Muchas gracias Luis.
Es cierto que si la suma de "equis" sumandos es una potencia de base y exponente naturales, su raíz de índice el exponente en cuestión es un entero, y por tanto no irracional, aunque las raíces de ese índice de todos o algunos de los sumandos sean números irracionales.
Es cierto que es erróneo afirmar que \( [(a^n+b^n)(a + b)-ab(a^{n -1}+b^{n -1})]^{n + 1} \) es irracional porque lo es \( (a^n+b^n)^{1/(n+1)} \). Te ruego aceptes mis disculpas por esta imperdonable metedura de pata.
Es cierto que para sostener esa afirmación hay que demostrar que si \( (a^n+b^n)^{1/(n+1)} \), con \( a, b \), y \( n>2 \)números naturales es irracional, entonces \( [(a^n+b^n)(a + b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})]^{1/(n+1)} \) también lo es.
Esto equivale a demostrar, con \( p \) y \( q \) naturales, que si \( p^{n+1}<a^n+b^n<(p+1)^{n+1} \) entonces \( q^{n+1}<a^{n+1}+b^{n+1}= (a^n+b^n)(a+b)-ab(a^{n-1}+b^{n-1})<(q+1)^{n+1} \).
O también que los números \( A=(a^n +b^n)(a+b) \) y \( B=-ab(a^{n-1}+b^{n-1}) \) no suman una potencia de exponen \( n+1 \) y base \( a^{n+1}+b^{n+1} \).
Estoy en ello tras comprobar, que, como no puede ser de otra manera, con números asequibles, se verifican esas relaciones. Esta es la típica tarea de encontrar una demostración general que dé cuenta de todos los casos particulares.
Saludos cordiales.
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