Hola tengo dudas con este ejercicio
Sea \( M_n\mathbb{R} \) el espacio vectorial de las matrices de \( n × n \) con coeficientes reales. Para \( A=(a_{ij}) , B= (b_{ij}) \in M_n(\mathbb{R}) \) define \( d(A,B)= \displaystyle\sum_{i,j=1}^n{} | a_{ij} - b_{ij} | \)
Pruebe que \( d \) es una métrica en M\( _n(\mathbb{R}) \). Recuerde que una matrix \( N \in M_n(\mathbb{R}) \)es llamada nipotente si existe \( k \in \mathbb{N} \) tal que \( N^k= 0 \). Muestre que el conjunto de las matrices nilpotentes en\( M_n(\mathbb{R}) \) es un conjunto cerrado en\( M_n(\mathbb{R}) \)
Lo que he hecho:
Para mostrar que d es una métrica, se debe mostrar que \( d(A,B) \geq 0 \). Para todas las matrices \( A \) y \( B \) de \( n × n. \). Además, también debe mostrar \( d(A,B) = 0 \iff A = B \) y que \( d(A,B) \leq d(A,C ) + d(C, B) \) donde \( A, B, C \) son cualquier matriz \( n × n \), y que\( d (A, B) = d (B ,A). \)
i) \( d(A,B) \geq 0 \) Es claro ya que es una suma de terminos no negativos y por lo tanto siempre será postivo
ii) Para mostrar que \( d (A, B) = d (B, A) \) tengo dudas me han sugerido usar la siguiente propiedad de valores absolutos pero no se muy bien como ocuparla \( |a-b| = |b-a| \) ya que \( |a-b| = |-(b-a)| = |-1||b-a| = |b-a| \)
iii) La desigualdad triangular no se muy bien como probarla \( |a_{ij} - b_{ij}| \leq |a_{ij} - c_{ij}| + |c_{ij} - b_{ij}| \)
De antemano gracias.
Saludos