Autor Tema: otro ejemplo de maximización.

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12 Abril, 2021, 04:15 pm
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NoelAlmunia

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Otro ejemplo de maximización:
La intersección del plano \( x+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{3}=0 \) con la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \) es un círculo. Determine el punto sobre este círculo con coordenada x máxima.

13 Abril, 2021, 01:43 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Una forma :

Los puntos que cumplen las dos ecuaciones dadas, constituyen una línea \( \alpha \), considerando como parámetro y se tiene :

\( \alpha: J\rightarrow{R^3} \)

\(  \ \ \ y\rightarrow{(x,y,-3x-\displaystyle\frac{3}{2}y)} \)

J ha de ser un intervalo y obviamente x es una función de y se puede denominar \( x=g(y) \), la componente z se despejo de la primera ecuación (plano), en esas circunstancias existe un solo parámetro y

Se tiene un campo escalar F

\( F:R^3\rightarrow{R} \)

\( (x,y,z)\rightarrow{F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1} \)

Es evidente que \( H=F\circ{\alpha} \) es decir la compuesta de F y \( \alpha \) se define :

\( H:J\rightarrow{R} \)

\( y\rightarrow{F(\alpha(y))=x^2+y^2+(-3x-\displaystyle\frac{3}{2}y)^2-1=0} \)

Obviamente x=g(y), se observa que H es una función real constante nula. Existe una relación entre los jacobianos de estas funciones :

\( J(H)=J(F) \ J(\alpha) \)

\( (0)=\begin{pmatrix}{2x}&{2y}&{2z}\end{pmatrix} \ \begin{pmatrix}{x'}\\{1}\\{-3x'-\displaystyle\frac{3}{2}}\end{pmatrix}=2xx'+2y+2z(-3x'-\displaystyle\frac{3}{2})=2xx'+2y+2(-3x-\displaystyle\frac{3}{2}y) \ (-3x'-\displaystyle\frac{3}{2}) \)

Simplificando se llega :

\( xx'+y+9xx'+\displaystyle\frac{9}{2}x+\displaystyle\frac{9}{2}x'y+\displaystyle\frac{9}{4}y=0 \)

x=g(y) es continua derivable entonces su máximo ha de ocurrir en un punto crítico o en un extremo, considerando  \( x'=0 \) esto implica :

\( 13y+18x=0 \)  utilizando las ecuaciones 1 y 2 se obtienen los valores de todas las coordenadas y se verifican.

Saludos

13 Abril, 2021, 05:05 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola NoelEL

Otro ejemplo de maximización:
La intersección del plano \( x+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{3}=0 \) con la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \) es un círculo. Determine el punto sobre este círculo con coordenada x máxima.

Debes poner lo que intentas, así podremos ver cómo ayudarte.

Otra forma, revisa.

Despejamos para z en la ecuación del plano resultando   \[ z=-3x-\dfrac{3}{2}y \]

Y sustituyendo esta en la ecuación de la esfera obtenemos \[ 10x^2+9xy+\dfrac{13}{4}y^2=1 \]

Despejando para y obtenemos  dos resultados :
\[ y_1=-\dfrac{12}{13}\left(\sqrt{13-49x^2}+9x\right) \]
\[ y_2=\dfrac{12}{13}\left(\sqrt{13-49x^2}-9x\right) \]

De aquí podemos obtener el valor máximo usando el argumento de la raíz cuadrada de la ecuación y su restricción, es decir \[ 13-49x^2>0 \]


Saludos

No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

13 Abril, 2021, 09:52 pm
Respuesta #3

NoelAlmunia

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Otro ejemplo de maximización:
La intersección del plano \( x+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{3}=0 \) con la esfera \( x^2+y^2+z^2=1 \) es un círculo. Determine el punto sobre este círculo con coordenada x máxima.

Bueno, lo desarrolle de la siguiente manera:
Como lo que se pide es encontrar el punto sobre el círculo, que se obtiene cuando el plano corta a la esfera, con coordenada \( x \) máxima entonces se requiere maximizar la función:
\( f_\left(x,y,z\right)=x \)
Sujeto a las restricciones \( g_\left(x,y,z\right)=x+\displaystyle\frac{y}{2}+\displaystyle\frac{z}{3} \) y \( h_\left(x,y,z\right)=x^2+y^2+z^2-1 \)

Determinando los gradientes:
\( \vec{\nabla}f_\left(x,y,z\right)=\hat{i} \)
\( \vec{\nabla}g_\left(x,y,z\right)=\hat{i}+\displaystyle\frac{\hat{j}}{2}+\displaystyle\frac{\hat{k}}{3} \)
\( \vec{\nabla}h_\left(x,y,z\right)=2x\hat{i}+2y\hat{j}+2z\hat{k} \)

Aplicando los multiplicadores de Lagrange para las dos restricciones:
\( \vec{\nabla}f_\left(x,y,z\right)=\lambda\vec{\nabla}g_\left(x,y,z\right)+\mu\vec{\nabla}h_\left(x,y,z\right) \)

\( \hat{i}=\lambda\left(\hat{i}+\displaystyle\frac{\hat{j}}{2}+\displaystyle\frac{\hat{k}}{3}\right)+\mu\left(2x\hat{i}+2y\hat{j}+2z\hat{k}\right) \)
De lo que se deriva el sistema siguiente:
I) \( 1=\lambda+2x\mu \) \( \rightarrow \) \( \mu=\displaystyle\frac{1-\lambda}{2x} \)
II) \( 0=\displaystyle\frac{\lambda}{2}+2y\mu \) \( \rightarrow \) \( \lambda=-4\mu y \)
III) \( 0=\displaystyle\frac{\lambda}{3}+2z\mu \) \( \rightarrow \) \( \lambda=-6\mu z \)

De las ecuaciones 2 y 3: \( -4\mu y=-6\mu z \)
\( y=\displaystyle\frac{3z}{2} \)

Sustituimos en el plano, en la primera restricción: \( x+\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{3z}{2}\right)+\displaystyle\frac{z}{3}=0 \),     \( x=\displaystyle\frac{3z}{2} \)
Ambos valores de \( x \) y \( y \) se sustituyen en la segunda restricción que es la esfera:
\( \left(-\displaystyle\frac{13z}{12}\right)^2+\left(\displaystyle\frac{3z}{2}\right)^2+z^2=1 \) \( \rightarrow \) \( z=\pm{\displaystyle\frac{12}{7\sqrt[ ]{13}}} \)

Por lo que los valores de \( x \) e \( y \) son:
\( x=\pm{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{13}}{7}} \) y \( y=\pm{\displaystyle\frac{18}{7\sqrt[ ]{13}}} \)

Conformando los puntos:
\( P_1\left(\displaystyle\frac{-\sqrt[ ]{13}}{7};\displaystyle\frac{18}{7\sqrt[ ]{13}};\displaystyle\frac{12}{7\sqrt[ ]{13}}\right) \)
\( P_2\left(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{13}}{7};-\displaystyle\frac{18}{7\sqrt[ ]{13}};-\displaystyle\frac{12}{7\sqrt[ ]{13}}\right) \)

Donde \( P_2 \) es el punto de mayor coordenada \( x \)