[nktclau]

Hola GENTE!!! Podría ser que me digan si está bien o mal planteado el siguiente problema,por favor. 

Para participar en un juego se paga $1. El juego consiste en extraer una carta del mazo, si la carta es un as, el jugador gana $8, si es un 5 vuelve a tirar, si la segunda carta es un as gana $ 5, si no termina el juego.

a) Calcule la Esperanza del juego e interprete.

Sea \( A \) el suceso saca As. \( C \): el suceso saca 5 y además como el problema no explicita, supongo que el experimento es con reposicion, es decir después de la primer extracción si no saco as y no saco cinco terminó el juego.

Si en la primer extracción saca 5 entonces mezclo todo (incluso ese 5 que saco) y extrae una carta, si saca as gano $5 y si no terminó el juego.

Graficamente



Luego los sucesos definidos son: Pierdo $1 - Gano $5 - Gano $8

\( \begin{bmatrix}{X}&{-1}&{5}&{8}\\{P(X=x)}&{\displaystyle\frac{2016}{2197}}&{\displaystyle\frac{12}{2197}}&{\displaystyle\frac{1}{13}}\end{bmatrix} \)

Y la esperanza del juego \( E(X)=-0,274 \) por lo tanto se espera que no haya ganancias en el juego.

¿Esta bien?

MUCHAS GRACIAS desde ya!! 

[Luis Fuentes]

Hola

 Tienes un fallo objetivo y un posible problema de interpretación del enunciado.

 El fallo objetivo es que es falso que \( P(C|\bar A)=\dfrac{1}{13} \). Si NO ha salido un as, los casos totales no son \( 52 \) cartas sino \( 52-4=48 \) cartas. Por tanto la probabilidad de que haya salido un cinco sabiendo que NO salió un as es: \( \dfrac{4}{48}=\dfrac{1}{12} \). Lo mismo para \( P(\bar C|\bar A) \).

 El problema de interpretación es que tu has entendido que cuando gana \( 8 \), no pierde \( 1 \). Pero yo creo que SIEMPRE se paga uno por jugar; lo que se gane o no es independientes de eso. Es decir si se gana \( 8 \), igualmente previamente se pagó \( 1 \), así que la ganancia sería \( 8-1=7 \).

 Con todo esto el beneficio esperado sería:

\( E[G]=8\cdot \dfrac{1}{13}+5\cdot \dfrac{1}{13}\cdot \dfrac{1}{13}-1 \)

Saludos.

[nktclau]

Hola Luis Fuentes MUCHAS GRACIAS por responder, antes que nada!

Tienes un fallo objetivo y un posible problema de interpretación del enunciado.

 El fallo objetivo es que es falso que \( P(C|\bar A)=\dfrac{1}{13} \). Si NO ha salido un as, los casos totales no son \( 52 \) cartas sino \( 52-4=48 \) cartas. Por tanto la probabilidad de que haya salido un cinco sabiendo que NO salió un as es: \( \dfrac{4}{48}=\dfrac{1}{12} \). Lo mismo para \( P(\bar C|\bar A) \).

Me temo no comprendo. ¿Porqué, si NO ha salido un as, los casos totales no son \( 52 \) cartas sino \( 52-4=48 \) cartas?

 

Es la primer extracción, así que el mazo sigue con 52 cartas de las cuales sólo 4 son "cincos".

Saludos

[noisok]

\( P(C|\bar{A})=\dfrac{P(\bar{A}\cap{}C)}{P(\bar{A})}=\dfrac{1/13}{12/13}=\dfrac{4}{48}=\dfrac{1}{12} \)

Ahora está más claro, ¿no?

[nktclau]

 

GRACIAS!!! 

[Luis Fuentes]

Hola

Me temo no comprendo. ¿Porqué, si NO ha salido un as, los casos totales no son \( 52 \) cartas sino \( 52-4=48 \) cartas?

 

Es la primer extracción, así que el mazo sigue con 52 cartas de las cuales sólo 4 son "cincos".

Más allá del argumento que te ha dado noisik sería bueno que entendieses porque digo que en este caso los casos totales son \( 48 \) cartas, para una buena comprensión de la probabilidad condicionada.

Si estamos calculando \( P(C|\bar A) \) estamos trabajando con una probabilidad condicionada a que NO HA SALIDO UN AS. Por tanto no sabemos que carta ha salido, pero si que tal carta no es ninguna de los cuatro ases. Los casos totales NO son TODAS las cartas; hay que excluir los 4 ases.

De manera más técnica en la probabilidad condicionada \( P(\cdot|X) \) dado un suceso \( X \) se trabaja con el espacio muestral restringido a \( X \).

Saludos.

[nktclau]

Hola Luis Fuentes MUCHÍSIMAS GRACIAS por la aclaración