Autor Tema: Convergencia de una serie para problema de EDP

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12 Abril, 2021, 07:24 pm
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alexpglez

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Estaba enfrentando un problema de EDP, en la cuál me ha aparecido el análisis de cierta serie.
Sea [texx] U\subset \mathbb R^n [/texx] un dominio acotado con frontera regular, sean [texx] a^{ij}, c \in C^{\infty}(\overline U) [/texx], con [texx] A=(a_{ij}) [/texx] simétrica y uniformemente elíptica:
$$ \xi^TA(x)\xi\geq \theta|\xi|^2, \;\;\; \theta>0 $$
Sea [texx] L [/texx] el operador elíptico:
$$  Lu:=-\sum_{ij} \partial_i(a_{ij}\partial_ju)+cu $$
Nos preguntamos por la EDP tipo calor, para [texx] t>0 [/texx]:
$$ u_t=-Lu $$
$$ u|_{\partial U}=0 $$
$$ u(0)=u_0$$
Como [texx] L [/texx] es uniformemente elíptico y simétrico, y por la regularidad, hay una base ortonormal de autovectores [texx] u_k\in C^{\infty}(\overline U)[/texx] cuyos autovalores [texx]\lambda_k[/texx] crecen a infinito. Desarrollando la [texx] u [/texx] en la base, y resolviendo las EDOs para los coeficientes (sin mucha preocupación de convergencia), obtenemos:
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Llamemos [texx] k_0 [/texx] al primer natural tal que [texx] \lambda_{k_0}>0 [/texx]. Si quiero comprobar las sucesivas derivabilidades (entre otras regularidades), aplicando (por ejemplo) el teorema de Weirstrass para series, me encuentro con el problema de saber si:
$$ \sum_{k=k_0}^{\infty} \lambda_k^n e^{-\lambda_k\delta}<+\infty, \;\;\; \forall n\in \mathbb N, \;\;\;  \forall \delta>0 $$

¿Es esto verdad para toda sucesión creciente [texx] 0< \lambda_{k_0} \leq \lambda_{k_0+1} \leq ...[/texx], [texx]\lim_k \lambda_k=+\infty [/texx]?

En caso de no ser cierto, ¿es en general la serie diferenciable o hay que suponer algo en el enunciado o demostrar alguna condición extra para [texx] \lambda_k [/texx]?

Muchas gracias,

12 Abril, 2021, 07:59 pm
Respuesta #1

alexpglez

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$$ \sum_{k=k_0}^{\infty} \lambda_k^n e^{-\lambda_k\delta}<+\infty, \;\;\; \forall n\in \mathbb N, \;\;\;  \forall \delta>0 $$
Evidentemente esto es falso para [texx] \lambda_k=\log(k) [/texx]...

Esto me confunde, creía que la solución a la ecuación del calor era regular para [texx] t>0 [/texx] (que es lo que me pide el ejercicio demostrar para [texx] L [/texx])...

13 Abril, 2021, 02:22 am
Respuesta #2

alexpglez

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La respuesta es afirmativa, [texx] u \in C^{\infty}((0,+\infty),L^2)[/texx]. Escribo la solución por si alguien le interesa.
$$ u(t)=\sum_k c_k e^{-\lambda_k t} u_k, \;\;\; c_k=(u_0,u_k)_{L^2} $$
Me he dado cuenta que hay que usar una versión distinta del lema de Weirstrass:
Sea [texx] \{u_k\}_k [/texx] una base ortonormal de un espacio de Hilbert y sea [texx] c_k\in C^1(I) [/texx] donde [texx] I\subset \mathbb R [/texx] es un intervalo.
Si para todo compacto [texx] K\subset I [/texx], [texx] \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c_k(t)|^2, \; \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in K}}|c'_k(t)|^2<+\infty [/texx], entonces:
$$ u(t):=\sum_k c_k(t)u_k \in C^1(I,H)$$
$$ u'(t):=\sum_k c_k'(t)u_k \in C(I,H) $$
La demostración es trivial usando el teorema de convergencia dominada.

En el caso de [texx] c_k(t)=a_ke^{-\lambda_k t} [/texx]. [texx] c_k'(t)=-a_k\lambda_k e^{-\lambda_k t} [/texx]. Definimos:
$$ C(t)=\max_{x\in [0,+\infty)}xe^{-xt}=\frac{e^{-1}}{t} $$
Y así:
$$ \sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in (0,+\infty)}} |c_k(t)|^2\leq \sum_k |a_k|^2<+\infty $$
$$\sum_k \textcolor{red}{\sup_{t\in [\delta,+\infty)}}|c_k'(t)|^2\leq C(\delta)\sum_k |a_k|^2<+\infty, \;\; \forall \delta>0 $$
De donde el lema de Weirstrass implica que la función que yo quería es [texx]  C^1((0,+\infty),L^2) [/texx]. Aplicando esto reiteradamente se ve que es suave (e incluso se puede ver que es analítica)

Nota: Tenía un error ayer, para que funcione el TCD tenía que pedir un poco más en el lema. (Lo he escrito en rojo)