Autor Tema: Calcular el área de un dominio de una función vectorial

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03 Diciembre, 2019, 09:31 pm
Respuesta #10

Luis Fuentes

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Hola

¿Cómo sabemos que tiene área finita? ¿Porque \( w\neq\Bbb{R}^2 \) o porque \( D \) es un único punto o por qué?

Porque el enunciado dice que:

\( \displaystyle\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=4 \)

y:

\( \displaystyle\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3area(D) \)

Citar
¿O sea que el área de \( w \) es?: \[\mathrm{Área}(w)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}u+v\\2v\end{pmatrix}\right\rvert\] No lo entiendo.

No. Sería:

\[\mathrm{Área}(D)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\right\rvert\]

Saludos.

03 Diciembre, 2019, 10:23 pm
Respuesta #11

Richard R Richard

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Comparto la respuesta de Luis.

Se me ocurre un ejemplo que quizá te aporte algo de luz.

Si queremos calcular el área del dominio de un círculo de radio \( \rho \) que para hacerlo fácil lo escogemos 1 en coordenadas cartesianas hacemos

\( S_{D_1}=F_{(x,y)}=\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{\rho^2-x^2 }}^{+\sqrt{\rho^2-x^2 }}dy dx=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2 }}^{+\sqrt{1-x^2 }}dy dx=\pi \)

pero mira esto si quiero calcular el área de un dominio entre [0,1] y [0,2\pi] para el radio y el ángulo del círculo  haríamos

\( S_{D_2}=G_{(\rho,\theta)}=\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0 }^{2\pi}d\theta d\rho=2\pi \)


pero sabemos que si queremos realmente relacionar el área de ambos círculos, la segunda integral es inexacta por lo que tenemos que usar la integral

 \( S_{D_3}=H_{(\rho,\theta)}=\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0 }^{2\pi}\rho d\theta d\rho=\pi \)


entonces ahora sí  \( S_{D_3}=S_{D_1} \) ambas áreas son iguales,  son el área del mismo circulo , pero de donde surge  esa diferencia?, de donde viene \( \rho \) en la ecuación?

pues del jacobiano de la transformación


\( x=\rho\cos\theta \)

\( y=\rho\sin\theta \)


\( |Jxy/\rho.\theta|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)


\( |Jxy/\rho.\theta|=\begin{vmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ -\rho\sin\theta & \rho\cos\theta\end{vmatrix}=\boxed{\rho} \)


Luego puedes ver que \( S_{D_1}=K \,S_{D_2} \) en este caso \( K=2  \) pero puede ser cualquier valor dependiendo de la transformación, pero lo que quiero rescatar es que \( K \) es un valor finito ... y que como se ve no necesariamente las transformaciones tienen que ser lineales, para obtener la relación, imagino que con ser derivable la transformación en todo el dominio es suficiente.

Es decir el área de los dominios son diferentes y finitas, pero el area del circulo se puede calcular perfectamente  incorporando el jacobiano.




Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

05 Diciembre, 2019, 05:20 am
Respuesta #12

Masacroso

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Una cosa que nos dice la fórmula del cambio de variable es que el valor absoluto del producto de los valores propios complejos de un operador lineal representa el factor en que se transforma el volumen de los conjuntos bajo su acción.

No es muy intuitivo pero es muy interesante ver el papel de los valores propios en la transformación del volumen.

08 Diciembre, 2019, 02:03 am
Respuesta #13

manooooh

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