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Temas - cristianoceli

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1
Hola necesito una pista apara tacar el siguiente ejercicio:

Sea \( f: [0,1] \rightarrow{\mathbb{R}} \) una función continua tal que \( \displaystyle\int_{0}^{1} f(\sqrt[2n+1 ]{x}) dx =0 \)  \(  \forall{n=0,1,...} \) Muestre que \( f(x)=0  \) \(  \forall{x \in [0,1]} \)


2
Hola tengo problemas en mostrar que la serie \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{\displaystyle\frac{ln(1+nx)}{nx^n}} \) converge uniformemente en el conjunto \( S=[2, \infty) \).

Intente usar la prueba  de Weirstrass pero no me resulta.


Saludos

3
Análisis Matemático / Mostrar que es compacto
« en: 04 Junio, 2021, 04:25 pm »
Hola tengo dudas con  este ejercicio

Tengo que probar que el conjunto \( A= \{x=(x_n)_n \in l^2 : |x_n | \leq{\displaystyle\frac{1}{n}} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) es compacto en \( l^2 \) y que el conjunto \( B= \{x=(x_n)_n \in l^2 : | |x_n ||_2 \leq 1 \) no es compacto en \( l^2 \) no se muy bien como probarlo se que si es compacto tiene la propiedad que las sucesiones contenidas en un conjunto  siempre contienen una subsucesión convergente

Saludos

4
Geometría y Topología / Probar que es conexo por caminos
« en: 02 Junio, 2021, 09:56 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio

Sea \( U \) un abierto de \( {\mathbb{R}}^n, n\geq{2} \). Pruebe que \( U \) es conexo si y solo si \( U \) es conexo por caminos.

Lo que he hecho:

Sea \( f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R^n} \) una fucion en linea recta que une \( x,y \in U \). Si \( f[a,b]\subset U \) quedo probado si no consideremos \( x_1,x_2,\dots,x_n\in U \) tal que \( x_i,x_{i+1} \) estará dentro de \( U \)

De antemano gracias

5
Geometría y Topología / Probar que es de Hausdorff
« en: 02 Junio, 2021, 09:47 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio

Sean \( X, Y  \)dos espacios topologicos homeomorfos. Pruebe X es Hausdorff si y solo si \( Y \) es Hausdorff

De antemano gracias

6
Álgebra / Encontrar un 3-subgrupo de Sylow
« en: 29 Mayo, 2021, 01:50 am »
Hola tengo problemas con este ejercicio

Consideremos el grupo de matrices  \( G= \left\{ \begin{pmatrix}{1}&{0}\\{x}&{a}\end{pmatrix} : x \in \mathbb{Z} /7 \mathbb{Z}, a \in (\mathbb{Z} /7 \mathbb{Z})^\times{}\right \}   \)

a) Encuentre \( n_7(G) \) y un 7-subgrupo de \( Sylow \) de  \( G \)
b) Encuentre \( n_3(G) \) y un 3-subgrupo de \( Sylow  \) de  \( G \)

Basicamente no se como encontrarlo pero se me ocurre que primero deo encontrar un 3-subgrupo y luego conjugar.


Saludos

7
Sea\(  f_n : [0,1] \longrightarrow{} \mathbb{R} \) una sucesion de funciones continuas de modo que \( f_n  \)es Riemann integrable en \( [0, 1] \): Suponga que para todo \( n \in \mathbb{N} \) se tiene \( | {f_n}^{\prime}(t)  | \leq{} t ^{-1/2} \) para todo \( t  \) y \( \displaystyle\int_{0}^{1} f_n (t) dt =0 \). Muestre que \( \{ f_n \} \)posee una subsucesión  que converge uniformemente en\(  [0, 1] \).

Lo que he hecho:

Para mostrar que la sucesión es acotada:

\( \displaystyle f_n(t) = f_n(0) + \int\limits_0^t f_n' \)

y note que:

\( \left|\int\limits_0^t f_n'\right| \leq 2\sqrt{t} \leq 2. \)

Si la sucesión \( f_n(0) \)no es acotada , entonces poseería una subsucesión tal que \( f_{n_k}(0) > 2k \) y entonces \( f_{n_k}(t) > 2k - 2 = 2(k-1)  \)y esto violaría la hipótesis de que la integral de cada \( f_n \) es cero.

Por Teorema fundamental del calculo:

\( |f_n(y) - f_n(x)| \leq 2 \left| \sqrt{y} - \sqrt{x} \right|, \)

y dado que la raíz cuadrada es una función continua y \( [0,1]  \)es compacta, por teorema de Cantor para concluimos que esta función es uniformemente continua en \( [0,1]  \).

Pero no se como aplicar el Teorema de Ascoli para concluir el ejercicio


Saludos

8
Geometría y Topología / Probar que no es compacto
« en: 18 Mayo, 2021, 04:18 pm »
Hola tengo dudas con este ejercicio:

Consideremos el espacio métrico \( \mathbb{Q} \) de números racionales con la distancia Euclidiana. Pruebe que

$$K= \{ x\in \mathbb{Q} |  0 \leq{x} \leq{\sqrt[ ]{2}} \}$$

Es cerrado acotado pero no compacto.

Según lo que veo que es cerrado y acotado e scasi inmediato pero no logro demostrar que sea compacto. Tengo entendido que es compacto si todo recubrimiento admite un recubrimiento finito

Saludos



9
Análisis Matemático / Convergencia uniforme
« en: 18 Mayo, 2021, 03:15 am »
Hola como puedo estudiar la convergencia uniforme en \( [0,1]  \) de la siguiente sucesión \( f_n \) definida por:

\( f_n = \displaystyle\frac{t^2}{t^2+(nt-1)^2} \)

Intente calcular el limite y luego derivar para ver si alcanza un máximo o mínimo para ver si es estrictamente creciente pero me resulto que  \( \displaystyle\lim_{t \to{}\infty}{ \displaystyle\frac{t^2}{t^2+(nt-1)^2}} = \displaystyle\frac{1}{n^2+1} \)

De antemano gracias.


Saludos

10
Análisis Matemático / Convergencia puntual
« en: 17 Mayo, 2021, 02:22 am »
Hola estoy estudiando convergencia puntual y uniforme y he quedado atascado con este ejercicio.

Me pide determinar donde la serie de funciones \(  \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{t^n}{1+t^n} \)  converge puntualmente.

Saludos

11
Álgebra / Mostrar que k = G
« en: 15 Mayo, 2021, 11:03 pm »
Hola tengo dificultades con este ejercicio no se como hacer la demostración

Si \( K \) es un subgrupo del grupo \( G  \) que contiene al menos un elemento de cada clase de conjugación de \( G  \) entonces \( K = G \)

Me dan una pista que use el siguiente ejercicio previamente realizado:

Sea \( G \) un grupo finito y \( H  \) un subgrupo propio, muestre que \( G \neq
 \displaystyle\bigcup_{g \in G}^{}{gHg^{-1} }  \)

De antemano gracias

12
Hola tengo dificultades con este ejercicio

 Sea \( Q \) el grupo cuaternionico y \( V_4 \) \( el \; Klein \; 4 \), (esto es \( V_4 \cong Z_2 \times Z_2 \) )

Pruebe que  \( Q/Z(Q) \cong V_4 \) , donde \( Z(Q) \) es el centro de \( Q \)

No se me ocurre como atacarlo.

Saludos



13
Estructuras algebraicas / Homomorfismo de grupo
« en: 03 Mayo, 2021, 02:12 am »
Hola necesito una pista para la siguiente demostración

Sea \( N \) un subgrupo normal del grupo \( G \) y \( f : G \longrightarrow{} H \) un homomorfismo de grupos tal que la restricción de \( f  \)a \( N \) es un isomorfismo \( N \cong H \). Muestre que \( G \cong N \times  K \) donde \( K \) es el núcleo de \( f \)

De antemano gracias

Saludos

14
Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea \( f_n  \)  una sucesión de funciones continuas en un espacio métrico \( (M, d) \) que converge uniformemente a una función \( f \)

a) Muestre que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{f_n(x_n)=f(x)} \) para toda sucesión \( x_n \) de puntos en \( M \) tal que \( x_n \longrightarrow{x} \) en \( M \)

b) Muestre un ejemplo de una sucesión \( \{ f_n \} \) de funciones continuas en \( [0, 1]  \)que converge puntualmente a una función continua \( f \) y una sucesión de puntos \( \{ x_n \} \) en \( [0, 1] \) que converge a algún punto \( x_0 \in [0, 1] \) de modo que \( f_n(x_n) \) no converja a \( f(x_0) \)

Lo que he hecho:

a) \( |f_n(x_n) - f(x)|
= |\left( f_n(x_n)-f(x_n) \right) + \left( f(x_n) - f(x) \right)|
\leq |f_n(x_n)-f(x_n)| + |f(x_n) - f(x)| \)

b) No se me ocurre ningún ejemplo

De antemano gracias
Saludos

15
Análisis Matemático / Demostrar que un conjunto es compacto
« en: 02 Mayo, 2021, 08:10 pm »
Hola tengo dificultades en demostrar el siguiente ejercicio:

Muestre que el conjunto \( A:= \{ x=(x_n)_n \in l^2 : \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{n^2{x^2}_n \leq{1}} \} \) es compacto en \( l^2 \)

Básicamente tengo que probar que el conjunto esta contenido en la unión de intervalos abiertos pero no se me ocurre como probare esto ultimo

Saludos


16
Análisis Matemático / Demostrar que T es continua
« en: 02 Mayo, 2021, 07:57 pm »
Hola estaba estudiando análisis y quede pegado con este ejercicio

Sea \( T:C[0,1] \rightarrow{\mathbb{C}} \) definida por \( T(f)=f(0), f \in C[0,1] \). Muestre que \( T \) es continua

Se que básicamente va a existir un \( c \in  [0,1] \) tal que \( f(c)=0 \)

DE antemano gracias

Saludos

17
Sea \( (X,d) \) un espacio metrico y \( F,G \) dos cerrados disjuntos de \( X \). Pruebe que hay dos abiertos  \( U,V  \) tal que  \( F\subset{U} , G \subset{V} \) y \( U\cap{V} = \emptyset \)

Básicamente se ocurre los complemento de \( F, G \) serán abiertos pero no se como demostrar lo que me piden

De antemano gracias

18
Geometría y Topología / Probar que es conexo
« en: 27 Abril, 2021, 11:31 pm »
Hola no me sale esta demostración

Sea \( p \in {\mathbb{R}}^n, n \geq{1} \) . \( Probar \; que \; X= {\mathbb{R}}^n - \{P \} \) es conexo si y solo si \( n \neq 1 \)

Tengo entendido que no existe una partición ya que es conexo
De antemano gracias



19
Geometría y Topología / Determinar la clausura
« en: 27 Abril, 2021, 11:22 pm »
Hola como puedo determinar la clausura en este ejercicio:

Sea \( X= \prod_{1}^\infty  \mathbb{R} \) y \( Y=\prod_{I=1}^\infty A_I \neq 0 \) solo para cantidad finita de \( i \} \) Determine \( \overline{Y} \)

Saludos

20
Geometría y Topología / Probar que es de Hausdorff
« en: 27 Abril, 2021, 10:42 pm »
Hola tengo problemas en demostrar este ejercicio

Sea \( X \) un espacio topológico tal que  para cada \( x \in{X} \) existe una función continua:

$$f_x : X \longrightarrow{\mathbb{R}}$$

Tal que \( f_x(0)^{-1} = \{ x \}  \). Probar que \( X \) es \( Hausdorff \)

Tengo entendido que es de Hausdorff si dos puntos cualquiera admiten vecindades disjuntas.


De antemano gracias

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