Hola:
La cuestion es que no sé como modelarlo para no tener que siempre estar haciendo cálculos cada que el rayo se refracta o se refleja. :-\.
Hola a todos.
Hace poco vi en Wikipedia el concepto de dynamical billiard https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_billiards y por otro lado estaba leyendo la ley de Snell, No soy físico solo leia, asi que no tengo muha idea le misma a no ser su enunciado. El punto es que me hice la siguiente pregunta y no sé si me pueden dar luz de como abordarla.
Supongamos que tenemos um rectángulo como el de la figura, con medidas digamos 10 y 7 (no sé si estas medidas sean necesarias) en el cual tenemos una linea divisora que separa dos entornos con diferente indice de refraccion \( n_{1} \) para la parte inferior y \( n_{2} \) para la parte superior. Supongamos ahora que tengo un rayo de luz como el amarillo en la figura con coordendas (-1.5, -3.5) (no tengo certeza de si esta posicion influye), con ángulo respecto al normal \( \theta_{1} \) al salir del primer entorno el se refracta segun la ley de Snell con un ángulo \( \theta_{2} \) luego va a la superficie superior del rectangulo donde el rayo es reflejado, (Todas los lados del rectangulo son espejos ), y asi el rayo va reflejadose y refractandose muchas veces. La pregunta es ¿Existe un ángulo \( \theta_{1} \) para el cuál el rayo vuelve a pasar por el punto amarillo? ¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron? (A exepción del ángulo 0 y 90)
La cuestion es que no sé como modelarlo para no tener que siempre estar haciendo cálculos cada que el rayo se refracta o se refleja. :-\.
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=125323.0;attach=29369)
En es caso los ángulos \( \theta_3, \theta_4 \) son iguales. También lo son los que forma el rayo reflejado que has pintado con puntos suspensivos.Hola:
Hola
Adjunto gráfico en Geogebra del lanzamiento de un rayo desde un punto P en Zona A en el caso particular de que el cociente de los índices de refracción de ambos medios (Zonas A y B) sea 2, esto es el ángulo de paso de una zona a otra se reduce a la mitad o se amplía al doble. Moviendo el punto \( P_2 \) objetivo inicial de lanzamiento en \( P \) del rayo, que también podemos mover, podemos observar que las trayectorias cuando vuelven a entrar en Zona A se mantienen paralelas a sí mismas. Por ejemplo la trayectoria en línea discontinua se mantiene paralela a sí misma al mover \( P_2 \) en la línea de separación. Simplemente considerando que ángulo de incidencia es igual al de reflexión cuando el movimiento no cambia de zona y que en el cambio de zona el ángulo se amplia o reduce siempre según el cociente de los índices de refracción podemos probar contando ángulos lo que el gráfico sugiere y he expuesto antes. Así, como decía Richard, aunque matemáticamente no quedaba explicado, volver al punto de partida después de los rebotes es seguro si se elige adecuadamente la posición de partida o el ángulo de disparo.
Saludos
¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron?Creo que depende de la posición inicial, además de los índices de refracción de los medios y de las dimensiones de la caja; quizás no sea posible siempre que ocurra lo que se muestra en la figura
Hola:Que tienes razón, igual que leo ahora a Luis, lo dicho, sí es posible una trayectoria que vuelva a pasar por el punto con la misma dirección y sentido, como preguntaba S.S, de hecho de ese gráfico salen las ecuaciones que presenté antes.
Además de preguntar si es posible elegir el ángulo \( \theta_1 \) para que la trayectoria vuelva a pasar por el punto de partida, también pregunta S.S lo siguiente:Citar¿Prodria tener un ángulo donde en algun momento el rayo toca el punto amarillo y vuelve a repetirse en patron?Creo que depende de la posición inicial, además de los índices de refracción de los medios y de las dimensiones de la caja; quizás no sea posible siempre que ocurra lo que se muestra en la figura
(https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=dlattach;topic=125323.0;attach=29375)¿Qué opináis?
Saludos
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- Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es racional entonces necesariamente el rayo termina por volver al punto de partida.
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- Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es irracional entonces el rayo no vuelve a su punto de partida y describe una trayectoria densa en el rectángulo:
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2. Segun la ley de Snell existe un ángulo crítico en el cual los rayos ya no son refractados sino que son reflejados a la parte inferior cuando tocan la frontera divisoria, así que a la hora de buscar órbitas cerradas debemos tener en cuenta eso. Mas no sé si esto este correcto, tal vez algun físico pueda ayudarme en esa parte.Te respondo a esto
1. Según lo expuesto por Luis es sufiente multiplicar la parte superior de longitud lateral \( h \) por \( r \) para caer en un biliar de un cuadrilatero. Mas no me quedo del todo claro el porque el hacer esto que caiga en un biliar "normal" digamoslo así.
HolaHola , no veo que sea error relacionar las tangentes, no sé si mi deducción es correcta o no pero llegué a dibujar a mano alzada el mismo grafico y a publicar una relación entre tangentes también, no me he fijado si coincidimos.1. Según lo expuesto por Luis es sufiente multiplicar la parte superior de longitud lateral \( h \) por \( r \) para caer en un biliar de un cuadrilatero. Mas no me quedo del todo claro el porque el hacer esto que caiga en un biliar "normal" digamoslo así.
Pues lo he revisado, y he cometido un error muy gordo. Lo que dije está mal.
Sería como digo si la ley de Snell estableciese proporcionalidad entre las pendientes (tangentes de los ángulos de incidencia y refracción); pero lo establece entre los senos de esos ángulos. La idea ya no funciona.
Siento la metedura de pata.
Saludos.
Hola , no veo que sea error relacionar las tangentes, no sé si mi deducción es correcta o no pero llegué a dibujar a mano alzada el mismo grafico y a publicar una relación entre tangentes también, no me he fijado si coincidimos.
Solo cabría aplicar un límite máximo al ángulo de incidencia $$\theta_0$$, lo demás creo esta bien.
Hola
Por completar un poco la solución que di, si los datos son:
- \( x \) anchura del rectángulo
- \( y_1 \) altura de la parte inferior del rectángulo
- \( y_2 \) altura de la parte superior del rectángulo
- \( r=n_1/n_2 \) cociente de los dos índices de refracción.
Entonces si un rayo sale del punto \( P \) con pendiente \( m=tan(\theta) \):
- Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es racional entonces necesariamente el rayo termina por volver al punto de partida.SpoilerGrosso modo: Basta tener en cuenta que si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r}=\dfrac{p}{q} \) entonces:
\( mxq=(y_1+y_2\cdot r)p \)
y si \( t=2xq \) entonces:
\( (t,tm)=(2xq,2(y_1+y_2\cdot r)p) \) con \( p,q \) enteros
Lo cual quiere decir que la recta de vector director \( (1,m) \) termina por unir cualquier punto del rectángulo original (deformado) con un simétrico.[cerrar]
- Si \( m\cdot \dfrac{x}{y_1+y_2\cdot r} \) es irracional entonces el rayo no vuelve a su punto de partida y describe una trayectoria densa en el rectángulo:
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=102818.msg408083#msg408083[/color]
Hola:
Según la ley de Snell
$$\dfrac{\sin \theta_0}{n_0}=\dfrac{\sin \theta_1}{n_1}$$
Hola
Creo que la pregunta de S.S era decidir si existe, una vez elegido el punto \( P \) de partida, un ángulo \( \theta_1 \) de forma que el rayo que parte de \( P \) con ese ángulo, vuelva a pasar por \( P \).
Creo que la razón que di en mi comentario anterior prueba que SIEMPRE existe tan ángulo. Allí expuse un caso particular para hacer el gráfico y dejé la frase 'podemos probar contando ángulos lo que el gráfico sugiere y he expuesto antes' para animar a elaborar una demostración mas fiable. En vista de que no lo he conseguido, voy a tratar de dar esa demostración.
Supongamos elegido un punto \( P \) en Zona A. Fijemos un punto \( P_2 \) en la frontera de fases \( p \), es decir un primer ángulo \( \theta_1 \). El segundo tramo del recorrido forma un ángulo con \( p \) de \( arcsin(\displaystyle\frac{sin(\theta_1)}{a}) \) (a=cociente de los índices de refracción) o \( \theta_1 \) según que el punto de rebote \( I \) esté en la Zona B o la Zona A. En cualquier caso si desplazamos \( P_2 \) a \( P'_2 \) obtenemos un nuevo segmento \( P'_2I' \)paralelo a \( P_2I \). El segmento \( IJ \) es paralelo, por la misma razón al nuevo \( I'J' \) obtenido al desplazar \( P_2 \). En general, la nueva gráfica que se obtiene al mover \( P_2 \) tiene sus segmentos componentes paralelos a los homólogos de la gráfica anterior. Esto prueba que \( P \) vuelve a pertenecer a la gráfica de rebotes para alguna elección de \( P_2 \). Otra cosa es evaluar exactamente el ángulo \( \theta_1 \) para tal hecho. La demostración que he presentado para comprobar su existencia no creo que sea apropiada para este cálculo pues hay muchas variables en juego. Por ejemplo el número de rebotes dados para volver a alcanzar el punto \( P \). No obstante, la solución del problema numérico no es difícil. Para cada ángulo \( \theta_1 \) evaluamos la distancia de \( P \) a los diferentes tramos rectilíneos de la trayectoria que genera este ángulo y definimos la función \( f \) que hace corresponder a cada \( \theta_1 \) el valor mínimo de tales distancias. El ángulo \( \theta_1 \) buscado es el valor de \( \theta_1 \) en que \( f \) se anula. Tal valor puede calcularse con métodos numéricos con la precisión que se desee. Si tengo tiempo y ganas, haré una hoja de Geogebra con tal construcción.
Saludos
Hola:
Según la ley de Snell
$$\dfrac{\sin \theta_0}{n_0}=\dfrac{\sin \theta_1}{n_1}$$
¿No es así:
\( n_0\sen\theta_0=n_1\sen\theta_1 \) ?
Saludos 🖐🏻
Hola:
Segun el grafico de ani_pascual , si llamo h al espesor de la capa de arriba y d al de la de abajo.
\( A=(x_A,y_A)=(x_0\ ,\ y_0) \)
\( B=(x_B,y_B)=(x_0+(d-y_0)\tan\theta_0\ ,\ d) \)
\( C=(x_C,y_C)=(x_B+h\tan\theta_1,d+h) \)
\( D=(x_D,y_D)=(L\ ,\ d+h-(L-x_C)/\tan\theta_1) \)
\( E=(x_E,y_E)=(L-(y_D-d)\tan\theta_1\ ,\ d) \)
\( F=(x_F,y_F)=(x_E-d\tan\theta_0\ ,\ 0) \)
\( G=(x_G,y_G)=(0\ ,\ x_F/\tan\theta_0) \)
pero \( G \) puede escribirse como
\( G=(0\ ,\ y_0-x_0/\tan\theta_0) \)
Por igualación de la componente \( y \) de \( G \)
\( x_F =y_0\tan\theta_0-x_0 \)
reemplazando esto en \( F \)
\( x_E-d\tan\theta_0=y_0\tan\theta_0-x_0 \)
\( x_E=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)
ahora reemplazando en \( E \)
\( L-(y_D-d)\tan\theta_1=(y_0+d)\tan\theta_0-x_0 \)
\( L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0=(y_D-d)\tan\theta_1 \)
\( \dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+d=y_D \)
reemplazando en \( D \)
\( \cancel d+h-\dfrac{(L-x_C)}{\tan\theta_1}=\dfrac{L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0}{\tan\theta_1}+\cancel d \)
\( h\tan\theta_1-(L-x_C)=L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)
\( h\tan\theta_1+x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0 \)
\( x_C=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)
reemplazando en \( C \)
\( x_B+h\tan\theta_1=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-h\tan\theta_1 \)
\( x_B=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+x_0-2h\tan\theta_1 \)
reemplazando en \( B \)
\( \cancel {x_0}+(d-y_0)\tan\theta_0=2L-(y_0+d)\tan\theta_0+\cancel{x_0}-2h\tan\theta_1 \)
\( (d-\cancel{y_0})\tan\theta_0=2L-(\cancel{y_0}+d)\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)
\( d\tan\theta_0=2L-d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)
\( 0=2L-2d\tan\theta_0-2h\tan\theta_1 \)
llegando a
\( L=d\tan\theta_0+h\tan\theta_1 \) Ec=1
ahora usando bien la ley de Snell :D
\( n_0\sin\theta_0=n_1\sin\theta_1 \)
con \( n_1<n_0 \quad\to\quad \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)
y sabiendo que \( \cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta} \)
y llamando \( w =\sin\theta_0 \) y reemplazando
\( \dfrac{wn_0}{n_1}=\sin\theta_1 \)
entonces reemplazando en la Ec 1
\( L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{wn_0}{n_1\sqrt{1-\textcolor{red}{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}}w^2}} \)
\( \boxed{L=d\dfrac{w}{\sqrt{1-w^2}}+h\dfrac{w}{\textcolor{blue}{\dfrac{n_1^2}{n_0^2}}\sqrt{\dfrac{n_0^2}{n_1^2}-w^2}}} \)
Se puede graficar en geogebra y ver que hay una raíz real entre 0 y 1 , lo cual permite calcular el seno , lo que no soy ducho para ver si el arcoseno esa raíz $$w$$ es menor o mayor al ángulo de reflexión total \( \theta_{0_{max}}=\arcsin\left(\dfrac{n_1}{n_0}\right) \)
pero vi que ciertas combinaciones son posibles y otras no pues el ángulo es mayor al máximo de la refracción.
Hola:
:aplauso: Veo que has generalizado los cálculos que hice para espesores de las capas arbitrarios \( d,h \) en lugar de tomarlos iguales como hice yo. He seguido tus cálculos y salvo alguna errata, los veo correctos. :)
Saludos
Como incluyo una imagen dinámica de geogebra... he probado lo que creía correcto y no funciona, que puedo leer?
Hola a todos. Graacias por las respuestas.Hola:
Estoy intentando revisar las respuestas #10 y #25 de ani_pascual y Richard R Richard respectivamente, mas no estoy consiguiendo sacar la primera coordenada del punto \( B \), pienso que es la interseccion de la recta que pasa por el punto \( (x_{0},y_{0}) \) con pendiente \( tan(\theta_{1}) \) \( (\theta_{0}) \), mas no sé porque no me da.
La recta que va por el punto en mencion es \( y= (x-x_{0}) tan(\theta_{1}) + y_{0} \), mas al sustituir \( y=a \) no sale, ¿ Qué estoy haciendo mal?
Otra cuestion es la siguiente ¿Cuando un rayo rebote de la parte superior para la frontera que divide los dos medios, ahí tengo que de nuevo tener en cuenta el ángulo crítico o esto es solo para cuando el rayo de luz va del medio con mayor indice de refracción al de menor refracción?
Gracias de nuevo.