Estoy muy agradecido.

Saludos.