Hola, estimado Rincón, tengo una cita de la Fórmula de Taylor, y una duda en relación con Geogebra. Primero la cita, y luego la duda

Formula de Taylor

El siguiente teorema proporciona una fórmula para el error en una aproximación de Taylor \( f(x)\approx{P_{n} (x)} \) similar a la proporcionada para la aproximación lineal (...).

Teorema de Taylor

Si la derivada de orden \( (n+1) \), \( f^{(n+1)} (t) \), existe para todo \( t \) en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), y si \( P_{n} (x) \) es el polinomio de Taylor de orden \( n \) para \( f \) alrededor de \( a \), es decir,

\( P_{n} (x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \).

entonces el error \( E_{n}(x)=f(x)-P_{n}(x) \) en la aproximación \( f(x)\approx{P_{n}(x)} \) se expresa como

\( E_{n}(x)=\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \)

siendo \( s \) un número entre \( a \) y \( x \). La fórmula resultante

\( f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+\dfrac{f^{(n+1)}(s)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \), para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \),

se denomina fórmula de Taylor con resto de Lagrange; el término del resto de Lagrange es la fórmula explícita dada anteriormente para \( E_{n}(x) \).

(Nótese que el término de error (resto de Lagrange) en la fórmula de Taylor se parece al siguiente término del polinomio de Taylor si continuáramos dicho polinomio para incluir un término más (de grado \( n+1 \)), excepto porque la derivada \( f^{(n+1)} \) no se evalúa en \( a \) sino en algún punto \( s \) (generalmente desconocido) entre \( a \) y \( x \). Esto facilita recordar la fórmula de Taylor)

Demostración Obsérvese que el caso \( n=0 \) de la fórmula de Taylor, concretamente

\( f(x)=P_{0}(x)+E_{0}(x)=f(a)+\dfrac{f'(s)}{1!}(x-a) \)

es justamente el Teorema del Valor Medio

\( \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(s) \) para algún \( s \) entre \( a \) y \( x \).

Nótese también que el caso \( n=1 \) es justamente la fórmula del error para la linealización dada en el teorema anterior.

Completaremos la demostración para valores de \( n \) mayor usando inducción matemática.(...). Supongamos entonces, que ya hemos demostrado el caso \( n=k-1 \), donde \( k\geq{2} \) es un entero. Esto es, estamos suponiendo que ya hemos demostrado que si \( f \) es una función cualquiera cuya \( k \)-ésima derivada existe en un intervalo que contiene a \( a \) y a \( x \), entonces

\( E_{k-1}(x)=\dfrac{f^{(k)}(s)}{k!}(x-a)^k \)

siendo \( s \) algún número entre \( a \) y \( x \). Consideremos el caso siguente \( n=k \). Como en la demostración del Teorema 9 (previo), suponemos que \( x>a \) (el caso \( x<a \) es similar) y aplicamos el Teorema del Valor Medio Generalizado a las funciones \( E_{k}(t) \) y \( (t-a)^{k+1} \) en \( [a,x] \). Como \( E_{k}(a)=0 \), obtenemos un número \( u \) en el intervalo \( (a,x) \) tal que

\( \dfrac{E_{k}(x)}{(x-a)^{k+1}}=\dfrac{E_{k}(x)-E_{k}(a)}{(x-a)^{k+1}-(a-a)^{k+1}}=\dfrac{E'_{k}(u)}{(k+1)(u-a)^{k}} \)

Ahora

\( E'_{k}(u)=\dfrac{d}{dt}\left(f(t)-f(a)-f'(a)(t-a)-\dfrac{f''(a)}{2!}(t-a)^2-\ldots-\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(t-a)^{k}\right)\Bigg |_{t=u} \)

\( =f'(u)-f'(a)-f''(a)(u-a)-\ldots-\dfrac{f^{(k)}(a)}{(k-1)!}(u-a)^{k-1} \)

Esta última expresión es justamente \( E_{k-1}(u) \) para la función \( f' \) en lugar de \( f \). Por el supuesto de inducción es igual a

\( \dfrac{(f')^{(k)}(s)}{k!}(u-a)^{k}=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{k!}(u-a)^{k} \)

para algún \( s \) entre \( a \) y \( u \). Por tanto,

\( E_{k}(x)=\dfrac{f^{(k+1)}(s)}{(k+1)!}(x-a)^{k+1} \)

Hemos demostrado que el caso \( n=k \) del Teorema de Taylor es verdadero en el caso \( n=k-1 \), lo que completa la demostración por inducción

Observación: para cualquier valor de \( x \) para el que \( \lim_{x\rightarrow{\infty}}{E_{n}(x)}=0 \) podemos asegurar que la aproximación de Taylor \( f(x)\approx{P_n} \) estará tan cerca
como deseemos escogiendo \( n \) suficientemente grande.

Voy a adjuntar una imagen de un polinomio de Maclaurin.

Duda: ¿Cómo paso de Maclaurin a Taylor gráficamente?



PS: Esta duda tengo la sensación de que es un poco rarita. Me siento inseguro.

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Si una cantidad, digamos \( y \), es una función de otra cantidad \( x \), es decir

\( y=f(x) \)

A veces queremos saber cómo un cambio en el valor de \( x \) por una cantidad \( \Delta{x} \) afectará el valor de \( y \). El cambio exacto \( \Delta{y} \) en \( y \) viene dado por

\( \Delta{y}=f(x+\Delta{x})-f(x) \)

Pero si el cambio \( \Delta{x} \) es pequeño, entonces podemos obtener una buena aproximación a \( \Delta{y} \) usando el hecho de que \( \Delta{y}/\Delta{x} \) es aproximadamente \( dy/dx \). Entonces,

\( \Delta{y}=\dfrac{\Delta{y}}{\Delta{x}}\Delta{x}\approx{\dfrac{dy}{dx}\Delta{x}=f'(x)\Delta{x}} \)

Es habitualmente conveniente representar esta aproximación en términos de diferenciales; si denotamos el cambio en \( x \) por \( dx \) en lugar de \( \Delta{x} \), entonces el cambio \( \Delta{y} \) en \( y \) es aproximado por el diferencial \( dy \), es decir (véase la Figura 2.25)

\( \Delta{y}\approx{dy=f'(x)dx} \)

Ejemplo 1 Sin usar la calculadora científica, determine aproximadamente por cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \). ¿Con tres decimales, cuál es el valor de \( \sin{((\pi/3)+0.006)} \)?

Solución Si \( y=\sin{x} \), \( x=\pi/3\approx{1.0472} \), y \( dx=0.006 \), entonces

\( dy=\cos{(x)}dx=\cos\left({\dfrac{\pi}{3}}\right)dx=\dfrac{1}{2}(0.006)=0.003 \)

Por lo tanto, el cambio en el valor de \( \sin{x} \) es aproximadamente \( 0.003 \), y

\( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+0.003=0.869 \)

redondeado a tres decimales

Es esta aproximación \( \sin\left({\dfrac{\pi}{3}+0.006}\right)\approx{\sin{\dfrac{\pi}{3}}+0.003} \). Supongo que es extapolable a cualquier función. Estoy en cálculo, así que Wikipedia habla de cambio en la linealización de una función. La pregunta es: ¿a qué hace referencia, (¡o ya lo ha hecho el texto!) cuando en el ejemplo pide determinar por aproximadamente cuánto el valor de \( \sin{x} \) aumenta de \( \pi/3 \) a \( (\pi/3)+0.006 \)? Es que no lo veo ni en la figura adjunta.
¿Cuál sería la expresión para una función cualquiera?.

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Como no me aclaraba con este método en la introducción que hace el libro de texto, me metí en internet y encontré el tutorial "Análisis Numérico -Método iterativo de punto fijo - Jesús Soto..." en YouTube. Jesús Soto es profesor de la UCAM (Universidad Católica de Murcia). Transcribo lo que he apuntado tras visualizarlo:

Análisis numérico

Método iterativo de punto fijo

Sea \( f\in{C([a,b])} \). Si se reemplaza la ecuación \( f(x)=0 \) por otra equivalente, de la forma \( x=g(x) \), entonces \( \alpha \) es una raíz de ambas si y sólo si \( \alpha \) es un punto fijo de \( g \); es decir, que satisface \( \alpha=g(\alpha) \)

Teorema de punto fijo

Si \( g:[a,b]\rightarrow{[a,b]} \) es continua y derivable en \( [a,b] \) con \( |g'(x)|\leq K<1\quad\forall{x\in[a,b]} \) y dado un \( x_0\in{[a,b]} \), siendo \( x_0 \) el punto inicial, si establecemos la sucesión \( x_n=g(x_{n-1}) \), ésta es convergente:


entonces \( \alpha \) es raíz de la ecuación \( x=g(x) \).

Procedimiento

Dada \( f(x)=0 \) (una función que se plantea como una ecuación), debemos buscar que se transforme en \( x=g(x) \)


Tal que \( g \) verifique el Teorema del punto fijo, entonces la iteración nos llevará a la solución

1- \( g\in{C([a,b])} \), es decir, es continua en el intervalo donde se encuentra el \( 0 \) que

2- \( g \) está incluido dentro del intervalo


3- Condición lepsiciana (que la derivada esté acotada en el intervalo siguiente)


Se mira la gráfica, establecer \( [a,b] \) (donde está el \( 0 \))

Ejemplo Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0 \)

Consideramos la función


Graficamos la función, por ejemplo con Wolfram Alpha. Vemos que (i) es continua y derivable, y (ii) \( 0\in{[0,1]} \)


Veamos las condiciones del punto fijo

(a) \( g\in{C([0,1])} \);

(b) Que el dominio de la función esté incluido en su imagen, \( g([0,1]) \): \( -g'(x)=-e^{-x}\in{C([0,1])} \) mantiene el signo; por lo tanto es estrictamente decreciente. Según el Teorema de Bolzano-Weierstrass, \( g(x) \) tiene sus máximos en los extremos: \( g(0),g(1)\in{[0,1]} \);

(c) Comprobar la propiedad lepsiciana


La segunda derivada de \( g(x) \), \( -g''(x)=e^{-x}\in{C([0,1])} \) es estrictamente creciente, y \( |g(0)|=1\in{[0,1]} \); y nos interesa que esté en \( (0,1) \). Basta con considerar el intervalo \( (0.09,1) \), dado que \( g(0)=1 \)


Resolver la ecuación \( x-e^{-x}=0\Rightarrow{g(x)=e^{-x}} \)

\( x_0=1 \)
\( x_1=g(x_0)=0.36787944117140 \)
\( x_2=g(x_1)=0.69220062755534 \)
\( x_3=g(x_2)=0.50047350056353 \)
\( x_4=g(x_3)=0.60624335085597 \)
...
\( x_{20}=g(x_{19})=0.567157044 \), con error \( <10^{-4} \)

¿Por qué veinte iteraciones? Porque \( K \) es muy alto.

Dudas

El Teorema de Bolzano Weierstrass, ¿es el del tutorial "Bolzano-Weierstrass (Convergencia monótona y Bolzano Weierstrass 3/3)"?
La misma pregunta que en rojo
¿Por qué nos interesa que esté en \( (0,1) \)?
¿Por qué el signo negativo en \( -|g'(x)| \)?
PS: Creo que podéis guiaros sólo por los títulos de los tutoriales; no haría falta que los vierais. Si el tutorial de Bolzano-Weierstrass es el correcto, no sé cómo encaja en el tutorial de la UCAM, es decir, ¿por qué implica que los valores máximo y mínimo de \( [0,1] \) están en los extremos del intervalo?.

¡Un saludo y gracias!

Hola, qué tal

Una duda: ¿a qué llama \( f'' \) el texto en esta cita: a la segunda derivada, o a la primera evaluada en la segunda iteración?

En este caso las iteraciones del Método de Newton no convergen a la raíz:

Observación
(...)
El Método de Newton no siempre funciona tan bien (...). Si la primera derivada \( f' \) es muy pequeña cerca de la raíz, o si la segunda derivada \( f'' \) es muy grande cerca de la raíz, una sola iteración de la fórmula nos puede llevar desde un punto muy cercano a la raíz a un punto muy lejano. La figura 4.53 (que adjunto arriba) ilustra esta posibilidad (...)

Un saludo

Hola, estimado Rincón, quería compartir mi intento de probar la continuidad de \( y=x^{2/3} \) en el vértice \( x=0 \).

Los límites laterales cuando \( x\rightarrow{0^{-}} \) y \( x\rightarrow{0^{+}} \) deben coincidir.

\( 0<|x^{2/3}|<\epsilon \)

\( 0<|x|<\delta \)

\( \forall{\epsilon>0} \), \( \exists{\delta>0} \) tal que si \( 0-\delta<x<0\Rightarrow{|f(x)-0|<\epsilon} \): \( \quad -\delta^{2/3}<x<0\Rightarrow{|x^{2/3}-0|<\epsilon} \)

\( \forall{\epsilon>0} \), \( \exists{\delta>0} \) tal que si \( 0<x<0+\delta\Rightarrow{|f(x)-0|<\epsilon} \): \( \quad 0<x<\delta^{2/3}\Rightarrow{|x^{2/3}-0|<\epsilon} \)

Pregunta: ¿es un argumento circular o no?

 \( 0<|x^{2/3}|<\epsilon,\;\forall{x\in{\Bbb R}}\Rightarrow{0<|x|<\delta} \)

Creo que con estas premisas, se está empezando la casa por el tejado. ¿ O no?

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Tengo una cita que desearía compartir con el foro. Cito

En muchas funciones, la segunda derivada es más complicada de calcular que la primera derivada, por lo que el test de la primera derivada es más fácil de utilizar para clasificar puntos críticos que el test de la segunda derivada. Nótese también que el test de la primera derivada sólo puede clasificar valores extremos que aparezcan en puntos críticos, puntos singulares y extremos.

La pregunta es: ¿los puntos de inflexión son valores extremos?

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Tengo un límite por sustitución que no consigo entender:

\( \displaystyle\lim_{x \to{\pm}\infty}{x^2e^{-x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{}\infty}{ue^{-u}}=0 \)

Sólo me lío con el cambio de variable.

¡Un saludo!

Hola, Rincón

Propongo eliminar la opción sexo y edad al configurar el perfil. Ya sé que existe la opción de no rellenar esos espacios, pero el sexo o la omisión de declararlo aparecen a la izquierda de cada mensaje. Objetivo: que las mujeres se animen. Se me acaba de ocurrir. ¿Qué opináis?

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón, ¿qué tal?

Retrocedo en el libro respecto al último hilo que publiqué en este subforo. Cito primero y luego las dos dudas:

DEFINICIÓN 2 Valores extremos locales
Una función \( f \) tiene un valor máximo local \( f(x_0) \) en el punto \( x_0 \) de su dominio si existe un número \( h>0 \) tal que \( f(x)\leq{f(x_0)} \), siempre que \( x \) esté en el dominio de \( f \) y \( |x-x_0|<h \).
Una función \( f \) tiene un valor míniimo local \( f(x_1) \) en el punto \( x_1 \) de su dominio si existe un número \( h>0 \) tal que \( f(x)\geq{f(x_1)} \), siempre que \( x \) esté en el dominio de \( f \) y \( |x-x_1|<h \).
Por tanto, \( f \) tiene un valor máximo (o mínimo) en \( x \) si tiene un valor máximo (o mínimo) absoluto en \( x \) cuando su dominio se restringe a puntos suficientemente cercanos a \( x \). Geométricamente, la gráfica de \( f \) es al menos tan alta (o tan baja) en \( x \) como en sus puntos vecinos.
Puntos críticos, puntos singulares y extremos
La Figura 4.10 sugiere que una función \( f(x) \) puede tener valores extremos locales sólo en puntos \( x \) de tres tipos especiales:
(i)Puntos críticos de \( f \) (puntos de \( x \) en \( \mathfrak{D}(f) \) donde \( f'(x)=0 \))
(ii)Puntos singulares(puntos de \( x \) en \( \mathfrak{D}(f) \) donde \( f'(x) \) no está definida)
(iii)Extremos del dominio de \( f \) (puntos en \( \mathfrak{D}(f) \) que no pertenecen a ningún intervalo abierto contenido en \( \mathfrak{D}(f) \))

En la figura 4.10, \( x_1 \), \( x_3 \), \( x_4 \) y \( x_6 \) son puntos críticos, \( x_2 \) y \( x_5 \) son puntos singulares, y \( a \) y \( b \) son extremos

Dudas:

La primera es un poco no sé: cuando define los Extremos¿por qué lo hace en términos de intervalos abiertos?. Sí, intuyo que no están contenidos en ningún intervalo abierto del dominio de \( f \), pero me hago la pregunta. Creo que se me escapa algo.

La segunda pregunta...\( a \) y \( b \) dice que son extremos locales, pero para mí que no satisfacen la DEFINICIÓN 2. Por ejemplo, \( a \): \( f(x)\leq{f(a)} \) a la derecha de \( a \): pero no existe un número \( h>0 \) tal que \( |x-a|<h \). ¿Con la topología voy a topar?.

¡Un saludo!

Hola, estimado Rincón

Tengo un texto y una duda. Cito primero:

TEOREMA 4 Existencia de valores extremos en intervalos abiertos
Si \( f \) es una función continua en el intervalo abierto \( (a,b) \), y si

\( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L\quad{\mbox{y}}\quad{\displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{f(x)}=M} \)

entonces se cumplen las siguientes conclusiones:
(i) Si \( f(u)>L \) y \( f(u)>M \) para algún \( u \) en \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor máximo absoluto en \( (a,b) \).
(ii) Si \( f(v)<L \) y \( f(v)<M \) para algún \( v \) en \( (a,b) \), entonces \( f \) tiene un valor mínimo absoluto en \( (a,b) \)

En este teorema \( a \) puede ser \( -\infty \), en cuyo caso \( \color{red}\displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{} \) debe sustituirse por \( \color{red}\displaystyle\lim_{x \to{}-\infty^{}}{} \), y \( b \) puede ser \( \infty \), en cuyo caso \( \displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{} \) debe sustituirse por \( \displaystyle\lim_{x \to{}\infty^{+}}{} \). Además, tanto \( L \) como \( M \) o ambos pueden ser \( \infty \) o \( -\infty \).
DEMOSTRACIÓN Demostraremos el apartado (i), ya que la demostración del apartado (ii) es similar. Tenemos que existe un número \( u \) en \( (a,u) \) tal que \( f(u)>L \) y \( f(u)>M \). Aquí, \( L \) y \( M \) son números finitos o \( -\infty \). Como \( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L \) debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que

\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( a<x<x_1 \)

De forma similar, debe existir un número \( x_2 \) en \( (u,b) \) tal que

\( f(x)<f(u) \)   siempre que   \( x_2<x<b \)

Véase la Figura 4.16. Por tanto, \( f(x)<f(u) \) en todos los puntos de \( (a,b) \) que no estén en el subintervalo  cerrado finito \( [x_1,x_2] \). Por el Teorema 1, la función \( f \) continua en \( [x_1,x_2] \), debe tener un valor máximo absoluto en ese intervalo, que podemos denominar \( w \). Como \( u \) pertenece al intervalo \( [x_1,x_2] \), debemos tener que \( f(w)\geq{f(u)} \), por lo que \( f(w) \) es el valor máximo de \( f(x) \) en todo \( (a,b) \).

Duda: me voy a centrar en la afirmación Como \( \displaystyle\lim_{x \to{a^{+}}}{f(x)}=L \) debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que

 Y mi duda es: por qué si cuando \( x\rightarrow{a^{+}} \), \( f(x)\rightarrow{L} \), debe existir un número \( x_1 \) en \( (a,u) \) tal que

Mi intento: Está hablando del comportamiento de la función entre \( a \) y \( u \): si \( f(x)\rightarrow{L} \), y \( f(x) \) es continua, como ciertamente es, debe haber un punto entre \( a \) y \( u \), al que llama \( x_1 \), que incluso puede ser la misma preimagen, como se ve en la Figura 4.16, adjunta, y un punto \( x_2 \), que no se ha contemplado por simplificar, al \( \displaystyle\lim_{x \to{b^{-}}}{f(x)}=M \), que conforman un intervalo cerrado al que se le puede aplicar el Teorema 1 (Si el dominio de una función \( f \) es un intervalo cerrado y finito, o se puede expresar como una unión finita de intervalos de ese tipo, y si \( f \) es continua en dicho dominio, entonces \( f \) debe tener un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto.)

Un saludo

Perdón, editado por incompleto. Espero que esté bien, es un pequeño galimatías de LaTeX y conceptual para mí.
Editado de nuevo por erratas