Autor Tema: Ejercicio flujo

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27 Febrero, 2021, 09:52 pm
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SM

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Hola! Necesito ayuda con este ejercicio.
\( T=\{(x,y,z)\in \Bbb R^2/ 1\leq x^2+z^2\leq 4,x^2+y^2+z^2\leq 9\}. \) Determine el flujo saliente a través de la frontera T del campo vectorial \(  F ⃗(x,y,z)=(2xz,2y-xe^{-z},y-z^2). \)

La idea es resolverlo con teorema de la divergencia. La superficie es cerrada, pero como no es simplemente conexa, me recomendaron dividir la superficie en dos con el plano \( z=0 \), aplicar el teorema a cada una y luego sumarlas.
Calcule la divergencia, que era lo mas facil, pero tuve algunos problemas a la hora de poner los limites de integración. Utilice coordenadas cilíndricas (Para \( x,z \)) pero los limites en \( y \) no quedaron bien y no se como arreglarlos.
¿Me podrian indicar como quedarian los limites si quiero resolver el problema de este modo?

27 Febrero, 2021, 10:48 pm
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Una forma sencilla de resolverlo es intercambiar la coordenada \( y \) y la \( z \) de la región y de las componentes del campo vectorial. Así se pueden usar coordenadas ciíndricas y esféricas con límites de integración bonitos.
Luego de terminar se vuelven cambiar coordenadas.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

28 Febrero, 2021, 08:01 am
Respuesta #2

robinlambada

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CITA CORREGIDA
Hola
Hola! Necesito ayuda con este ejercicio.
\( T=\{(x,y,z)\in \Bbb R^2/ 1\leq x^2+z^2\leq 4,x^2+y^2+z^2\leq 9\}. \) Determine el flujo saliente a través de la frontera T del campo vectorial \(  F ⃗(x,y,z)=(2xz,2y-xe^{-z},y-z^2). \)

La idea es resolverlo con teorema de la divergencia. La superficie es cerrada, pero como no es simplemente conexa, me recomendaron dividir la superficie en dos con el plano \( z=0 \), aplicar el teorema a cada una y luego sumarlas.
Calcule la divergencia, que era lo mas facil, pero tuve algunos problemas a la hora de poner los limites de integración. Utilice coordenadas cilíndricas (Para \( x,z \)) pero los limites en \( y \) no quedaron bien y no se como arreglarlos.
¿Me podrian indicar como quedarian los limites si quiero resolver el problema de este modo?
Si parametrizas en cilíndricas:

\( \begin{cases}{z=R\cos t}\\x=R\sen t\\y=y\end{cases} \)

No es necesario que dividas el volumen en 2.

Directamente \( 0\leq{}t<2\pi \)  ,  \( 1\leq{}R\leq{}2 \) ,  \( -\sqrt[ ]{9-R^2}\leq{}y\leq{}+\sqrt[ ]{9-R^2} \)

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

28 Febrero, 2021, 07:26 pm
Respuesta #3

SM

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Muchas gracias :)