[Marcos Castillo]

Hola estimado Rincón

Tengo unas dudas respecto a una cita. Cito primero:

Ejemplo 2 Calcule las sumas de Riemann inferior y superior de la función \( f(x)=x^2 \) en el intervalo \( [0,a] \) (siendo \( a>0 \)), correspondientes a la partición \( P_n \) de \( [0,a] \) en \( n \) subintervalos de la misma longitud.

Solución Cada subintervalo de \( P_n \) tiene una longitud de \( \Delta x=a/n \), y los puntos de división son \( x_i=ia/n \) para \( i=0, 1, 2,...,n \). Como \( x^2 \) es creciente en \( [0,a] \), sus valores mínimo y máximo en el subintervalo \( i \)-ésimo \( [x_{i-1},x_i] \) se producen en \( l_i=x_{i-1} \) y \( u_i=x_i \), respectivamente. Por tanto, la suma de Riemann inferior de \( f \) para la partición \( P_n \) es

\( L(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i-1})^2}\Delta x=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\color{red}\sum_{i=1}^n{(i-1)^2} \)

\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\color{blue}\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{j^2}\color{black}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}=\displaystyle\frac{(n-1)(2n-1)a^3}{6n^2} \)

donde hemos utilizado el Teorema 1(c) de la sección 5.1 para calcular la suma de los cuadrados.

Teorema 1(c), Sección 5.1

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

[cerrar]

De forma similar, la suma de Riemann superior es

\( U(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2\Delta x} \)

\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{(n-1)n(2(n-1)+1}{6}=\displaystyle\frac{(n-1)(2n-1)a^3}{6n^2} \)

Área del monomio cuadrático

Calcule el área \( A \) de la región limitada por la parábola \( y=x^2 \) y las rectas \( y=0 \), \( x=0 \) y \( x=b \), siendo \( b>0 \)

Solución El área \( A \) de la región es el límite de la suma \( S_n \) de las áreas de los rectángulos que se muestran en la Figura 5.7(b). De nuevo se han utilizado subintervalos de la misma longitud, cada uno de ellos de longitud \( b/n \). La altura del \( i \)-ésimo rectángulo es \( (ib/n)^2 \). Por tanto,

\( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left({\displaystyle\frac{ib}{n}}\right)^2\displaystyle\frac{b}{n}}=\displaystyle\frac{b^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{b^3}{n^3}\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

por la fórmula (c) del Teorema 1. Entonces, el área pedida es

\( A=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{S_n}=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{b^3}\displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\displaystyle\frac{b^3}{3} \) unidades al cuadrado

(Figura 5.7(b))

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Pregunta: ¿cómo surge la expresión coloreada en rojo, y cómo iguala a lo que pongo en azul?. Mi esfuerzo ha consistido en entenderlo para el cálculo del área de \( y=x^2 \) que pongo en un spoiler.

¡Un saludo!

[Pie]

Tienes que:

\( x_i = i\cdot{}\displaystyle\frac{a}{n} \) y \( \Delta{x} = \displaystyle\frac{a}{n} \)

Con lo que:

\( (x_{i - 1})^2 \Delta{x} = \left((i-1)\cdot{}\displaystyle\frac{a}{n}\right)^2\cdot{\displaystyle\frac{a}{n}} = (i - 1)^2 \cdot{} \displaystyle\frac{a^3}{n^3} \)

Y como el factor \( \displaystyle\frac{a^3}{n^3} \) lo puedes sacar fuera de la sumatoria queda que:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i - 1})^2 \Delta{x}} = \displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{(i-1)^2} \)

Saludos.

[Richard R Richard]

La sumatoria en rojo tiene n términos y son

\( Suma=0^2+1^2+....+(n-2)^2+(n-1)^2 \)

Y la sumatoria  en azul

\( Suma=0^2+1^2+....+(n-2)^2+(n-1)^2 \)

Es decir son iguales .

El tema que veo es que el desarrollo de la sumatoria  del limite superior no estaría bien hecha.

[/size]
De forma similar, la suma de Riemann superior es

\( U(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2\Delta x} \)
\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{(n-1)n(2(n-1)+1}{6}=\displaystyle\frac{(n-1)(2n-1)a^3}{6n^2} \)

[/size]

Esta mal debe ser

\( U(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2\Delta x} \)\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)


La diferencia entre la suma superior e inferior cuando \( n \) tienda a infinito  tiende a cero y la integral tiende al valor de la semisuma de los límites superior e inferior.

\( I=\dfrac{U(f,P_n)+L(f,P_n)}{2}=\dfrac{\left(\dfrac{a^3}{n^3}\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)+\left(\dfrac{a^3}{n^3}\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}\right)}{2} \)

\( I=\dfrac{a^3}{12n^2}\left((n+1)(2n+1)+(n-1)(2n-1)\right)=\dfrac{a^3}{12n^2}\left(2n^2+3n+1 +2n^2-3n+1\right) \)

\( I=\dfrac{a^3}{12n^2}\left(4n^2+2\right) \)

cuando n tiende a infinito

\( \lim\limits_{n\to\infty} I=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^3}{12n^2}\left(4n^2+2\right)=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^3}{12n^2}\left(4n^2\right) +\overbrace{\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^3}{12n^2}\left(2\right)}^{0} \)

\( \lim\limits_{n\to\infty} I=\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{a^34\ \cancel{n^2}}{12\cancel{n^2}}=\dfrac{4a^3}{12}=\boxed{\dfrac{a^3}{3}} \color{green}\checkmark \) cqd

también lo puedes pensar como

\( \lim\limits_{n\to\infty} I=\lim\limits_{n\to\infty} U(f,P_n)=\lim\limits_{n\to\infty} L(f,P_n)=\boxed{\dfrac{a^3}{3}} \color{green}\checkmark \)Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pregunta: ¿cómo surge la expresión coloreada en rojo, y cómo iguala a lo que pongo en azul?. Mi esfuerzo ha consistido en entenderlo para el cálculo del área de \( y=x^2 \) que pongo en un spoiler.

Lo que has marcado en rojo te lo ha explicado Pie.

Lo que está en azul es simplemente hacer un cambio de nombres para los índices tomando \( i=j+1 \) ó \( j=i-1 \).

Saludos.

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias Rincón!