Estimado Rincón, estoy leyendo "Introducción a la lógica y a las estructuras algebraicas", de Luis Tejero Escribano y Manuel Ruiz Domínguez. Es de la UNED. Bueno, el caso es que cito:
“Una proposición es un enunciado declarativo, es decir, en el que inequívocamente pueda aplicarse un criterio de verdad o falsedad
Una cláusula es una condición que contiene una o varias variables de forma que al ser sustituidas por valores o elementos de ciertos conjuntos, se convierte en una proposición.
(...)
el símbolo \( \emptyset \) (...) universalmente designa al conjunto vacío. ¿Pero, qué es el conjunto vacío? El axioma de especificación de la teoría de conjuntos nos resuelve el problema.
En efecto, si consideramos la cláusula
\( s(x):x\,\neq{\,x} \)
con dicho axioma es posible formar el conjunto:
\( \{x\in{A,}\,x\neq{x}\} \)
a ese conjunto le llamaremos el conjunto vacío.
Sea pues
\( \emptyset\,=\,\{x\in{A,}\,x\neq{x}\} \)
Además, el axioma de extensión nos dice que es único. Es claro que el vacío no tiene elementos, por tanto ninguno de ellos puede pertenecer a A. Por tanto el vacío está contenido en A; este razonamiento no nos deja del todo satisfechos, ahora bien, si por el contrario el vacío no estuviera en A sería porque algún elemento del vacío no pertenecería a A. Pero esto va contra la hipótesis de definición de vacío, luego el vacío está contenido en cualquier conjunto.
1.5. Conjuntos de las partes o conjunto potenciaDecíamos que el signo de pertenencia \( \subset{} \) lo utilizábamos para designar que un elemento pertenecía a un conjunto sin prescindir de la posibilidad de que ese elemento fuera a su vez un conjunto.
o de otra forma
\( P(U)\,=\,\{Y\,|\,Y\subset{U}\} \)
Veamos algunos ejemplos aclaratorios:
Sea \( A=\emptyset \) entonces
\( P(A)\,=\,P(\emptyset)\,=\,\emptyset \)
obsérvese que \( \emptyset\neq{\{\emptyset\}} \)."
Axioma de extensionalidad descrito en Wikipedia
Axioma de extensionalidad
En teoría de conjuntos, el axioma de extensionalidad es un axioma que establece que dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos
Enunciado
El enunciado del axioma establece que si dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces son idénticos:
\( \forall{\,A,B}\,:\;\forall{\,x},(x\in{A}\leftrightarrow{\,x\in{B}})\Rightarrow{\,A=B} \)
La afirmación recíproca -dos conjuntos iguales tienen los mismos elementos- es un teorema lógico. Un enunciado equivalente, utilizando la noción de subconjunto, es:
Dados dos conjuntos, \( A \) y \( B \), tales que a cada uno es subconjunto del otro, \( A\subseteq{B} \) y \( B\subseteq{A} \), entonces son iguales, \( A=B \).
El axioma de extensionalidad constituye la definición fundamental del concepto de conjunto como una colección abstracta de objetos. (...) asegura que los elementos \( x \) de un conjunto \( A \) son lo único que lo define, es decir, los objetos que están relacionados con él por la relación de pertenencia \( x\in{A} \).
Esquema axiomático de especificación según Wikipedia
Esquema axiomático de especificación. Sea \( \theta{(v)} \) una fórmula del lenguaje de primer orden que contenga una variable libre \( v \). Entonces, para cualquier conjunto \( x \) existe un conjunto \( y \) cuyos elementos son aquellos elementos \( a \) de \( x \) que cumplen \( \theta{(a)} \).
Formalmente, \( \forall{\,X}\,\exists{\,Y}\,/\,(\,\forall{Z}\,:\,Z\in{Y}\leftrightarrow(\,\forall{a\in{Z}\rightarrow{\,a\in{X}})}) \)
El conjunto vacío tiene dos notaciones: \( \{\,\} \) y \( \emptyset \); pero no sé qué denota \( \{\emptyset\} \).
“el signo de pertenencia \( \subset{} \) lo utilizábamos para designar que un elemento pertenecía a un conjunto (…).” Aquí me pregunto: ¿estoy delante de un buen libro de texto? Una cosa es pertenencia, i.e. \( \in \), y otra inclusión.
¿Por qué en el enunciado de Wikipedia del axioma de especificación emplea a veces letras minúsculas para hablar de conjuntos?.
¡Un saludo!
