Haciendo las cuentas quinientas veces, he llegado a que hay un error en el sistema característico, pasando a ser el correcto:
\[\frac{dx}{2px-u}=\frac{dy}{2qx}=\frac{du}{up}=\frac{dp}{-q^2}=\frac{dq}{pq}.\]

De aquí, que ahora la segunda integral primera sea \(H\equiv p^2+q^2=\lambda\). Por tanto, tenemos el siguiente sistema:
\[\left\{\begin{array}{l}\lambda x - up=0\\ p^2+q^2=\lambda\end{array}\right. \equiv \left\{\begin{array}{l}\lambda x - u u_x = 0\\ u_x^2+u_y^2=\lambda\end{array}\right. \]

Y ahora, señores y señoras, con ustedes la gran idea feliz:

Como \(uu_x=\lambda x\) (según la primera ecuación), entonces, integrando con respecto de \(x\) llegamos a que \(u^2-\lambda x^2 = \varphi(y)\), siendo \(\varphi(y)\) una función arbitraria.

Al derivar con respecto a \(y\):  \(uu_y=\frac 12 \varphi'(y)\).

De la segunda ecuación del sistema, \(u_x^2+u_y^2=\lambda\), al multiplicar todo por \(u^2\) y poner lo que hemos ido obteniendo (para \(uu_x, uu_y, u^2\)) obtenemos una ecuación diferencial ordinaria, \(\varphi'(y)=2\lambda \sqrt{\varphi(y)}\), cuya solución es \(\varphi(y)=(\lambda y + \mu)^2\), siendo \(\mu\in \mathbb R\) la constante de integración.

Entonces, como \(u^2=\lambda x^2 + \varphi = \lambda x^2 +(\lambda y+\mu)^2\) representa a la integral completa.

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Demos un paso al frente y calculemos entonces cuáles de las integrales completas pasan por las curvas
\(\gamma_1:=x^2+y^2=1, u=1\)
\(\gamma_2:=x=0,u^2=4y\)

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Y ya esto me cuesta un poco.

Para la primera, tenemos que si tomamos \(x=\cos(t), y=\sin(t)\), entonces la familia se convierte en
\[1=\lambda \cos^2(t)+(\lambda \sin(t)+\mu)^2\]

Si damos valores, encontramos que:
* Si \(t=0\), entonces \(1=\lambda + \mu^2\)
** Si \(t=\pi/2\), entonces \(1=( \lambda + \mu)^2\).

Al resolver esto obtenemos 4 pares de valores posibles:
\((\lambda,\mu)=(0,1), (1,0), (2,-3), (-1,0)\).

¿Es correcto este procedimiento?

Muchas gracias, Enrique, lo intento. Un saludo.-
 

Gracias por responder, sr. Revilla!

Sobre el mismo ejercicio he visto una línea de cálculo diferente. Entiendo todo salvo el principio.

La persona en cuestión afirma que si $$f(z)=\int_\gamma \frac{p(w)}{w-z}dw,$$ donde \(p(w)=3w^2+7w+1\), entonces tan alegremente escribe que $$f'(z)=\int_\gamma \frac{p(w)}{(w-z)^2}dw$$.
A partir de ahí, lo que hace es una descomposición de fracciones con potencias de \(w-z\) para que sean de fácil cálculo, utiliza el teorema de la Primitiva para indicar que dos de ellas se hacen cero y, en la tercera, vuelve a aplicar la fórmula integral de Cauchy para derivadas de orden superior (en el caso del primer orden). Quiero decir con esto, que entiendo el resto del planteamiento.

Por otra parte, intentando entender cómo deduce la expresión de \(f'(z)\), que, según las fórmulas, si a una función cualquiera
$$g(z)=\frac 1{Ind_\gamma(z)\cdot 2\pi i} \int_\gamma \frac{g(w)}{w-z}dw$$
$$g'(z)=\frac 1{Ind_\gamma(z)\cdot 2\pi i} \int_ \gamma \frac{g(w)}{(w-z)^2}dw$$
Tomando \(\gamma\) una circunferencia y \(z\) un punto interior, el índice siempre es 1 y se pierde. Pero ¿por qué en esta línea se desprecia el \(2\pi i\)?

Si queréis ver la demostración, está en este enlace: https://www.math.ust.hk/~maykwok/courses/ma304/06_07/Complex_4.pdf.
Gracias por la paciencia

Llamando $$f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x-4}$$, entonces tienes que demostrar que $$|f(x)|< 51 \Leftrightarrow -51<f(x)<51$$ cuando \(x\in [-6, -5)\cup (5, 6]=I_1 \cup I_2\).

Notamos también que
$$f(x)=\frac{x^2+2x-3}{x-4}=\frac{(x-1)(x+3)}{x-4}$$
a lo cual llegarías si hallas las raíces del numerador. Por tanto, aplicando valores absolutos,
$$|f(x)|=\frac{|x-1||x+3|}{|x-4|}$$

Notamos que los factores \(x-1, x+3, x-4\) son factores crecientes (visto desde el punto de vista de funciones continuas). De hecho, la imagen continua de un conexo es conexa, y dado que no hay cambio de signo en los factores, la función es monótona en cada subintervalo.
Si \(x\in I_2=(5, 6]\), todos los factores serán positivos, con lo que el ínfimo y el supremo de los valores se encuentran en los extremos del intervalo:
$$|f(5)|=\left|\frac{4\cdot 8}{1}\right|=32<51$$  $$|f(6)|=\left|\frac{5\cdot 9}{2}\right|=\frac{45}2<51$$
Repetimos el estudio en $$I_1=[-6, -5)$$. Tenemos en cuenta que \(f(x)\) es monótona decreciente. De nuevo, calculamos los valores de la función en los extremos y serán el ínfimo y el supremo.
$$|f(-6)|=\left|\frac{(-7)\cdot (-3)}{-10}\right|=\frac{21}{10}<51$$,  $$|f(-5)|=\left|\frac{(-6)(-2)}{(-9)}\right|=\frac 43<51$$

Con lo que el resultado es cierto para todos los \(x\) indicados.

De verdad que a veces me obceco...

si es unidad (y 2 lo es en \(\mathbb Q\)), no es irreducible, por definición de elemento irreducible.

Caso cerrado y, de nuevo, mil gracias, Sr. Revilla!

 

Entiendo entonces que \(\mathbb Q\) es dominio de integridad y por tanto, la imagen de cualquier \(x\ne 0\) será irreducible por ser una unidad, ya que \(\mathbb Q^*=\mathbb Q \setminus \{0\}\).

Tomando \(i:\mathbb Z \to \mathbb Q\) el monomorfismo de la inclusión tal que \(i(x)=x, \forall x\in \mathbb Z\), entonces la imagen de cualquier elemento no nulo es irreducible en \(\mathbb Q\).

¿¿¿pero con esto estoy demostrando el resultado general??? Me da que no...

Buenas a todos!

Tengo una pequeña duda, a ver si estoy en lo cierto.
Se trata de calcular los elementos primos del anillo \( A=\mathbb Z_3\times \mathbb Z_3 \).

Mi argumento es el siguiente.
Utilizo que \( I\subseteq A \) es ideal primo si, y solo si, \( A/I \) es dominio de integridad (no tiene divisores de cero).

Ahora bien, los divisores de cero en \( A \) son \( \{(0,1), (0,2), (1,0), (2,0)\} \). Nótese que el neutro de la suma es \( (0,0) \), y el neutro del producto es \( (1,1) \).

Creamos un ideal generado:

\( I_1 = ((0,1)) = \{a(0,1) : a\in A\}=\{(0,1),(0,2), (0,0)\} \)

Construimos el cociente dado por \( A/{I_1} = \{a+I_1 : a\in A\} = \{I_1, (1,1)+I_1, (2,0)+I_1\} \)

Dado que \( ((2,0)+I_1)^2=(1,1)+I_1\Rightarrow A/{I_1} \) no tiene divisores de cero, y por tanto es dominio de integridad. Luego \( I_1 \) es ideal primo, y por tanto, \( (0,1) \) es primo.

Si repetimos el argumento con \( I_2 = ((0,2)) \), encontramos que \( I_2=I_1 \), ya que \( (0,2)\in I_1 \), y por tanto, es ideal primo. Luego \( (0,2) \) es primo.

Y ahora viene mi duda: según la definición de elemento primo, que afirma que \( 0\ne a\in A\setminus A^* \) es primo, si de darse que \( a|_{bc} \Rightarrow a|_b \vee a|_c \).
Entonces me doy cuenta de que \( (0,2)^2=(0,1) \). ¿Puede ser entonces \( (0,2) \) primo?

Vale... ahora sí puedo empezar a pensar... 

Gracias, el_manco!

Hola Luis,

Ante todo, un millón de gracias por tu respuesta.

En el día de hoy tuve clase con el profesor y éste dio una pista. Ya la práctica la tengo resuelta y la copio aquí (en este caso, este código forma parte de un switch (menú) que hace diferentes cosas a la cadena principal, almacenada en  char texto[dim], siendo const int dim=100:

           i=0;
while (texto[i]!=' ') //este bucle While localiza el primer espacio y guarda la posición en i
i++;
k=strlen(texto); //k guarda la longitud de la cadena
for(j=0; j<=k-i; j++)  //este bucle machaca los i primeros espacios de la cadena, copiando los caracteres posteriores
texto[j]=texto[j+i+1];
for (j=k-i; j<=k; j++) //sigue escribiendo i espacios en blanco
texto[j]=' ';
printf("La nueva cadena es: %s \n", texto);  //muestra la nueva cadena
system("pause");
Ahora aclaro que lo que hacemos para borrar es "machacar" lo que había escrito. Se hizo el cambio de tener que localizar la primera palabra de la cadena y borrarla, lo que se hace con el bucle while (localiza la posición el primer espacio en blanco de la cadena) y así podemos machacar recorriendo con el primer for lo que no se debe borrar (es decir, del espacio en adelante). Para que los "i" últimos caracteres no se repitan (ya que estamos contando "k-i" caracteres que no hay que borrar), entonces hay que sustituirlos por espacios en blanco, de nuevo machacamos con el carácter ' ' en el segundo bucle for. Para terminar, se muestra la cadena y se aplica una pausa para que el usuario la vea.

Mis explicaciones no son demasiado buenas, pero si lees con detenimiento el código y los comentarios (tras //) seguro que se entiende.

Un saludo,
Alberto.-

Francamente no se como buscar los órdenes de esos elementos... si me pudiera ayudar