[Koragg]

Buenas, no estoy consiguiendo hacer este ejercicio. No sé cómo usar el dato de que tiene una raíz imaginaria pura
Gracias

Considerre el polinomio \[ P(z)=z^4-2z^3+6z^2-8z+8 \]. Sabiendo que P(z) tiene una raíz imaginaria pura.
Halle todas sus raíces.

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[Fernando Revilla]

Considerre el polinomio \[ P(z)=z^4-2z^3+6z²-8z+8 \]. Sabiendo que P(z) tiene una raíz imaginaria pura.
Halle todas sus raíces.

    Si \( bi \) con \( b \) real y no nulo es raíz de \( P(z) \) se ha de verificar \( P(iz)=0 \). Operando e igualando partes reales e imaginarias, obtendrás \( b^2-6b+8=0 \) y \( b^3-4b=0 \), ecuaciones que se satisfacen simultaneamente para \( b=2 \). Una raíz es por tanto \( 2i \) y otra \( -2i \) (polinomio con coeficientes reales). Dividiendo \( P(z) \) entre \( (z-2i)(z+2i)=z^2+4 \) obtendras un cociente (y resto \( 0 \)) que te proporcionará las otras dos raíces.

[ingmarov]

Hola

Debes aprender a poner tus ecuaciones usando LaTex, como mandan las reglas. Revisa el tutorial de LaTeX y las reglas del foro. Por esta vez edité tu mensaje.


Otra forma de resolver es, sea \( ai \) una raíz de P(z), entonces la división larga de P(z) entre \( z^2+a^2 \) debe dar un resto igual a cero. Con eso encuentras el valor de \( a \). Para terminar el problema bastará aplicar la ecuación cuadrática al polinomio de grado dos de la división de polinomios ya mencionada, encontrando las otras dos raíces de P(z).

Saludos