Autor Tema: Demostración de parametrización

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

13 Abril, 2021, 04:37 am
Leído 104 veces

Sintesis

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 36
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Buenas, estoy intentando demostrar esto pero no se me ocurre como seguir.

Demostrar que \( r(t) = b.sen(t)j + a.cos(t)i \) es la forma parametrizada de una elipse con centro en (0;0) y semiejes a y b.

Pensé en sumar y elevar al cuadrado los dos lados.

\( x^2 + y^2 = b^2.sen^2(t) + a^2.cos^2(t) \) 

Pero no se me ocurre como seguir
----------------------------------------------------
Edito: Ya me salió, pero ahora no me sale esta, demostrar que es otra parametrización de la elipse anterior:

\( s(t) = a.sen(2t)i + b.cos(2t)j  \) con  \( t\in{[0;\pi]} \)

13 Abril, 2021, 09:50 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,108
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Buenas, estoy intentando demostrar esto pero no se me ocurre como seguir.

Demostrar que \( r(t) = b.sen(t)j + a.cos(t)i \) es la forma parametrizada de una elipse con centro en (0;0) y semiejes a y b.

Pensé en sumar y elevar al cuadrado los dos lados.

\( x^2 + y^2 = b^2.sen^2(t) + a^2.cos^2(t) \) 

Pero no se me ocurre como seguir
----------------------------------------------------
Edito: Ya me salió, pero ahora no me sale esta, demostrar que es otra parametrización de la elipse anterior:

\( s(t) = a.sen(2t)i + b.cos(2t)j  \) con  \( t\in{[0;\pi]} \)

¿Qué has intentado? ¡Es prácticamente lo mismo que la otra!.

Saludos.

13 Abril, 2021, 07:26 pm
Respuesta #2

Sintesis

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 36
  • País: ar
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias, probé empezando como la otra y desarrollando con propiedades y me salió, saludos.

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}=\displaystyle\frac{a^2.cos^2(2t)}{a^2} = cos^2(2t) \)
\( \displaystyle\frac{y^2}{b^2}=\displaystyle\frac{b^2.sen^2(2t)}{b^2}= sen^2(2t)  \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= [cos^2(t) - sen^2(t)]^2 + [2sen(t).cos(t)]^2 \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos^2(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) +2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= (cos^2(t)+sen^2(t))^2 \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= 1^2 \)



13 Abril, 2021, 08:00 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,108
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Gracias, probé empezando como la otra y desarrollando con propiedades y me salió, saludos.

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}=\displaystyle\frac{a^2.cos^2(2t)}{a^2} = cos^2(2t) \)
\( \displaystyle\frac{y^2}{b^2}=\displaystyle\frac{b^2.sen^2(2t)}{b^2}= sen^2(2t)  \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= [cos^2(t) - sen^2(t)]^2 + [2sen(t).cos(t)]^2 \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos^2(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) -2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) +4sen^2(t).cos^2(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= cos^4(t) +2sen^2(t)cos(t) + sen^4(t) \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= (cos^2(t)+sen^2(t))^2 \)
\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+ \displaystyle\frac{y^2}{b^2}= 1^2 \)

Está bien, ¡pero es más sencillo!. Para cualquier ángulo \( A \) se cumple que:

\( cos^2(A)+sin^2(A)=1 \)

En particular para \( A=2t \).

Saludos.