$$i)$$Encuentre el mayor valor de $$a$$ para los cuales se cumple que $$3^m\geq{m^3+a}$$, donde $$m$$ es un número natural tal que $$m\geq{4}$$
$$ii)$$Encuentre todo los valores de $$a$$ para los cuales se cumple que $$n^{(n+1)}\geq{(n+1)^n+a}$$, donde $$n$$ es un número natural tal que $$n\geq{3}$$
Para el primer enunciado lo que hago es lo siguiente
Supongamos que $$a>17$$
por otro lado como el enunciado es verdad para todo $$m\geq{4}$$ entonces en particular debe de cumplir para $$m=4$$
de donde $$17=3^4-4^3\geq{a}>17$$, lo cual no puede ser, por lo tanto deducimos que $$a\leq{17}$$
si probamos que $$3^m-m^3\geq{17}$$ para todo $$m$$ natural tal que $$m\geq{4}$$ entonces se habrá probado que el mayor valor de $$a$$ que cumple el enunciado es $$17$$
Para probar que $$3^m-m^3\geq{17}$$ lo hago por inducción en $$m$$
lo que quisiera saber es, si hasta donde llevo voy bien.
por otro lado me gustaría ver puntos de vista de como calcular ese mayor valor de $$a$$
Para la segunda parte del enunciado no lo he intentado aun. Pero sospecho que se puede ir de la mima manera que en la primera.
Saludos y
FELIZ AÑO NUEVO PARA TODOS
