Autor Tema: Calcular el área de un dominio de una función vectorial

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30 Noviembre, 2019, 11:24 pm
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manooooh

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Hola!!

Si \[\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=4\quad\text{con}\quad\begin{cases}x=u+v\\y=2v\end{cases}\] calcular el área de \( w \), siendo \( w \) el dominio de la función \[\overline{F}(u,v)=(u+v,2v)\quad\text{donde}\quad\overline{F}\colon w\to D.\]


He empezado por esto: \[\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\iint_D\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\operatorname{Área}(D)=4\implies\operatorname{Área}(D)=\frac{4}{3}\] así que \( \overline{F}\colon w\to\frac{4}{3} \), pero no he podido avanzar.

Supongo que \( w\subseteq\Bbb{R}^2 \), pero tanto \( u+v \) como \( 2v \) son dos funciones con dominio \( \Bbb{R} \), por tanto \( w=\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2 \) (por lo que \( \overline{F}\colon\Bbb{R}^2\to\frac{4}{3} \)). Por lo tanto: \[\operatorname{Área}(w)=\operatorname{Área}(\Bbb{R}^2)=\infty.\] ¿Es correcto?

Gracias!!
Saludos

01 Diciembre, 2019, 01:11 am
Respuesta #1

Richard R Richard

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Hola cuando haces una transformación de coordenadas la proporción de área se mantiene si multiplicas  el área del nuevo dominio por el jacobiano de la transformación

\( \displaystyle\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\operatorname{Área}({D_{xy}})=\frac{4}{3} \)

\( \displaystyle=\iint_{D_{uv}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\iint_{D_{uv}}\,|Jxy/uv|\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{Área}({D_{uv}})|Jxy/uv| \)


con \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)

 \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}1&1\\ 0& 2\end{vmatrix}=2 \)

luego

 \( \operatorname{Área}(D_{uv})2=\dfrac{4}{3}  \)

\( \operatorname{Área}(D_{uv})=\dfrac{2}{3} \)

Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Diciembre, 2019, 01:51 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Hola cuando haces una transformación de coordenadas la proporción de área se mantiene si multiplicas  el área del nuevo dominio por el jacobiano de la transformación

\( \displaystyle\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\operatorname{Área}({D_{xy}})=\frac{4}{3} \)

\( \displaystyle=\iint_{D_{uv}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\iint_{D_{uv}}\,|Jxy/uv|\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{Área}({D_{uv}})|Jxy/uv| \)


con \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)

 \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}1&1\\ 0& 2\end{vmatrix}=2 \)

luego

 \( \operatorname{Área}(D_{uv})2=\dfrac{4}{3}  \)

\( \operatorname{Área}(D_{uv})=\dfrac{2}{3} \)



Muchas gracias!

El dato de la integral doble tiene que ver con la imagen de la función, pero no con el dominio \( w \). Acabo de recapacitar en esto, por lo que no sé por qué hicimos el cálculo de la región \( D \) ???.

¿Acaso deberemos probar que \( \overline{F} \) es biyectiva para ver que \( |D|=|w| \)? Pero no sé cómo interpretarlo para concluir que, en caso de ser biyectiva, \( \mathrm{Área}(D)=\mathrm{Área}(w) \).

Saludos

01 Diciembre, 2019, 02:50 am
Respuesta #3

Richard R Richard

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por lo que no sé por qué hicimos el cálculo de la región \( D \) ???.
por esto
calcular el área de \( w \), siendo \( w \) el dominio de la función


Mmh!! ya no piso terreno firme, pero si la función es lineal y biyectiva, y el dominio es acotado porque tienes un área finita, entonces el dominio de la transformación tiene área finita....cuando calculas los nuevos limites de integración esta poniendo números reales a esa área no infinitos

\( A_{uv}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} du dv=\dfrac{(B-A)(C-D)}2=\dfrac{A_{xy}}{2} \)

fijate que con el correcto cambio de variables \( dy=2dv \) y \( dx=du \) calculas casi la misma integral pues  llegas a

\( A_{xy}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} 2du dv=(B-A)(C-D)=A_{xy} \)

con\(  x\in[A,B] \) y \( y\in[C,D] \)
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Diciembre, 2019, 06:37 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

pero si la función es lineal y biyectiva, (...)

Pues parece que \( \overline{F} \) es lineal y biyectiva pues sus dos componentes (\( u+v \) y \( 2v \)) lo son, ¿no?

(...) y el dominio es acotado porque tienes un área finita,

Es que no creo que el dominio esté acotado, ¿cómo lo sabemos?

Hice el análisis de que como \( \operatorname{dom}(u+v)=\Bbb{R} \) y \( \operatorname{dom}(2v)=\Bbb{R} \) entonces \( w=\operatorname{dom}(\overline{F})=\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2 \), y sabemos que el plano no está acotado.

(...) entonces el dominio de la transformación tiene área finita....cuando calculas los nuevos limites de integración esta poniendo números reales a esa área no infinitos

\( A_{uv}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} du dv=\dfrac{(B-A)(C-D)}2=\dfrac{A_{xy}}{2} \)

fijate que con el correcto cambio de variables \( dy=2dv \) y \( dx=du \) calculas casi la misma integral pues  llegas a

\( A_{xy}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} 2du dv=(B-A)(C-D)=A_{xy} \)

con\(  x\in[A,B] \) y \( y\in[C,D] \)


¿Es \( A_{uv} \) el área del dominio de la función en las coordenadas \( u,v \)?

Gracias y saludos

01 Diciembre, 2019, 09:14 pm
Respuesta #5

Richard R Richard

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Hola
¿Es \( A_{uv} \) el área del dominio de la función en las coordenadas \( u,v \)?


bueno eso es lo que creo. para mi no es todo el dominio de \( \mathbb R^2 \) ya que tienes restricciones

Punto \( A=(x_a, y_a)=(u_a+v_a, 2 v_a) \)

Punto \( B=(x_a, y_b)=(u_a+v_a, 2 v_b) \)

Punto \( C=(x_c, y_a)=(u_c+v_c, 2 v_a) \)

Punto \( D=(x_c, y_b)=(u_c+v_c, 2 v_b) \)

que te relaciona las variables uv y te acota el dominio, luego puedes graficar ese dominio si quieres y hallarle el area, que intuyo es la mitad de la calculada en coordenadas xy, hasta allí te puedo comentar.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

01 Diciembre, 2019, 10:41 pm
Respuesta #6

manooooh

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Hola

bueno eso es lo que creo. para mi no es todo el dominio de \( \mathbb R^2 \) ya que tienes restricciones

Punto \( A=(x_a, y_a)=(u_a+v_a, 2 v_a) \)

Punto \( B=(x_a, y_b)=(u_a+v_a, 2 v_b) \)

Punto \( C=(x_c, y_a)=(u_c+v_c, 2 v_a) \)

Punto \( D=(x_c, y_b)=(u_c+v_c, 2 v_b) \)

Gracias! No veo por qué hay restricciones.

Pregunté a WolframAlpha y me dice lo que decía antes: su dominio es todo el plano: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28u%2Cv%29%3D%28u%2Bv%2C2v%29 (puede ser que me esté olvidando de alguna hipótesis o haya escrito mal algo).

Por lo que no sé para qué tenemos el dato de la integral doble si su región se corresponde con la imagen de \( \overline{F} \) ???.

¿Qué opinan?

Saludos

02 Diciembre, 2019, 12:28 pm
Respuesta #7

manooooh

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02 Diciembre, 2019, 02:16 pm
Respuesta #8

Luis Fuentes

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Hola

Gracias! No veo por qué hay restricciones.

Pregunté a WolframAlpha y me dice lo que decía antes: su dominio es todo el plano: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28u%2Cv%29%3D%28u%2Bv%2C2v%29 (puede ser que me esté olvidando de alguna hipótesis o haya escrito mal algo).

Ten en cuenta que te escriben la función como:

\( \overline{F}\colon w\to D \)

Entonces la imagen de \(  \overline{F} \) debe de estar contenida en \( D \); de manera más precisa debe de entenderse que se toma el mayor dominio posible con esta condición: \( \overline{F}(w)\subset D \).

Si \( w=\Bbb R^2 \) entonces la imagen de la función NO estaría dentro de \( D \), luego no puede ser.

A partir de ahí tiene sentido lo expuesto por Richard. No sabemos si \( D \) está acotado, pero si que tiene área finita. Dado que \( \overline{F} \) es lineal lleva áreas finitas en áreas finitas e infinitas en infinitas. Y en particular el área queda multiplicada por el valor absoluto del determinante de la matriz asociada a la aplicación.

Saludos.

03 Diciembre, 2019, 08:28 pm
Respuesta #9

manooooh

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Hola, muchas gracias

No sabemos si \( D \) está acotado, pero si que tiene área finita. (...)

¿Cómo sabemos que tiene área finita? ¿Porque \( w\neq\Bbb{R}^2 \) o porque \( D \) es un único punto o por qué?

(...) Dado que \( \overline{F} \) es lineal lleva áreas finitas en áreas finitas e infinitas en infinitas. Y en particular el área queda multiplicada por el valor absoluto del determinante de la matriz asociada a la aplicación.

¿O sea que el área de \( w \) es?: \[\mathrm{Área}(w)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}u+v\\2v\end{pmatrix}\right\rvert\] No lo entiendo.

Saludos