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Matemática => Análisis Matemático => Cálculo de Varias Variables => Mensaje iniciado por: manooooh en 30 Noviembre, 2019, 11:24 pm

Título: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 30 Noviembre, 2019, 11:24 pm
Hola!!

Si \[\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=4\quad\text{con}\quad\begin{cases}x=u+v\\y=2v\end{cases}\] calcular el área de \( w \), siendo \( w \) el dominio de la función \[\overline{F}(u,v)=(u+v,2v)\quad\text{donde}\quad\overline{F}\colon w\to D.\]


He empezado por esto: \[\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\iint_D\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3\operatorname{Área}(D)=4\implies\operatorname{Área}(D)=\frac{4}{3}\] así que \( \overline{F}\colon w\to\frac{4}{3} \), pero no he podido avanzar.

Supongo que \( w\subseteq\Bbb{R}^2 \), pero tanto \( u+v \) como \( 2v \) son dos funciones con dominio \( \Bbb{R} \), por tanto \( w=\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2 \) (por lo que \( \overline{F}\colon\Bbb{R}^2\to\frac{4}{3} \)). Por lo tanto: \[\operatorname{Área}(w)=\operatorname{Área}(\Bbb{R}^2)=\infty.\] ¿Es correcto?

Gracias!!
Saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Richard R Richard en 01 Diciembre, 2019, 01:11 am
Hola cuando haces una transformación de coordenadas la proporción de área se mantiene si multiplicas  el área del nuevo dominio por el jacobiano de la transformación

\( \displaystyle\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\operatorname{Área}({D_{xy}})=\frac{4}{3} \)

\( \displaystyle=\iint_{D_{uv}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\iint_{D_{uv}}\,|Jxy/uv|\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{Área}({D_{uv}})|Jxy/uv| \)


con \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)

 \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}1&1\\ 0& 2\end{vmatrix}=2 \)

luego

 \( \operatorname{Área}(D_{uv})2=\dfrac{4}{3}  \)

\( \operatorname{Área}(D_{uv})=\dfrac{2}{3} \)

Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 01 Diciembre, 2019, 01:51 am
Hola

Hola cuando haces una transformación de coordenadas la proporción de área se mantiene si multiplicas  el área del nuevo dominio por el jacobiano de la transformación

\( \displaystyle\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_{D_{xy}}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\operatorname{Área}({D_{xy}})=\frac{4}{3} \)

\( \displaystyle=\iint_{D_{uv}}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\iint_{D_{uv}}\,|Jxy/uv|\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v=\operatorname{Área}({D_{uv}})|Jxy/uv| \)


con \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)

 \( |Jxy/uv|=\begin{vmatrix}1&1\\ 0& 2\end{vmatrix}=2 \)

luego

 \( \operatorname{Área}(D_{uv})2=\dfrac{4}{3}  \)

\( \operatorname{Área}(D_{uv})=\dfrac{2}{3} \)



Muchas gracias!

El dato de la integral doble tiene que ver con la imagen de la función, pero no con el dominio \( w \). Acabo de recapacitar en esto, por lo que no sé por qué hicimos el cálculo de la región \( D \) ???.

¿Acaso deberemos probar que \( \overline{F} \) es biyectiva para ver que \( |D|=|w| \)? Pero no sé cómo interpretarlo para concluir que, en caso de ser biyectiva, \( \mathrm{Área}(D)=\mathrm{Área}(w) \).

Saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Richard R Richard en 01 Diciembre, 2019, 02:50 am
por lo que no sé por qué hicimos el cálculo de la región \( D \) ???.
por esto
calcular el área de \( w \), siendo \( w \) el dominio de la función


Mmh!! ya no piso terreno firme, pero si la función es lineal y biyectiva, y el dominio es acotado porque tienes un área finita, entonces el dominio de la transformación tiene área finita....cuando calculas los nuevos limites de integración esta poniendo números reales a esa área no infinitos

\( A_{uv}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} du dv=\dfrac{(B-A)(C-D)}2=\dfrac{A_{xy}}{2} \)

fijate que con el correcto cambio de variables \( dy=2dv \) y \( dx=du \) calculas casi la misma integral pues  llegas a

\( A_{xy}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} 2du dv=(B-A)(C-D)=A_{xy} \)

con\(  x\in[A,B] \) y \( y\in[C,D] \)
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 01 Diciembre, 2019, 06:37 pm
Hola

pero si la función es lineal y biyectiva, (...)

Pues parece que \( \overline{F} \) es lineal y biyectiva pues sus dos componentes (\( u+v \) y \( 2v \)) lo son, ¿no?

(...) y el dominio es acotado porque tienes un área finita,

Es que no creo que el dominio esté acotado, ¿cómo lo sabemos?

Hice el análisis de que como \( \operatorname{dom}(u+v)=\Bbb{R} \) y \( \operatorname{dom}(2v)=\Bbb{R} \) entonces \( w=\operatorname{dom}(\overline{F})=\Bbb{R}\times\Bbb{R}=\Bbb{R}^2 \), y sabemos que el plano no está acotado.

(...) entonces el dominio de la transformación tiene área finita....cuando calculas los nuevos limites de integración esta poniendo números reales a esa área no infinitos

\( A_{uv}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} du dv=\dfrac{(B-A)(C-D)}2=\dfrac{A_{xy}}{2} \)

fijate que con el correcto cambio de variables \( dy=2dv \) y \( dx=du \) calculas casi la misma integral pues  llegas a

\( A_{xy}=\displaystyle \int_{\frac C2}^{\frac D2}\int_{A-v}^{B-v} 2du dv=(B-A)(C-D)=A_{xy} \)

con\(  x\in[A,B] \) y \( y\in[C,D] \)


¿Es \( A_{uv} \) el área del dominio de la función en las coordenadas \( u,v \)?

Gracias y saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Richard R Richard en 01 Diciembre, 2019, 09:14 pm
Hola
¿Es \( A_{uv} \) el área del dominio de la función en las coordenadas \( u,v \)?


bueno eso es lo que creo. para mi no es todo el dominio de \( \mathbb R^2 \) ya que tienes restricciones

Punto \( A=(x_a, y_a)=(u_a+v_a, 2 v_a) \)

Punto \( B=(x_a, y_b)=(u_a+v_a, 2 v_b) \)

Punto \( C=(x_c, y_a)=(u_c+v_c, 2 v_a) \)

Punto \( D=(x_c, y_b)=(u_c+v_c, 2 v_b) \)

que te relaciona las variables uv y te acota el dominio, luego puedes graficar ese dominio si quieres y hallarle el area, que intuyo es la mitad de la calculada en coordenadas xy, hasta allí te puedo comentar.
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 01 Diciembre, 2019, 10:41 pm
Hola

bueno eso es lo que creo. para mi no es todo el dominio de \( \mathbb R^2 \) ya que tienes restricciones

Punto \( A=(x_a, y_a)=(u_a+v_a, 2 v_a) \)

Punto \( B=(x_a, y_b)=(u_a+v_a, 2 v_b) \)

Punto \( C=(x_c, y_a)=(u_c+v_c, 2 v_a) \)

Punto \( D=(x_c, y_b)=(u_c+v_c, 2 v_b) \)

Gracias! No veo por qué hay restricciones.

Pregunté a WolframAlpha y me dice lo que decía antes: su dominio es todo el plano: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28u%2Cv%29%3D%28u%2Bv%2C2v%29 (puede ser que me esté olvidando de alguna hipótesis o haya escrito mal algo).

Por lo que no sé para qué tenemos el dato de la integral doble si su región se corresponde con la imagen de \( \overline{F} \) ???.

¿Qué opinan?

Saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 02 Diciembre, 2019, 12:28 pm
¿Alguna idea?

Saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Luis Fuentes en 02 Diciembre, 2019, 02:16 pm
Hola

Gracias! No veo por qué hay restricciones.

Pregunté a WolframAlpha y me dice lo que decía antes: su dominio es todo el plano: https://www.wolframalpha.com/input/?i=domain+of+f%28u%2Cv%29%3D%28u%2Bv%2C2v%29 (puede ser que me esté olvidando de alguna hipótesis o haya escrito mal algo).

Ten en cuenta que te escriben la función como:

\( \overline{F}\colon w\to D \)

Entonces la imagen de \(  \overline{F} \) debe de estar contenida en \( D \); de manera más precisa debe de entenderse que se toma el mayor dominio posible con esta condición: \( \overline{F}(w)\subset D \).

Si \( w=\Bbb R^2 \) entonces la imagen de la función NO estaría dentro de \( D \), luego no puede ser.

A partir de ahí tiene sentido lo expuesto por Richard. No sabemos si \( D \) está acotado, pero si que tiene área finita. Dado que \( \overline{F} \) es lineal lleva áreas finitas en áreas finitas e infinitas en infinitas. Y en particular el área queda multiplicada por el valor absoluto del determinante de la matriz asociada a la aplicación.

Saludos.
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 03 Diciembre, 2019, 08:28 pm
Hola, muchas gracias

No sabemos si \( D \) está acotado, pero si que tiene área finita. (...)

¿Cómo sabemos que tiene área finita? ¿Porque \( w\neq\Bbb{R}^2 \) o porque \( D \) es un único punto o por qué?

(...) Dado que \( \overline{F} \) es lineal lleva áreas finitas en áreas finitas e infinitas en infinitas. Y en particular el área queda multiplicada por el valor absoluto del determinante de la matriz asociada a la aplicación.

¿O sea que el área de \( w \) es?: \[\mathrm{Área}(w)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}u+v\\2v\end{pmatrix}\right\rvert\] No lo entiendo.

Saludos
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Luis Fuentes en 03 Diciembre, 2019, 09:31 pm
Hola

¿Cómo sabemos que tiene área finita? ¿Porque \( w\neq\Bbb{R}^2 \) o porque \( D \) es un único punto o por qué?

Porque el enunciado dice que:

\( \displaystyle\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=4 \)

y:

\( \displaystyle\iint_D3\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=3area(D) \)

Citar
¿O sea que el área de \( w \) es?: \[\mathrm{Área}(w)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}u+v\\2v\end{pmatrix}\right\rvert\] No lo entiendo.

No. Sería:

\[\mathrm{Área}(D)=\mathrm{Área}(w)\cdot\left\lvert\det\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}\right\rvert\]

Saludos.
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Richard R Richard en 03 Diciembre, 2019, 10:23 pm
Comparto la respuesta de Luis.

Se me ocurre un ejemplo que quizá te aporte algo de luz.

Si queremos calcular el área del dominio de un círculo de radio \( \rho \) que para hacerlo fácil lo escogemos 1 en coordenadas cartesianas hacemos

\( S_{D_1}=F_{(x,y)}=\displaystyle\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{\rho^2-x^2 }}^{+\sqrt{\rho^2-x^2 }}dy dx=\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2 }}^{+\sqrt{1-x^2 }}dy dx=\pi \)

pero mira esto si quiero calcular el área de un dominio entre [0,1] y [0,2\pi] para el radio y el ángulo del círculo  haríamos

\( S_{D_2}=G_{(\rho,\theta)}=\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0 }^{2\pi}d\theta d\rho=2\pi \)


pero sabemos que si queremos realmente relacionar el área de ambos círculos, la segunda integral es inexacta por lo que tenemos que usar la integral

 \( S_{D_3}=H_{(\rho,\theta)}=\displaystyle\int_{0}^{1}\int_{0 }^{2\pi}\rho d\theta d\rho=\pi \)


entonces ahora sí  \( S_{D_3}=S_{D_1} \) ambas áreas son iguales,  son el área del mismo circulo , pero de donde surge  esa diferencia?, de donde viene \( \rho \) en la ecuación?

pues del jacobiano de la transformación


\( x=\rho\cos\theta \)

\( y=\rho\sin\theta \)


\( |Jxy/\rho.\theta|=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u}& \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u}& \dfrac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix} \)


\( |Jxy/\rho.\theta|=\begin{vmatrix}\cos\theta & \sin\theta \\ -\rho\sin\theta & \rho\cos\theta\end{vmatrix}=\boxed{\rho} \)


Luego puedes ver que \( S_{D_1}=K \,S_{D_2} \) en este caso \( K=2  \) pero puede ser cualquier valor dependiendo de la transformación, pero lo que quiero rescatar es que \( K \) es un valor finito ... y que como se ve no necesariamente las transformaciones tienen que ser lineales, para obtener la relación, imagino que con ser derivable la transformación en todo el dominio es suficiente.

Es decir el área de los dominios son diferentes y finitas, pero el area del circulo se puede calcular perfectamente  incorporando el jacobiano.




Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: Masacroso en 05 Diciembre, 2019, 05:20 am
Una cosa que nos dice la fórmula del cambio de variable es que el valor absoluto del producto de los valores propios complejos de un operador lineal representa el factor en que se transforma el volumen de los conjuntos bajo su acción.

No es muy intuitivo pero es muy interesante ver el papel de los valores propios en la transformación del volumen.
Título: Re: Calcular el área de un dominio de una función vectorial
Publicado por: manooooh en 08 Diciembre, 2019, 02:03 am
Hola

Muchas gracias a todos.

Saludos