Autor Tema: Continuidad de una función

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05 Enero, 2020, 09:00 pm
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asaca

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Tomemos como ejemplo esta función.

\( f(x,y) = \displaystyle\frac{2yxcos(x^2)(x^2+y^2)-2yxsen(x^2)}{(x^2+y^2)^2} \) cuando \( (x,y)\neq{(0,0)} \)


\( f(x,y) = 0 \) cuando \( (x,y) = (0,0) \)


¿Se puede decir que f es continua en todo punto distinto de (0,0) por ser suma y producto de  funciones trigonómetricas
y polinomios que no anulan el denominador?

05 Enero, 2020, 09:09 pm
Respuesta #1

Bobby Fischer

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Hola,

La suma, producto y composición de funciones continuas es continua. La respuesta es que sí. El único punto problemático es el (0,0). Habría que ver si puede definirse adecuadamente la función en dicho punto para que sea continua en todo \( \mathbb{R}^2 \), estudiando el límite cuando (x,y) tiende a (0,0) de la función.

Saludos.

Edit: Con el desarrollo de Taylor, no existe el límite de dicha función. Pero si le quitas el cuadrado del denominador, sí puede definirse la función como cero en (0,0) para que sea continua en todo el plano. Se puede apreciar la diferencia:




05 Enero, 2020, 09:59 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

Tomemos como ejemplo esta función.

\( f(x,y) = \displaystyle\frac{2yxcos(x^2)(x^2+y^2)-2yxsen(x^2)}{(x^2+y^2)^2} \) cuando \( (x,y)\neq{(0,0)} \)


\( f(x,y) = 0 \) cuando \( (x,y) = (0,0) \)


¿Se puede decir que f es continua en todo punto distinto de (0,0) por ser suma y producto de  funciones trigonómetricas
y polinomios que no anulan el denominador?

Respecto al punto \( (0,0) \) puedes ver que no existe el límite tomando límites sobre las trayectorias \( y=ax \).

Saludos.