La implicación recíproca creo que sería trivial pues dado \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \), tenemos que para cada \( \alpha \in A \) se tiene que \( \alpha < \kappa \), con lo que \( |\alpha| < \kappa \) y por hipótesis es entonces es cardinal de \( \bigcup A \) menor que \( \kappa \), luego como \( \bigcup A \) es un ordinal, es \( \bigcup A < \kappa \). Entonces como el conjunto \( A \) es arbitrario, por lo que hemos dicho antes, \( \kappa \) es regular.
Sólo un matiz. Has llegado a que \( \bigcup A \) es un ordinal cuyo cardinal es menor que \( \kappa \), eso no es exactamente lo mismo que \( \bigcup A<\kappa \), pero lo implica porque \( \kappa \) es un cardinal, y sus elementos son todos los ordinales de cardinal menor que \( \kappa \).
Para la implicación directa, estoy teniendo problemas con la arbitrariedad de los conjuntos y no llego a demostrarlo (sin asumir cosas que no se si son ciertas y mucho menos demostrar). ¿Cómo se podría ver?
Sea \( \{A_\alpha\}_{\alpha<\vartheta} \) una familia de \( \vartheta<\kappa \) conjuntos de cardinal menor que \( \kappa \).
Entonces \( B=\{|A_\alpha|\mid \alpha<\vartheta\}\subset \kappa \) cumple \( |B|\leq |\vartheta|<\vartheta<\kappa \), luego, si \( \kappa \) es regular, \( \xi=\sup B<\kappa \).
Como \( |A_\alpha|\leq \xi \), podemos tomar aplicaciones suprayectivas \( f_\alpha: \xi\longrightarrow A_\alpha \) (podemos suponer que ningún \( A_\alpha \) es vacío). Con estas aplicaciones podemos construir otra aplicación suprayectiva \( f: \vartheta\times \xi\longrightarrow \bigcup_{\alpha<\vartheta}A_\alpha \), mediante \( f(\alpha,\beta)=f_\alpha(\beta) \). Entonces \( \left|\bigcup_{\alpha<\vartheta}A_\alpha\right|\leq |\vartheta\times \xi|<\kappa \).
