[aureodd]

Hola el_manco,
entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Por otro lado teniamos

\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)

con
\(  k=2p+u \)
(Si \( k<2p \) el lado izq. en (2) sería negativo y el derecho positivo.
También \( k<3p \) ya que si \( k>3p \) el lado izq. en (2) sería positivo y el derecho negativo.)
Sutituyendo ahora el valor de \( k \) de (1) en (2)
\( qr\cdot3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (3)
Como \(  k=2p+3^{2m-3} <3p \Rightarrow 3^{2m-3}<p \)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Prueba:
Supongamos \( 3^{2m-3}=p \) y lo sustituimos en (3)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-(2(3^{2m-3})+3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-((2+1).(3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=(3^{2m-3})^3(3^2-3^3) \)
¿Es correcto?

Como siempre, muchas gracias por tus respuestas y comentarios.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).

Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible  del \( m.c.d.(p,u) \).

Por otro lado teniamos

\( qr(k-2p)=3^{2m-3}(3^2p^3-k^3) \) (2)

con
\(  k=2p+u \)
(Si \( k<2p \) el lado izq. en (2) sería negativo y el derecho positivo.
También \( k<3p \) ya que si \( k>3p \) el lado izq. en (2) sería positivo y el derecho negativo.)
Sutituyendo ahora el valor de \( k \) de (1) en (2)
\( qr\cdot3^{2m-3}=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)\Rightarrow \)
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (3)
Como \(  k=2p+3^{2m-3} <3p \Rightarrow 3^{2m-3}<p \)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.
Prueba:
Supongamos \( 3^{2m-3}=p \) y lo sustituimos en (3)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-(2(3^{2m-3})+3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=3^2(3^{2m-3})^3-((2+1).(3^{2m-3})^3 \Rightarrow \)
\( qr=(3^{2m-3})^3(3^2-3^3) \)
¿Es correcto?

El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas. En el razonamiento que yo había sintetizado de los tuyos:

Spoiler

En primer lugar es cómodo escribir la ecuación de Fermat como \( x^3+y^3+z^3=0 \) en lugar de la manera clásica, permitiendo que las variables sean negativas. Esto evita tener que repetir argumentos para tus tres términos \( (x-y),(x-z)=(y-b),M=(y+z) \) que ahora con mi notación son simplemente \( (x+y),(x+z),(y+z) \). De forma que por simetría lo que probemos para uno, queda probado para los demás.

 Entonces sean \( x,y,z \) tres enteros coprimos dos a dos verificando \( x^3+y^3+z^3=0. \)

 1) \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que, \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 \) y usar que estamos bajo el supuesto de que los tres números cumplen la ecuación de Fermat.

 2) \( (x+y),(x+z),(y+z) \) son coprimos dos a dos.

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (1) cualquier divisor primo de uno de esos términos lo es de \( (x+y+z) \). Entonces si \( x+y,x+z \) son divisibles por \( p \),

 \( z=(x+y+z)-(x+y) \) divisible por \( p \)
 \( y=(x+y+z)-(x+z) \) divisible por \( p \)

 Pero \( z,y \) son coprimos: contradicción.

 3) Uno y sólo uno de los términos \( (x+y),(x+z),(y+z) \) es divisible por \( 3 \) (supondremos sin pérdida de generalidad, a partir de ahora, que tal término es \( y+z \)).

 Prueba: Por (1), (\( x+y+z) \) es divisible por \( 3 \) y por tanto \( 3(x+y)(x+z)(y+z)=(x+y+z)^3 \) divisible por \( 3^3 \). Por tanto efecivamente alguno de los términos es divisible por tres. La unicidad es consecuencia de (2).

 4) \( (y+z)=3^mE^3 \) con \( mcd(E,3)=1 \) y \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 Prueba: Se tiene que \(  -x^3=y^3+z^3=(y+z)(y^2-yz+z^2)  \). Como \( (y+z) \) es múltiplo de tres, también lo es \( x \). Como \( x,y,z \) son coprimos, \( y,z \) no son divsibles por tres. Por tanto:

\( (y+z)=3^mE^3,\qquad (y^2-yz+z^2)=3^{3k-m}F^3 \) con \( mcd(E,3)=mcd(F,3)=1 \).

 Pero: \( 3yz=(y+z)^2-(y^2-yz+z^2)=3^{2m}E^6-3^{3k-m}F^3 \). Como \( y,z \) no son divisibles por tres necesariamente \( 3k-m=1 \), es decir, \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \).

 5) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:
 
\( y+z=3^mp^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)
\( x+y=q^3\quad x+z=r^3\quad x+y+z=3^{\frac{m+1}{3}}pqr \)

 Prueba: Basta aplicar (2),(3),(4) a (1)

 6) Existen enteros \( p,q,r  \) coprimos dos a dos y no múltiplos de \( 3 \) tales que:

\(  q^3=2\cdot 3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3-r^3 \) con \( m\equiv 2 \) mod \( 3 \)

 Prueba: Basta tener en cuenta que por (5):

\(  x=(x+y+z)-(y+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-3^mp^3 \)
\(  y=(x+y+z)-(x+z)=3^{\frac{m+1}{3}}pqr-r^3 \)
\(  x+y=q^3 \)

[cerrar]

 \( p,q,r \), eran enteros pero no necesariamente positivos.

Saludos.

[aureodd]

Hola,

El problema de todo esto es que no tengo claro que \( p,q,r \) tengan que ser positivos. Hay que echar la vista atrás y ver de donde viene la expresión con la que trabajas.

Todo viene de la notación clásica del UTF
\( x^n=y^n+z^n \)
utilizando que \( x,y,z \) son enteros positivos
Con esto había llegado a los siguientes resultados:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

II) \( (q^3-3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

Utilizando I) en II)
\( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(q^3-3^{m}pqr)^n \)
obtengo el resultado en III)

III) \( q^3= 3^{3m-1}p^3+r^3+2\cdot3^{m}pqr \)
Y este último es el que utilizado en los desarrollos de los post anteriores con \( p,q,r \) positivos.

En el documento para \( n=3 \) en el enlace http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
se puede seguir la línea del desarrollo pero modificando según comentaste:
 

 Allí el término \( 3pqr \) pasaría a \( 3^{\frac{2m+1}{3}} \) y el término \( 3^2p^3 \) pasaría a \( 3^{2m}p^3 \).

 Esto hace desaparecer la contradicción con la que concluye la prueba del Lema 6.

Es equivalente a III) haciendo el cambio de variable \( \frac{2m+1}{3}=j \Rightarrow 3j-1=2m \)

Hola

entonces si
\( 3^{2m-3}(3^2p^3-(2p)^3)=3^{2m-3}p^3 \) es múltiplo de \( u \)
\( u=3^{2m-3} \) ya que \( q,r  \) no son múltiplos de \( 3 \) y además \( u \) no puede dividir a \( p \)
Prueba:
Si \( u \) divide a \( p \) podemos poner \( p=ut \) para algún \( t \). Sutituimos en
\( qru=3^{2m-3}(3^2p^3-(2p+u)^3) \)
nos queda que el término de la derecha es múltiplo de \( u^3 \) y no es posible ya que \( q,r,p \) son coprimos (u no puede dividir a \( q,r \)).
Luego \( u=3^{2m-3} \) y \(  k=2p+3^{2m-3} \) (1)
¿Es correcto?

Está bien. Aunque el razonamiento no es del todo correcto. Que \( qru \) sea múltiplo de \( u^3 \) no quiere decir ni que \( q \) ni que \( r \) sean necesariamente múltiplos de \( u \); si que tengan factores primos comunes. Eso esta imposiblitado por la coprimalidad de \( q,r,p \) y el supuesto de \( p=ut \).

Además lo que razonas así es que \( p \) no es múltipo de \( u \); pero eso no excluye que \( u,p \) pudieran tener factores primos comunes. Es decir de lo que has hecho no se deduce necesariamante que \( u=3^{2m-3} \). Lo que debes de hacer es lo mismo que has hecho con \( u \), pero con un factor primo común de mayor exponente posible  del \( m.c.d.(p,u) \).

Si \( u,p \) tienen factores comunes, para que sea posible que \( u|3^{2m-3}p^3 \) se tiene que dar que \( u>p \)?
Por ejemplo para \( m=3 \) tomo:
\( u=3^3\cdot5^3 \)
\( p=5 \)
Y se cumple también lo que teníamos en

\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.

Es correcto?
Muchas gracias!!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( u,p \) tienen factores comunes, para que sea posible que \( u|3^{2m-3}p^3 \) se tiene que dar que \( u>p \)?
Por ejemplo para \( m=3 \) tomo:
\( u=3^3\cdot5^3 \)
\( p=5 \)

No entiendo muy bien que quieres decir con esto. En principio para que \( u|3^{2m-3}p^3 \) no veo porque \( u>p \). En el mismo ejemplo que pones tu \( p \) podría ser \( 5\cdot 1231243212345145145 \).

De todas formas aunque maticé la prueba que hiciste, es correcto concluir que \( u=2^{2m-3} \)-

\( qr=3^2p^3-(2p+u)^3 \) (3)
Y esto hace que el lado derecho de (3) sea negativo, que no es posible ya que \( q.r \) es positivo.

Es correcto?

[/quote]

No estoy seguro de que me estás preguntando aquí:

- Si \( u>p \) entonces es cierto que el lado derecho de la igualdad es negativo (pero como dije antes no veo como probar que \( u>p \)).

- Si como en tu anterior intervención suponemos \( u=2^{2m-3} \) y suponemos \( p>3^{2m-3}=u \), no es cierto que el lado derecho de la igualdad tenga que ser negativo.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
es correcto lo que comentas:

Si \( p>3^{2m-3}=u \), no es cierto que el lado derecho de la igualdad tenga que ser negativo.

y de momento no creo que sirva de mucho...

Teníamos entonces

\( q=3^{m-1}k+r \) para algún \( k \)

y que
\( u=3^{2m-3} \)
\(  k=2p+3^{2m-3} \)
Luego \( q-r=3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \) (1)
También teníamos
\( qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \) (2)
Luego tenemos el siguiente sistema
\(  \left\{ \begin{array}{c}q-r= 3^{m-1}(2p+3^{2m-3}) \\ qr=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \end{array}\right  \)
De (1)
\( q=3^{m-1}(2p+3^{2m-3})+r \)
Lo sustituimos en (2)
\( (3^{m-1}(2p+3^{2m-3})+r)r=3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3 \)
\( r^2+3^{m-1}(2p+3^{2m-3})r-(3^2p^3-(2p+3^{2m-3})^3)=0 \)
Si llamo \( A=2p+3^{2m-3} \)
\( r^2+3^{m-1}Ar-(3^2p^3-A^3)=0 \)
Podemos buscar soluciones para la ecuación anterior de segundo grado para \( r \):
\( r = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{2a} \)

\( r = \dfrac{{3^{m-1}A \pm \sqrt {(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }}{2} \)

donde \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
tiene que ser un cuadrado.
¿Es correcto hasta aquí?
Muchas gracias!!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Correcto.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
entonces si
\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
tiene que ser un cuadrado, con \( A=2p+3^{2m-3} \), y esto es equivalente (si no me he equivocado con las cuentas...) a
\( 4\cdot3^2p^3=4A^3+k^3\cdot3^{m-1}A \) para algún \( k \)
¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?
Muchas gracias!!!!
Saludos

[aureodd]

Hola,
las cuentas que faltaban en la respuesta anterior:
Como \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
es un cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \), lo llamo \( s \),
lo podemos poner como \( (3^{m-1}A)^2+k\cdot3^{m-1}A.k^2 \) para algún \( k \)
es decir,
\( (3^{m-1}A)^2+k^3\cdot3^{m-1}A=s^2 \)
luego
\( k^3\cdot3^{m-1}A=4(3^2p^3-A^3) \)
que es el resultado de la respuesta anterior

..y esto es equivalente (si no me he equivocado con las cuentas...) a
\( 4\cdot3^2p^3=4A^3+k^3\cdot3^{m-1}A \) para algún \( k \)

y sobre el que había planteado la cuestión

¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?

Muchas gracias de nuevo!!!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No entiendo bien las cuentas que haces aquí:

Hola,
las cuentas que faltaban en la respuesta anterior:
Como \( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \)
es un cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \), lo llamo \( s \),

¿A quién llamas \( s \)? ¿ \( s=3^{m-1}A^2+4(3^2p^3-A^3) \) ?

lo podemos poner como \( (3^{m-1}A)^2+k\cdot3^{m-1}A.k^2 \) para algún \( k \)
es decir,
\( (3^{m-1}A)^2+k^3\cdot3^{m-1}A=s^2 \)

Y aquí me perdí por completo. ¿De dónde sale esa \( k \)?.

En cualquier caso y respecto a esto:

¿Se puede dar que \( A=2p+3^{2m-3} \) divida a \( 4\cdot3^2p^3 \), con \( p \) no múltiplo de \( 3 \)?

¿Por qué no podría darse?. Podria ocurrir:

\( (2p+3^{2m-3})w=4\cdot 3^2p^3 \)

con \( w \) múltilpo de \( 3^2 \).

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
sí, yo también me he perdido con las cuentas mil perdones!!!
Todas mal!
He llamado \( s^2=(3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3) \) al cuadrado mayor que \( (3^{m-1}A)^2 \)
y lo tenía que haber escrito como
\( s^2=(3^{m-1}A+k)^2=(3^{m-1}A)^2+2\cdot3^{m-1}A.k+k^2 \)
luego
\( 2\cdot3^{m-1}A.k+k^2=4(3^2p^3-A^3) \)
y no se llega a ningún sitio
Disculpa otra vez por la falta de rigurosidad... La próxima vez leeré de alguna lista los primeros 1000 primos y lo volveré a revisar con mas detalle antes de publicarlo
Saludos