Hola a todos, los saludo esperando que se encuentren bien. Escribo este correo para solicitar ayuda en un problema en el que estoy estancado.
Primero definamos algunos conceptos.

\( Definiciones: \) Sea \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \). Se dice que una función se propaga en \( q\in\mathbb{R} \) si \( orb(q,f) =\{f^{n}(q): n \in\mathbb{N}\} \) es denso en \( \mathbb{R} \), donde \( f^{n}(p) \) denota la \( n \)-ésima composición de \( f \) consigo misma y  evaluada en \( q \).

Ahora el problema es el siguiente: Sea \( C(\mathbb{R}) \) el conjunto de funciones continuas y sea \( S_q(\mathbb{R}) \) el subconjunto de funciones continuas que se propaga en q \( \in\mathbb{R} \) (los q con órbita densa bajo f). Estudiar propiedades de estos subconjuntos, como, por ejemplo, ¿es infinito?, ¿no numerable?

Previo a esto, obtuve los siguientes resultados:

Las funciones contractivas, no se propagan en ningún punto, pues por Teor. del punto  fijo de Banach las órbitas convergen al punto fijo y por ende son acotadas, luego no es denso.

Con un criterio similar (acotamiento de órbitas) se deduce que las funciones monótonas tampoco se propagan en ningún punto.
Y por último, las funciones polinomiles tampoco.

Además, es fácil deducir que si f se propaga en p, entonces, se propaga en \( f^{n}(p)\forall{n}\in\mathbb{N} \). Luego, no existen funciones que se propagan un un punto único. Ahora bien, si no estoy errado se debe cumplir que \( orb(f^n(q),f) = orb(q, f^{n}) \forall{n}\in\mathbb{N} \). Luego, se sigue que si f se propaga en q, entonces, \( f^n \) también. Así, si f es continua,\( f^n \) también lo es y así se tendría un conjunto de funciones continuas que se propaga en q, que es al menos infinito y numerable.

Sin embargo, esto no me asegura que existan funciones continuas con órbita densa...intenté construir alguna sin éxito...Así que no sé cómo abordar esto...He leído sobre transitividad topológica y eso...pero no logro poder atacar el problema...no sé si algún homeomorfismo me pueda ser útil...

Más aún, ¿Cómo sería la intersección entre \( S_p(\mathbb{R}) \) y \( S_q(\mathbb{R}) \) para p,q \( \in\mathbb{R} \)
Si alguien me ayuda, estaría muy agradecido.
Gracias y saludos!