Autor Tema: El intervalo [a,b] es conexo.

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11 Marzo, 2021, 09:51 am
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Tonton

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Hola, que tal foro.
Espero que todos se encuentren bien de salud, también espero que puedan brindar su apoyo para demostrar que el intervalo \( [a,b] \) es conexo. Se los agradecería demasiado.

Mi prueba, la realizo por contradicción.
supongo que \( I=[a,b] \) es no covexo, es decir existen conjuntos  \( A \) y \( B \) ambos abiertos, tales que \( I\subseteq{A\cup{B}} \), \( A\cap{B}=\emptyset \), \( A\cap{B}=\emptyset \) y \( B\cap{I}\neq\emptyset \)

De lo anterior puedo decir que existen \( c\in{A} \) y \( d\in{B} \).
Sin perdida de generalidad puedo asumir que \( c<d \) (Observando que \( c=d \) no puede ocurrir pues \( A\cap{B}=\emptyset \)). Como \( A \) y \( B \) son abiertos \( a<c<d<b \).

Considerando el conjunto \( S=\{x\in{A} | x<d\} \)
Tengo en cuenta que \( S\neq\emptyset \), puesto que \( A\cap{B}=\emptyset \), eso garantiza que \( A\neq\emptyset \) y entonces \( S\neq\emptyset \) (¿Es correcto?).

Como \( S\neq\emptyset \) y además es acotado, cuenta con un supremo.
Sea \( supS=s \), \( s \) tiene que ser menor o igual a \( d \) por como esta definido, \( a<s\leq{d}<b \), por lo que \( s\in{I}\subseteq{A\cup{B}} \), lo que es \( s\in{A\cup{B}} \).

Si tomo a \( s\in{B} \), puedo considerar una bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{B} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satiface que \( x\not\in{A} \) y además no hay \( x\in{S} \) tales que \( s-r<x \), es decir que todo elemento en \( B(s,r) \) es mayo que cualquier elemento de \( S \).
Esto significa que existen cotas superiores de \( S \) menores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) no es la mínima cota superior.
Asi \( s\not\in{B} \)

Si se toma \( s\in{A} \), considero la misma bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{A} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satisface que \( x\in{S} \) y además estas \( x \) son mas grandes que \( s \).
Lo significa que existen elementos en \( S \) mayores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) es la mínima cota superior.
Por lo tanto  \( s\not\in{A} \)

Obteniendo que  \( s\not\in{A\cup{B}} \), lo que implica que \( s\not\in{I} \), contradiciendo el supuesto.
Conclusión, el intervalo \( [a,b] \) es conexo.

¿Hace falta considerar si \( S\neq\emptyset  \)? (Tengo confusión en si se considera o no, no me es claro si se debería considerarlo, pues
\( S \) claramente no es vacío).


Espero puedan ayudar en aclarar mis dudas y también en corregir cualquier error que se presente en mi intento de prueba, seria grato para corregir todo defecto al escribir una prueba.
Muchas gracias de antemano, tengan un excelente día y cuídense mucho.



11 Marzo, 2021, 10:39 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 Antes de nada. En todos los sitios donde has puesto convexo tienes que poner conexo;)

Hola, que tal foro.
Espero que todos se encuentren bien de salud, también espero que puedan brindar su apoyo para demostrar que el intervalo \( [a,b] \) es convexo. Se los agradecería demasiado.

Mi prueba, la realizo por contradicción.
supongo que \( I=[a,b] \) es no convexo, es decir existen conjuntos  \( A \) y \( B \) ambos abiertos, tales que \( I\subseteq{A\cup{B}} \), \( A\cap{B}=\emptyset \), \( A\cap{B}=\emptyset \) y \( B\cap{I}\neq\emptyset \)

Lo que está en rojo está repetido y sería \( A\cap{B}\cap I=\emptyset \). Te falta \( A\cap{I}\neq\emptyset \).

Citar
De lo anterior puedo decir que existen \( c\in{A} \) y \( d\in{B} \).

Te conviene \( c\in A\cap I \) y \( d\in B\cap I \).

Citar
Sin perdida de generalidad puedo asumir que \( c<d \) (Observando que \( c=d \) no puede ocurrir pues \( A\cap{B}=\emptyset \)). Como \( A \) y \( B \) son abiertos \( a<c<d<b \).

Bien; aunque sería de nuevo \( A\cap{B}\cap I=\emptyset \)

Citar
Considerando el conjunto \( S=\{x\in{A} | x<d\} \)

Sería: Considerando el conjunto \( S=\{x\in{A}\color{red}\cap I\color{black} | x<d\} \)

Citar
Tengo en cuenta que \( S\neq\emptyset \), puesto que \( A\cap{B}=\emptyset \), eso garantiza que \( A\neq\emptyset \) y entonces \( S\neq\emptyset \) (¿Es correcto?).

Si; simplemente tienes que \( c\in S \).

Citar
Como \( S\neq\emptyset \) y además es acotado, cuenta con un supremo.
Sea \( supS=s \), \( s \) tiene que ser menor o igual a \( d \) por como esta definifo, \( a<s\leq{d}<b \), por lo que \( s\in{I}\subseteq{A\cup{B}} \), lo que es \( s\in{A\cup{B}} \).

Si tomo a \( s\in{B} \), puedo considerar una bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{B} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satiface que \( x\not\in{A} \) y además no hay \( x\in{S} \) tales que \( s-r<x \), es decir que todo elemento en \( B(s,r) \) es mayo que cualquier elemento de \( S \).
Esto significa que existen cotas superiores de \( S \) menores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) no es la minima cota superior.
Asi \( s\not\in{B} \)

Bien.

Citar
Si se toma \( s\in{A} \), considero la misma bola abierta \( B(s,r) \) tal que \( B(s,r)\subseteq{A} \).
Obteniendo que para todas las \( x\in{B(s,r)} \), se satisface que \( x\in{S} \) y además estas \( x \) son mas grandes que \( s \).
Lo significa que existen elementos en \( S \) mayores que \( s \), lo cual es una contradicción, pues \( s \) es la mínima cota superior.
Por lo tanto  \( s\not\in{A} \)

Te falta notar que \( s<d \) porque no puede ocurrir \( s=d\in A \) ya que \( d\not\in A \). Y especificar que tomas una bola \( B(s,r) \) con \( r=d-s \).

Citar
¿Hace falta considerar si \( S\neq\emptyset  \)? (Tengo confusión en si se considera o no, no me es claro si se debería considerarlo, pues
\( S \) claramente no es vacío).

Ya has justificado antes que es no vacío.

Saludos.

11 Marzo, 2021, 10:56 am
Respuesta #2

sugata

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Hola

 Antes de nada. En todos los sitios donde has puesto convexo tienes que poner conexo;)


Me estaba volviendo loco....
Pensaba: "algo falta para analizar la convexidad"

11 Marzo, 2021, 03:06 pm
Respuesta #3

Tonton

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Hola

 Antes de nada. En todos los sitios donde has puesto convexo tienes que poner conexo;)


Me estaba volviendo loco....
Pensaba: "algo falta para analizar la convexidad"

Muy cierto, perdón por la confusión de la palabra.
Son términos que se asemejan un poco para mi  (claro son términos distintos hablando de su definición)y por eso me equivoque, que pena. Perdón.  :-[