Autor Tema: Medida cero

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30 Noviembre, 2019, 04:33 pm
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Steven_Math

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Buenas tardes, he tratado de demostrar lo siguiente pero no he podido:
a) Si \( A \) tiene medida cero muestre que no necesariamente \( \bar{A} \) y \( \partial A \) tienen medida cero.
b) Mostrar que ningún subconjunto abierto de \( \mathbb{R}^n \) tiene medida cero en \( \mathbb{R}^n \).
Spoiler
Este lo he tratado de realizar por reducción al absurdo, pero no he podido llegar a un contradicción
[cerrar]
Spoiler
Un subconjunto de \( \mathbb{R}^n \) tiene medida cero si para cada \( \epsilon>0 \) existe un cubrimiento contable de rectángulos \( Q_1, Q_2, ..., Q_n,... \) tal que
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{V(Q_i)<\epsilon}
 \)
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30 Noviembre, 2019, 04:51 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Buenas tardes, he tratado de demostrar lo siguiente pero no he podido:
a) Si \( A \) tiene medida cero muestre que no necesariamente \( \bar{A} \) y \( \partial A \) tienen medida cero.
b) Mostrar que ningún subconjunto abierto de \( \mathbb{R}^n \) tiene medida cero en \( \mathbb{R}^n \).
Spoiler
Este lo he tratado de realizar por reducción al absurdo, pero no he podido llegar a un contradicción
[cerrar]
Spoiler
Un subconjunto de \( \mathbb{R}^n \) tiene medida cero si para cada \( \epsilon>0 \) existe un cubrimiento contable de rectángulos \( Q_1, Q_2, ..., Q_n,... \) tal que
\( \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{V(Q_i)<\epsilon}
 \)
[cerrar]


Para a) tomar, por ejemplo, \( A:=\Bbb Q  \). Para b) te basta con demostrar que si \( A \) es abierto entonces contiene un rectángulo. De hecho si \( A \) es abierto existe un rectángulo centrado en cada punto de \( A \).

30 Noviembre, 2019, 09:15 pm
Respuesta #2

Steven_Math

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Para a) tomar, por ejemplo, \( A:=\Bbb Q  \).

Para probar que \( m(\mathbb{Q})=0 \), traté de hacerlo así,

\( m(\mathbb{Q})=m(\bigcup_{i=1}^{\infty}\{r_i\})=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{m(\{r_i\})} \)
¿Como verifico que \( m(\{r_i\})=o \)?

Luego, como la clausura y la frontera de los números racionales son los números reales, ¿Cómo verifico que la medida de los números reales es distinta de cero?

Citar
Para b) te basta con demostrar que si \( A \) es abierto entonces contiene un rectángulo. De hecho si \( A \) es abierto existe un rectángulo centrado en cada punto de \( A \).

Usaría el hecho de que si \( A\subset B \) y \( m(B)=0 \) entonces \( m(A)=0 \). Llegaría a una contradicción ya que la medida de cualquier rectángulo siempre es mayor que cero.
Pero aún no he verificado que si \( A \) es abierto entonces contiene un rectángulo. He tratado de hacerlo por definición de conjuntos abiertos, que para cada punto de \( A \) existe un vecindad contenida en \( A \). ¿Cómo lo verificaría?.

Saludos
 

30 Noviembre, 2019, 09:46 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Para a) tomar, por ejemplo, \( A:=\Bbb Q  \).

Para probar que \( m(\mathbb{Q})=0 \), traté de hacerlo así,

\( m(\mathbb{Q})=m(\bigcup_{i=1}^{\infty}\{r_i\})=\displaystyle\sum_{i=1}^\infty{m(\{r_i\})} \)
¿Como verifico que \( m(\{r_i\})=o \)?

Luego, como la clausura y la frontera de los números racionales son los números reales, ¿Cómo verifico que la medida de los números reales es distinta de cero?

Para ambas cuestiones utiliza la medida exterior de Lebesgue.

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Para b) te basta con demostrar que si \( A \) es abierto entonces contiene un rectángulo. De hecho si \( A \) es abierto existe un rectángulo centrado en cada punto de \( A \).

Usaría el hecho de que si \( A\subset B \) y \( m(B)=0 \) entonces \( m(A)=0 \). Llegaría a una contradicción ya que la medida de cualquier rectángulo siempre es mayor que cero.
Pero aún no he verificado que si \( A \) es abierto entonces contiene un rectángulo. He tratado de hacerlo por definición de conjuntos abiertos, que para cada punto de \( A \) existe un vecindad contenida en \( A \). ¿Cómo lo verificaría?.

Saludos
 

Para cada \( x\in A \) existe un \( \epsilon >0 \) tal que \( \Bbb B (x,\epsilon )\subset A \). Entonces \( R_x:=\prod_{j=1}^n(x_j-\epsilon/\sqrt{n} ,x_j+\epsilon/\sqrt{n} ) \) es un rectángulo de volumen no nulo, donde \( x=(x_1,x_2,\ldots ,x_n) \). Ahora comprueba que \( R_x\subset \Bbb B (x,\epsilon ) \).

04 Diciembre, 2019, 10:48 pm
Respuesta #4

Steven_Math

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Muchas gracias Masacroso.

Saludos.