Autor Tema: Duda sobre el límite de una composición

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

03 Enero, 2020, 03:44 am
Leído 710 veces

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 281
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola a todos, primero que nada les envío un cordial saludo :)
Tengo una duda respecto al siguiente ejercicio:
Sean \( g:A\subset{R^{n}}\rightarrow{R^{m}} \), \( f:D\subset{R^{m}}\rightarrow{R^{k}} \), \( x_{0}\in{R^{n}} \) y \( l\in{R^{k}} \) tales que \( x_{0}\in{A} \) y \( y_{0}=g(x_{0})\in{D´} \) siendo \( C´ \) el conjunto de todos los punto de acumulación del conjunto \( C \). Si \( g \) es continua en \( x_{0} \) , \(    \displaystyle\lim_{y \to{}y_{0}}{f(y)}=l           \) y existe \( r>0 \) tal que \( g(x)\neq{g(x_{0})} \) para toda \( x\in{B(x_{0};r)}-\left\{{x_{0}}\right\} \), entonces \( f\circ{g} \) tiene límite en \( x_{0} \) y además \(  \displaystyle\lim_{x \to{}x_{0}}{(f\circ{g})(x)}=l             \).
Lo que intenté fue lo siguiente:
Por definición debo mostrar que dado \( \epsilon >0 \), \( \exists{\delta>0} \) tal que para toda \( x\in{A} \), si \( x\in{B(x_{0};\delta)}-\left\{{x_{0}}\right\} \) entonces \( (f\circ{g})(x)\in{B(l;\epsilon)} \).
Sea entonces \( \epsilon>0 \) fijo, de acuerdo a lo anterior \( x_{0} \) debe ser un punto de acumulación de A, sin embargo como por hipótesis \( B(x_{0},r)\subset{A} \) se sigue que \( x_{0} \) es un punto interior de A y por tanto también un punto de acumulación de A. Así que por ende \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_{0}}{g(x)}=g(x_{0})=y_{0} \)(cosa que no pasa si \( x_{0}  \) fuera un punto aislado).
Ahora, como g es continua y \( g(x)\neq{g(x_{0})} \) para toda \( x\in{B(x_{0};r)}-\left\{{x_{0}}\right\} \), se deduce que \( y_{0}\in{(g(A))´} \).
Por ende \( y_{0}\in{D´\cap{(g(A))´}}=( D \cap{(g(A))} )' \) esto último me lleva a pensar que entonces \( x_{0} \in{(g^{-1}(D)\cap{A})'=(g^{-1}(D))´}  \).
Ahora, como  \(    \displaystyle\lim_{y \to{}y_{0}}{f(y)}=l           \) tenemos que :
(1) \( \exists{\delta ´}>0  \) tal que \( \forall{y\in{D}} \), si \( y\in{B(y_{0};\delta ´)}-\left\{{y_{0}}\right\} \) entonces \( f(y)\in{B(l;\epsilon)} \)
Por otro lado, \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_{0}}{g(x)}=g(x_{0})=y_{0} \) y por ende:
(2) \( \exists{\delta ´´}>0  \) tal que \( \forall{x\in{A}} \), si \( x\in{B(x;\delta ´´)}-\left\{{x_{0}}\right\} \) entonces \( g(x)\in{B(y_{0};\delta ´)} \)
Poniendo \( \delta=min(\delta ´´ ,r) \) tenemos que si \( x\in{( B(x;\delta ´´)-\left\{{x_{0}}\right\} ) \cap{g^{-1}(D)}} \) , entonces dado que \( g^{-1}(D)\subset{A} \) se sigue que \( x\in{( B(x;\delta ´´)-\left\{{x_{0}}\right\} ) \cap{A}} \) ,  por  (2) y porque \( \delta\leq{r} \) esto significa que \( g(x)\in{B(y_{0};\delta ´)-\left\{{y_{0}}\right\}} \) y por (1) concluimos que \( f(g(x))\in{B(l;\epsilon)} \).
Sin embargo, como ven un punto crucial de mi prueba se basa en el hecho de que \( x_{0}\in{(g^{-1}(D))´} \), pero cómo puedo probar este hecho rigurosamente? He estado intentándolo pero sin éxito. De antemano muchas gracias. Saludos.
ACTUALIZACIÓN: Se me ha pasado decir que si \( B\subseteq{R^{m}} \) , \( g^{-1}(B) \) denota la imagen inversa del conjunto \( B \) bajo \( g \), es decir, \( g^{-1}(B)=\left\{{x\in{A}:g(x)\in{B}}\right\} \)

03 Enero, 2020, 04:57 am
Respuesta #1

delmar

  • Moderador Global
  • Mensajes: 2,334
  • País: pe
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

En el razonamiento mostrado, se esta haciendo una suposición, existencia de la inversa de g; pero eso no siempre se da, g puede ser continua y no tener inversa. Tengo poco tiempo; pero muestro un esbozo.

\( \exists{\displaystyle\lim_{y \to{}y_0}{f(y)}=l} \), esto implica

\( \forall{\epsilon>0}, \ \exists{\rho>0} \ / \  \left\|{f(y)-l}\right\|<\epsilon, \ si \ \  0<\left\|{y-y_0}\right\|<\rho \)

Denominando \( \rho^*=min\left\{{\rho, r}\right\} \)

La continuidad de g en \( x_0 \) implica :

\( \exists{\delta>0}, \ / \  \left\|{g(x)-g(x_0)}\right\|<\rho^*, \ si \ \  0<\left\|{x-x_0}\right\|<\delta \)

Considerando que \( y_0=g(x_0) \) y que los g(x) son algunos de los y se puede concluir :

\( \forall{\epsilon>0}, \ \exists{\delta>0} \ / \  \left\|{f(g(x))-l}\right\|<\epsilon, \ si \ 0< \left\|{x-x_0}\right\|<\delta \)

En consecuencia por definición de límite \( \displaystyle\lim_{x \to{}x_0}{f(g(x))}=l \)

Saludos

03 Enero, 2020, 06:29 am
Respuesta #2

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 281
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola delmar, gracias por tu respuesta.
No me refería a la inversa de la función  \( g \), \( g^{-1}(D) \) denota la imagen inversa del conjunto \( D \) bajo g, esto es, \( g^{-1}(D)=\left\{{x\in{A}:g(x)\in{D}}\right\} \), y ese conjunto siempre existe no?
Saludos

03 Enero, 2020, 10:36 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

No me refería a la inversa de la función  \( g \), \( g^{-1}(D) \) denota la imagen inversa del conjunto \( D \) bajo g, esto es, \( g^{-1}(D)=\left\{{x\in{A}:g(x)\in{D}}\right\} \), y ese conjunto siempre existe no?

Si, siempre existe. Lo que pasa es que en realidad al enunciado del Teorema en mi opinión le falta un dato y es que \( g(B(x_0,r)-\{x_0\})\subset A \), para que tenga sentido evaluar \( f\circ g \) en un entorno del punto \( x_0 \), o al menos que \( y_0 \) sea un punto de acumulación de \( g(D)\cap A \).

En realidad quizá lo lógico para hablar sin problemas de la composición es suponer que \( g(D)\subset A \).

Saludos.

03 Enero, 2020, 05:09 pm
Respuesta #4

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 281
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis, gracias por tu respuesta :D.
Por hipótesis tenemos que \( g \) es continua en \( x_{0} \), por tanto para  que \( y_{0}=g(x_{0}) \) sea un punto aislado de \( g(A) \) entonces \( g \) debería ser constante en un entorno de \( x_{0} \) no?
Pero por hipótesis \( g(x)\neq{g(x_{0})} \) \( \forall{x\in{B(x_{0};r)-\left\{{x_{0}}\right\}}} \), no significa esto que entonces \( y_{0}\in{(g(A))´} \)?
Por ende \( y_{0}\in{D´\cap{(g(A))´}}=(D\cap{g(A)})´ \), ya que también por hipótesis \( y_{0}\in{D´} \).
Pero cómo a partir de ahí podría concluir que \( x_{0}\in{(g^{-1}(D))´} \)? Esa es mi pregunta, intuitivamente tiene sentido pero es lo que no he podido probar.
Saludos

03 Enero, 2020, 08:04 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis, gracias por tu respuesta :D.
Por hipótesis tenemos que \( g \) es continua en \( x_{0} \), por tanto para  que \( y_{0}=g(x_{0}) \) sea un punto aislado de \( g(A) \) entonces \( g \) debería ser constante en un entorno de \( x_{0} \) no?
Pero por hipótesis \( g(x)\neq{g(x_{0})} \) \( \forall{x\in{B(x_{0};r)-\left\{{x_{0}}\right\}}} \), no significa esto que entonces \( y_{0}\in{(g(A))´} \)?
Por ende \( y_{0}\in{D´\cap{(g(A))´}}=(D\cap{g(A)})´ \), ya que también por hipótesis \( y_{0}\in{D´} \).
Pero cómo a partir de ahí podría concluir que \( x_{0}\in{(g^{-1}(D))´} \)? Esa es mi pregunta, intuitivamente tiene sentido pero es lo que no he podido probar.

Creo que no me he explicado bien. Supón el siguiente ejemplo:

\( g:\Bbb R\to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)
\( f:(-\infty,0)\subset \Bbb R\to \Bbb R,\qquad  f(x)=x \)

de forma que:

\( A=\Bbb R \)
\( D=(-\infty,0) \)
\( x_0=0 \)
\( y_0=g(x_0)=0\in D' \)
y por ejemplo para \( r=1 \), \( x\in  B(0,1)-\{0\} \) verifica \( g(x)\neq g(x_0)=0 \).

Entonces en este caso \( g^{-1}(D)=\emptyset \). Desde luego no puedes garantizar por tanto que \( x_0\in (g^{-1}(D))' \) y de hecho ni siquiera que la función \( f\circ g \) esté definida en un entorno del \( 0 \), con lo cual no tiene sentido calcular el límite.

Entonces vuelve a leer mi mensaje anterior: al enunciado le falta alguna hipótesis para que la composición tenga sentido.

Saludos.

03 Enero, 2020, 09:22 pm
Respuesta #6

SebasMM

  • $$\Large \color{#5372a0}\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 53
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola
Quizá habría que suponer desde el principio que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´}\subseteq{A´} \) ya que me parece que aunque \( g(A)\subset{D} \) eso tampoco garantizaría que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´} \)
Saludos.

04 Enero, 2020, 02:34 am
Respuesta #7

FerOliMenNewton

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 281
  • País: mx
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis, gracias por tu respuesta :D.
Por hipótesis tenemos que \( g \) es continua en \( x_{0} \), por tanto para  que \( y_{0}=g(x_{0}) \) sea un punto aislado de \( g(A) \) entonces \( g \) debería ser constante en un entorno de \( x_{0} \) no?
Pero por hipótesis \( g(x)\neq{g(x_{0})} \) \( \forall{x\in{B(x_{0};r)-\left\{{x_{0}}\right\}}} \), no significa esto que entonces \( y_{0}\in{(g(A))´} \)?
Por ende \( y_{0}\in{D´\cap{(g(A))´}}=(D\cap{g(A)})´ \), ya que también por hipótesis \( y_{0}\in{D´} \).
Pero cómo a partir de ahí podría concluir que \( x_{0}\in{(g^{-1}(D))´} \)? Esa es mi pregunta, intuitivamente tiene sentido pero es lo que no he podido probar.

Creo que no me he explicado bien. Supón el siguiente ejemplo:

\( g:\Bbb R\to \Bbb R,\qquad g(x)=x^2 \)
\( f:(-\infty,0)\subset \Bbb R\to \Bbb R,\qquad  f(x)=x \)

de forma que:

\( A=\Bbb R \)
\( D=(-\infty,0) \)
\( x_0=0 \)
\( y_0=g(x_0)=0\in D' \)
y por ejemplo para \( r=1 \), \( x\in  B(0,1)-\{0\} \) verifica \( g(x)\neq g(x_0)=0 \).

Entonces en este caso \( g^{-1}(D)=\emptyset \). Desde luego no puedes garantizar por tanto que \( x_0\in (g^{-1}(D))' \) y de hecho ni siquiera que la función \( f\circ g \) esté definida en un entorno del \( 0 \), con lo cual no tiene sentido calcular el límite.

Entonces vuelve a leer mi mensaje anterior: al enunciado le falta alguna hipótesis para que la composición tenga sentido.

Saludos.
Hola Luis, muchas gracias! Ya entendí a qué te referías , no entendí al principio .
Como dice SebasMM quizá solo deba suponer que \( x_{0}\in{}(g^{-1}(D))´\subset{A´} \) , con eso terminaría la demostración.
Nuevamente gracias :)
Saludos
Hola
Quizá habría que suponer desde el principio que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´}\subseteq{A´} \) ya que me parece que aunque \( g(A)\subset{D} \) eso tampoco garantizaría que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´} \)
Saludos.
Hola, supongo que tienes razón, eso resuelve todo! Muchas gracias!
Saludos

04 Enero, 2020, 08:37 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,101
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola
Quizá habría que suponer desde el principio que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´}\subseteq{A´} \) ya que me parece que aunque \( g(A)\subset{D} \) eso tampoco garantizaría que \( x_{0} \in{(g^{-1}(D))´} \)
Saludos.

Si \( g(A)\subset D \) entonces \( g^{-1}(D)=A \).

Del dato \( g(x)\neq g(x_0) \) para \( x\in B(x_0,r)-\{x_0\} \) se sobreentiende que \( B(x_0,r)-\{x_0\}\subset A \) (en otro caso no estaría definida \( g \) en esos puntos) y por tanto \( x_0\in A'=(g^{-1}(D))' \).

Saludos.