[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que son correctas las cuentas que expones. Pero no estoy seguro de que el Teorema de Legrende permita concluir que:

\( a^2p-b^2t=T^2 \)

 no tenga solución. Habría que probar que NO ocurre que \( p \) es un cuadrado módulo \( t \) y viceversa. Pero no sé si es cierto ni veo claro como "hincarle el diente".

Saludos.

[aureodd]

Hola,
teníamos que
\( t=3^{2m-3} \)
y que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \).

Luego es cierto que

NO ocurre que \( p \) es un cuadrado módulo \( t \) y viceversa.

Te refieres a eso?
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
en los últimos resultados que habíamos tenido estaba intentado demostrar que no hay soluciones enteras para

\( (3^{m-1}A)^2 +4(3^2p^3-A^3)} }=T^2  \) para algún \( T>0 \)

Y según habías verificado se podía poner como
\( pX^2-tY^2=T^2 \) (*)
con \( X=2p \) , \( Y=6p+t \) , \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no múltiplo de \( 3 \). (**)

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).

Los puntos ii),iii) y iv) de la proposición anterior no se cumplen con las condiciones que tenemos en (**) además de que \( p \) y \( t \) son coprimos (\( d=MCD(p,t)=1 \)).
Podemos decir entonces que (*)
\( pX^2-tY^2=T^2 \) no tiene soluciones enteras no triviales?
Muchas gracias!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He revisado el documento que indicabas http://public.csusm.edu/aitken_html/notes/legendre.pdf
y creo que la proposición a la que hacías referencia era:

Proposition 1. If \( T^2 = pX^2 + tY^2 \) has a non-trivial Z-solution, then
(i) at least one of \( p \) and \( t \) is positive,
(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \), and
(iv) \(  - (p/d)(t/d) \) is a square modulo \( d \) where \( d \) is the GCD of \( p \) and \( t \).

Si, exacto, me refiero a ese resultado.

Los puntos ii),iii) y iv) de la proposición anterior no se cumplen con las condiciones que tenemos en (**) además de que \( p \) y \( t \) son coprimos (\( d=MCD(p,t)=1 \)).

Pero es que no veo claro que no se cumplan ii) y iii). Y iv) SI se cumple. Creo que no estás interpretando correctamente la condición que impone el teorema.

Recuerda que \( A \) es un cuadrado módulo \( B \) si \( A=k^2\mod B \), es decir, si \( A=k^2+nB \) para ciertos enteros \( n,k \).

Entonces en cuanto a la condición (iv) \( d=mcd(p,t)=1 \) y cualquier número \( N=0^2+N \) es trivialemente un cuadrado módulo \( 1 \).

Por otra parte en (ii) habría que comprobar si existen enteros \( n,k \) tales que:

\(  p=k^2+3^{2m-3}n \)

 y en (iii)  si existen enteros \( n,k \) tales que:

\(  3^{2m-3}=k^2+np \)

 No veo obvias ninguna de las dos cosas.

Saludos.

[aureodd]

Hola el_manco,
en efecto no estaba interpretando bien la condición:

\( A \) es un cuadrado módulo \( B \) si \( A=k^2\mod B \), es decir, si \( A=k^2+nB \) para ciertos enteros \( n,k \).

Utilizando esto en

(ii) \( p \) is a square modulo \( |t| \),
(iii) \(  t \) is a square modulo \( |p| \),

¿Podemos considerar como indicabas (con \( t=3^{2m-3}) \) los diferentes casos para
\( p=k^2\pm{tn} \)
\( t=s^2\pm{pu} \)
y utilizar sólo enteros positivos?
Muchas gracias!
Saludos

[aureodd]

Hola el_manco,
Si es así, entonces podríamos considerar para
\( p=k^2\pm{tn} \)
\( t=s^2\pm{pu} \)
los siguientes casos?

CASO I - Los dos positivos
I)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t \) en \( p \):
\( t(1-un)=s^2+uk^2 \), donde el lado izq. de la igualdad es negativo y el der. positivo.
Luego este caso no es posible?

CASO II - uno positivo y otro negativo
II)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t  \) en \( p \):
\( p(1+un)=k^2-ns^2 \)
y susituyendo el valor de  \( p \) en \( t \):
\( t(1+un)=s^2+uk^2 \)
Despejando en ambas igualdades \( (1+un) \) e igualándolas:
\( p(s^2+uk^2)=t(k^2-ns^2) \)
pero \( t=3^{2m-3} \) y \( p \) no es múltiplo de \( 3 \), luego
\( p=k^2-ns^2 \)
\( t=s^2+uk^2 \)
Susituyendo \( p=k^2-ns^2 \) en el valor de \( p \) en II) tenemos que \( t=s^2 \) pero \( t=3^{2m-3} \) no puede ser un cuadrado.
Luego este caso tampoco puede darse?
Nota: Se llega al mismo resultado si ponemos II) como
\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)

CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Sumando y restando las igualdades de estos sistemas llegamos a:
 i)  \( 2k^2=n(s^2+t) \Rightarrow n|2k^2 \)
ii)  \( 2s^2=u(k^2+p) \Rightarrow u|2s^2 \)
iii) \( 2p=n(s^2-t) \Rightarrow n|2p \)
iv) \( 2t=u(k^2-p) \Rightarrow u|2t \)

Ahora creo que para los casos \( n=2 \) y \( u\neq2 \) he encontrado una contradicción:

El caso \( \bold{n=2} \) no puede darse ya que en i) \( k^2-s^2=t \Rightarrow (k-s)(k+s)=3^{2m-3} \)
que solo podría darse si \( k \)  y \( t \) son múltiplos de \( 3 \) luego \( p \) en IIIa) tendría que ser múltiplo de \( 3 \), y hemos supuesto que no lo es.

Para el caso \( \bold{u\neq2} \)
en iv) tenemos \( 2t=u(k^2-p) \Rightarrow u|t=3^{2m-3} \) luego en IIIa) \( s|t \) y en iii) \( 2p=n(s^2-t) \)
luego \( s^2-t \equiv0\pmod3 \) entonces \( 3|p \) y hemos supuesto que \( p \) no es múltiplo de \( 3 \). Este caso entonces no puede darse.

Sin embargo no he encontrado nada para los siguientes casos \( u=2 \) y \( n\neq2 \):
Caso \( \bold{u=2} \) tenemos en iv) \( t=k^2-p\Rightarrow p=k^2-t  \) luego de IIIa) nos queda que \( n=1  \). Sustuyendo entonces en IIIa) que \( u=2 \) y \( n=1 \)
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{t} \\ t=s^2-2p \end{array}\right  \)
Y ahí me he quedado....

Quedaría ver también el caso \( \bold{n\neq2} \)

No se si hasta donde he llegado es correcto y si (seguro que sí) se puede simplificar en un desarrollo mas sencillo

Cualquier comentario como siempre será muy bienvenido.
Muchas gracias!!!
Saludos

[aureodd]

Hola
para el caso \( \bold{u=2} \) (\( n=1 \)) tenemos
i) \( 2k^2=(s^2+t) \Rightarrow 2k^2-s^2=t \equiv 0 \) mod \( (3) \)
sólo tiene solucion si \( k \) y \( s \) son múltiplos de \( 3 \)
y hace que en IIIa) \( p \) tenga que ser múltiplo de \( 3 \), que es una contradicción.
Queda entonces sólo que \( \bold{n\neq2} \).
No se si voy bien o estoy pasando algo por alto...
Gracias.
Saludos

[aureodd]

Hola otra vez,
teníamos

CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)

Repasando el desarrollo para llegar de IIIa) a IIIb):
Si \( t=s^2-{pu} \) al sustituirlo en \(  p=k^2-{tn} \Rightarrow p=k^2-n(s^2 -pu) \Rightarrow \)
(*) \( p(un-1)=ns^2-k^2 \Rightarrow (un-1)=\dfrac{ns^2-k^2}{p} \)
y haciendo lo mismo con el valor de \( p=k^2-{tn} \) al sustituirlo en \( t=s^2-{pu} \) nos queda
\( t(un-1)=uk^2-s^2 \Rightarrow (un-1)= \dfrac{uk^2-s^2}{t} \)
Entonces \( \dfrac{ns^2-k^2}{p}=\dfrac{uk^2-s^2}{t} \Rightarrow t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2)
 \) como \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) tenemos el resultado de IIIb)
pero si \( p=ns^2-k^2 \) entonces en (*) \( un-1=1 \) luego \( un=2 \) que para enteros positivos es sólo posible si
\( u=1 \) y \( n=2  \)
o
\( u=2 \) y \( n=1 \)
que en los desarrollos anteriores se ha visto que no era posible.
Es correcto? Luego no haría falta considerar los casos donce \( u\neq2 \) y \( n\neq2 \)?
Faltaría o me he saltado alguna cosa?
Muchas gracias!!!
Saludos
 

[aureodd]

Hola,
en los mensajes anteriores hay un error troncal en:

CASO III - los dos negativos
IIIa)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2-{tn} \\ t=s^2-{pu} \end{array}\right  \)
Si hacemos como en el caso II) donde sustituiamos los valores de \( p \) y \( t \), cambiando de signo a todo y despejando \( (un-1) \) llegamos a
IIIb)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)

Entonces \( \dfrac{ns^2-k^2}{p}=\dfrac{uk^2-s^2}{t} \Rightarrow t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2)  \)
como \( p \) no es múltiplo de \( 3 \) tenemos el resultado de IIIb)

No es cierto que de \(  t(ns^2-k^2)=p(uk^2-s^2) \) se tenga que dar
\(  \left\{ \begin{array}{c}p=ns^2-k^2 \\ t=uk^2-s^2 \end{array}\right  \)
Por ejemplo: \( \underbrace{3}_t\cdot\underbrace{20}_{ns^2-k^2}=\underbrace{5}_p\cdot\underbrace{12}_{uk^2-s^2} \)

De todos modos si el CASO I) estuviera bien no se vería afectado por el error anterior:

CASO I - Los dos positivos
I)\(  \left\{ \begin{array}{c}p=k^2+{tn} \\ t=s^2+{pu} \end{array}\right  \)
Sustituyendo el valor de \( t \) en \( p \):
\( t(1-un)=s^2+uk^2 \), donde el lado izq. de la igualdad es negativo y el der. positivo.
Luego este caso no es posible?

Saludos

[aureodd]

Hola,
revisando notas anteriores:

I) \( (3^{3m-1}p^3+r^3+3^{m}pqr)^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3+(r^3+3^{m}pqr)^3 \)
donde
\( x^3=(3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( y^3=(3^{3m-1}p^3+3^{m}pqr)^3 \)
\( z^3=(r^3+3^{m}pqr)^3 \)

y poniendo:
\( a=3^{3m-1}p \)
\( b=r^3 \)
\( c=3^{m}pqr \)
entonces el término general del UTF:
\( \underbrace{(a+b+c)^3}_{x^3}=\underbrace{(a+c)^3}_{y^3}+\underbrace{(b+c)^3}_{z^3} \) (*)
Si \( c=2d \) con \( d \in \mathbb{Q} \), \( A=a+d \) y  \( B=b+d \)
(*) nos queda como
\( (A+B)^3=(A+d)^3+(B+d)^3\Rightarrow \)
\( 3AB(A+B)= d(3A^2+3B^2)+d^2(3A+3B)+2d^3 \)
Luego \( (A+B) \) tiene que dividir a \( 2d^3 \)
pero
\( d^3=(\frac{3^{m}pqr}{2})^3 \)
es múltiplo de \( p \)
pero \( A+B \) no lo es ya que \( p \) y \( q \) son coprimos
\( A+B=3^{3m-1}p^n+r^3+3^{m}pqr \)
¿Es correcto?
Saludos