Hola a todos, tengo algunas confusiones con el concepto de ideal primario. Que estaría agradecido si me clarificaran.

Sea \(  A  \) un anillo conmutativo con unidad. Decimos que un ideal \(  q  \in A  \) es primario si, dados \(  x, y \in A  \), \(  xy \in A \implies x \in A \text{o} y^k \in A  \) para algún \(  k  \).

Tengo varios preguntas.

1) ¿Cuál sería la negación de ser primario?
2) Como mi anillo es conmutativo si \(  xy \in A \implies yx \in A  \)

Pero esto no implica que \(  y \in A  \) o \(  x^s \in A  \) para algún \(  s  \)?

Por el momento es eso. Quedo muy agradecido con su ayuda.

Hola a todos. Quería verificar si mi demostración a la siguiente proposición es correcta.

Sea A un anillo y \(  \mathfrak{m_1}, \cdots \mathfrak{m_n}  \) ideales maximales tal que \(  \mathfrak{m_1} \cdots \mathfrak{m_n}=\left\{{0}\right\}  \). Pruebe que para cada ideal primo \(  P \subset A  \), \(  P  \) es igual a uno de los \(  \mathfrak{m_i}  \).

Sé que existe una forma de hacerlo usando evitación de primos, pero se me ocurrió otra forma y quería ver si era correcta. Afirmo:

1. Si todos los \(  \mathfrak{m_i}  \) son iguales, \(  \mathfrak{m_i}  \) es el único ideal maximal de \(  A  \). Supongamos que \(  \mathfrak{m_i}=\mathfrak{m_1}  \) y que existe otro ideal maximal \(  \mathfrak{m_2} \subset A  \). Entonces, si \(  \mathfrak{m_1} \cdots \mathfrak{m_1}= 0  \) todo elemento de \(  \mathfrak{m_1}  \) es nilpotente. Así, todo \(  x \in \mathfrak{m_1}  \) pertenece a \(  \mathfrak{m_2}  \) Contradicción. Entonces, si todos los \(  \mathfrak{m_i}  \) son iguales, todo ideal primo es igual a \(  m_i  \).
2. Si algunos \(  \mathfrak{m_i}  \) son diferentes, dado un elemento \(  m \in \mathfrak{m_i}  \) el \(  Ann(m)  \) no se queda completamente contenido en \(  \mathfrak{m_i}  \). Prueba: podemos suponer que \(  \mathfrak{m_i}=\mathfrak{m_1}  \).
Ahora, podemos elegir \(  m_s \in \mathfrak{m_s}  \) tal que \(  s \notin \mathfrak{m_1}  \) (si algunos \(  m_s  \) fueran iguales a \(  m_1  \) entonces escojo los \(  m_s  \) sobre los \(  \mathfrak{m_s} \neq \mathfrak{m_1}  \).)
Pero \(  mm_2\cdots m_n=0  \) y \(  m_2\cdots m_n \notin \mathfrak{m_1}  \) y \(  Ann(m)  \) no está completamente contenido en \(  \mathfrak{m_1}  \).
3. Los \(  m_i  \) son los únicos ideales maximales de \(  A  \). Si existiera otro ideal maximal \(  \mathfrak{m_k}  \). \(  A/\mathfrak{m_k}  \) sería un cuerpo. Sea \(  x \in \mathfrak{m_1}  \) y elijamos \(  s  \) que aniquile a \(  x  \) y no esté en \(  \mathfrak{m_k}  \). Sabemos que existen \(  u \in A, f \in \mathfrak{m_l}  \) tal que \(  xu+f=1  \) pero si multiplicamos por \(  s  \) obtenemos \(  sf=s  \) pero \(  sf=s \in \mathfrak{m_k} \) contradicción. Luego los \(  m_i  \) son los únicos ideales maximales.

Ahora, la prueba.

Sea \(  P \subset A  \) un ideal primo. Sabemos que todo ideal está contenido en un ideal maximal. Podemos suponer sin pérdida de la generalidad que \(  P \subset \mathfrak{m_1}  \). Supongamos que \(  P \subsetneq \mathfrak{m_1}  \).
Sea \(  m \in \mathfrak{m_1}-P  \) y sea \(  s \notin \mathfrak{m_1}  \) que aniquila a \(  m  \). Cómo \(  A/\mathfrak{m_1}  \) es un cuerpo, existe \(  u \in A, m_* \in \mathfrak{m_1}  \) tal que \(  su+m_*=1  \). Multiplicando por \(  m  \) obtenemos \(  mm_*=m  \), de aqui \(  m(1-m_*)=0  \). Cómo \(  m \notin P  \), \(  1-m_* \in P  \) por lo tanto \(  1-m_* \in \mathfrak{m_1}  \). Así \(  1-m_*+m_*=1 \in \mathfrak{m_1}  \), contradicción.

Muchas gracias por su ayuda.

Hola a todos. Estoy estudiando anillos locales y particularmente, localización y me han surgido las siguientes preguntas.

Sea \(  P  \) un ideal primo en \(  A  \) y \(  B  \) un anillo que contiene a \(  A  \). Sabemos que \(  A_p  \) es un anillo local con ideal maximal la extensión de \(  P  \). Mis preguntas son: ¿es necesariamente \(  B_p  \) un anillo local? De ser así, ¿Es necesariamente la extensión de \(  P  \) en \(  B_p  \) el ideal maximal de \(  B_p  \)?

Muchísimas gracias por sus respuestas.

Hola a todos. He estado resolviendo un problema y lo he hecho casi todo, pero he visto en otros lados que hacen algo y no termino de comprender.

Si \(  I  \) es un ideal de A, quiero probar que \(  (A/I) \otimes_{A} M \cong M/IM  \) donde M es un A-módulo.

La idea es la siguiente:

La sucesión \(  0 \longrightarrow I \longrightarrow A \longrightarrow A/I \longrightarrow 0  \) es exacta.

Por lo tanto la sucesión

\(  0 \longrightarrow I \otimes_{A} M \longrightarrow A \otimes_{A} M \longrightarrow (A/I) \otimes_{A} M \longrightarrow 0  \) es exacta. Ya de ahí se Que hacer, pero he visto que se deshacen del primer 0 de la anterior sucesión y no se porqué.

Hola a todos. Estaba volviendo a revisar el concepto de continuidad de manera formal y me di cuenta que cuando quería hacer demostraciones basadas en continuidad todo lo hacía mecánico y ahora parece que no comprendo el porqué de lo que hacía. Me nacieron las siguientes preguntas:

1) ¿Por qué era válido tomar \(  \delta <1  \) cuando se hacían demostraciones de continuidad si se supone que dicho \(  \delta  \) depende de \(  \epsilon  \)?
2) ¿Cuál es intuición geométrica detrás de la continuidad uniforme?¿Por qué la negación es encontrar un \(  \epsilon >0  \) tal que \(  |f(x)-f(y)|\geq \epsilon  \)?¿Qué pasa si yo no puedo encontrar un \(  \delta >0  \) tal que \(  |x-y|<\delta  \) y \(  |f(x)-f(y)| < \epsilon  \), aquí me refiero a que, para que los puntos estén a una distancia epsilon, el delta cada vez debe ser más grande.

Esas son mis dudas puntualmente. Mil gracias.

Hola a todos, espero se encuentren\displaystyle\int_{a}^{b} muy bien.
Tengo el siguiente problema con el que estoy atascado. He tenido ideas pero ninguna con éxito.
Debo probar que si \(  f  \) es una función continúa, creciente y que toma valores no negativos entonces
\(   \int_{0}^{1} xf(x) \geq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} f(x)  \).
Se me ocurrió usar la serie de Taylor, pero no tuve éxito. Se que si pruebo que dado \(  0 \leq a \leq \frac{1}{2}  \) se da la siguiente desigualdad
\(  af(a)-1/2f(a)+(a+1/2)f(a+1/2)-1/2f(a+1/2) \geq 0  \) ya lo tendría, pero no hay una forma de hacerlo directamente desde las integrales?
Quedo atento a cualquier sugerencia. Mil gracias.

Hola a todos. Espero se encuentren muy bien.
Escribo porque tengo dudas en una demostración, pero es porque me nacen algunas preguntas, siento adjuntar una foto pero la prueba es algo larga.
No entiendo desde dónde afirma que \(  b_i  \) y \(  b_{i-1}  \) deben ser disjuntos.
Entiendo la consecuencia, pero no comprendo porqué necesariamente \(  b_i  \) debe ser de la forma \(  (ac)  \) ¿Por qué no puede ser de la forma \(  (ax)  \) con \(  x \neq c  \)
También me nace la pregunta, si \(  k > i  \) ¿Pueden los \(  b_k  \) contener a a?
Quedo muy agradecido.

Hola, a todos.
Quería pregungar si alguna conoce un software diferente a Geogebra que permita graficar sólidos.
Voy a enseñar el método de rebanadas y necesito hacer gráficas de sólidos.
Quedo muy agradecido.

Hola, estoy teniendo problemitas al momento de encontrar el grado de aplicaciones racionales entre variedades proyectivas y curvas.
Dada una aplicación racional entre curvas (o variedades proyectivas)
\(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) se define \(  \phi^{*} K(C_1) \longrightarrow K(C_2)  \) mediante:
\(  \phi^{*}(f)=f \circ \phi  \).
Ya sé bajo qué condiciones, dicha aplicación induce una extensión de sus cuerpos de funciones.
El problema lo encuentro al momento de calcular el grado de la extensión, no porque no sepa, sino porque me cuesta encontrar una base para la extensión.
Tengo los dos siguientes problemas.
Sea \(  C_1: Y^2=X^3  \) y \(  C_2: Y^2=X  \) y sea \(  \phi: C_1 \longrightarrow C_2  \) definida como \(  \phi(x,y)=(x, y/x)  \) me piden encontrar el grado de \(  \phi  \). Encontré que \(  K(C1)  \) puede ser identificado con \(  K(X)+YK(X)  \) y que \(  K(C_2)  \) puede ser identificado con \(  K(Y)  \) sin embargo, no logró hallar el grado porque, según yo el pullback no tendría sentido.
Otro ejemplo en el que me piden hacer cálculos es:
Dado
\(  f: \mathbb{P}^{2} \longrightarrow \mathbb{P}^{2}  \) por \(  f(x:y:z)=(x^2:y^2:z^2)  \) me piden encontrar el grado de \(  f  \).
Agradecería cualquier sugerencia o aclaración, no estoy tan confundido sino que me cuesta hallar una base para dichas extensiones. Gracias.

Hola a todos. Estoy tratando de responder a una pregunta, agradecería con que me dijeran si mis cuentas están bien hechas.
El problema es
Sea \(  V(X^2+Y^2-1) \subset \mathbb{A}^{2}  \) tengo que encontrar el orden de \(  X-1  \) en \(  (1, 0)  \)  Mi pregunta es, ¿el ideal maximal de dicho punto, es el generado por \(  (x-1, y)  \) en el anillo local de \(  (0,1)  \)? En ese orden de ideas \(  x-1  \) tendría orden 2, ¿Si?