Sea \( u=1-x^2 \). Tenemos que \( \displaystyle\frac{du}{-2x}=dx \). Sustituímos ésto en la integral del párrafo anterior, y encontramos que es equivalente a

\( -\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\int{u^{-1/2}\,du} \)

Empleando la regla de la potencia y sustituyendo en \( u=1-x^2 \), obtenemos el resultado.

Un Teorema del Valor Medio para integrales

Sea \( f \) una función continua en el intervalo \( [a,b] \). Entonces \( f \) alcanza u valor mínimo \( m \) y un valor máximo \( M \) en dicho intervalo, por ejemplo en los puntos \( x=l \) y \( x=u \), respectivamente:

\( m=f(l)\leq f(x) \leq f(u)=M \) para todo \( x \) en \( [a,b] \)

Para el caso de la partición \( P \) de 2 puntos del intervalo \( [a,b] \) con \( x_0=a \) y \( x_1=b \), tenemos que

\( m(b-a)=L(f,P)\leq\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx\leq U(f,P)=M(b-a) \)

Por tanto,

\( f(l)=m\leq\displaystyle\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx\leq M=f(u) \)

Por el Teorema del Valor Medio, \( f(x) \) debe tomar todos los valores entre \( f(l) \) y \( f(u) \) en algún punto entre \( l \) y \( u \) tal que

\( f(c)=\displaystyle\frac{1}{b-a}\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx \)

Es decir, \( \int_a^b f(x)dx \) es igual al área \( (b-a)f(c) \) de un rectángulo cuya anchura de la base es \( b-a \) y su altura es \( f(c) \) para algún valor \( c \) entre \( a \) y \( b \). Éste es el Teorema del Valor Medio para integrales.

TEOREMA 4 El Teorema del Valor Medio para integrales

Si \( f \) es una función continua en el intervalo \( [a,b] \), entonces existe un punto \( c \) en \( [a,b] \) tal que

\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx=(b-a)f(c) \)

Obsérvese en la Figura 5.19 que el área por debajo de la curva \( y=f(x) \) y por encima de la recta \( y=f(c) \) es igual al área por encima de \( y=f(x) \) y por debajo de \( y=f(c) \). En este sentido, \( f(c) \) es el valor medio de la función \( f(x) \) en el intervalo \( [a,b] \).



Figura 5.19 La mitad del área entre \( y=f(x) \) y la línea horizontal \( y=f(c) \) está por debajo de dicha línea, y la otra mitad está por encima de dicha línea.

Teorema del Valor Intermedio

Sea \( f(x) \) una función continua en el intervalo cerrado y finito \( [a,b] \) y sea \( s \) un número comprendido entre \( f(a) \) y \( f(b) \). Existe un número \( c \) perteneciente al intervalo \( [a,b] \) tal que \( f(c)=s \).

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Teorema del Valor Medio

Sea \( F \) una función continua en el intervalo cerrado finito \( [a,b] \) y diferenciable en el intervalo abierto \( (a,b) \). Existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a,b) \) tal que

\( \displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \)

Esto indica que la pendiente de la cuerda que une los puntos \( (a,f(a)) \) y \( (b,f(b)) \) es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva \( y=f(x) \) en el punto \( (c,f(c)) \), por lo que las dos rectas son paralelas.

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Ejemplo 2 Calcule las sumas de Riemann inferior y superior de la función \( f(x)=x^2 \) en el intervalo \( [0,a] \) (siendo \( a>0 \)), correspondientes a la partición \( P_n \) de \( [0,a] \) en \( n \) subintervalos de la misma longitud.

Solución Cada subintervalo de \( P_n \) tiene una longitud de \( \Delta x=a/n \), y los puntos de división son \( x_i=ia/n \) para \( i=0, 1, 2,...,n \). Como \( x^2 \) es creciente en \( [0,a] \), sus valores mínimo y máximo en el subintervalo \( i \)-ésimo \( [x_{i-1},x_i] \) se producen en \( l_i=x_{i-1} \) y \( u_i=x_i \), respectivamente. Por tanto, la suma de Riemann inferior de \( f \) para la partición \( P_n \) es

\( L(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i-1})^2}\Delta x=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\color{red}\sum_{i=1}^n{(i-1)^2} \)

\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\color{blue}\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}{j^2}\color{black}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{(n-1)n(2(n-1)+1)}{6}=\displaystyle\frac{(n-1)(2n-1)a^3}{6n^2} \)

donde hemos utilizado el Teorema 1(c) de la sección 5.1 para calcular la suma de los cuadrados.

Teorema 1(c), Sección 5.1

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

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De forma similar, la suma de Riemann superior es

\( U(f,P_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_i)^2\Delta x} \)

\( =\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{a^3}{n^3}\displaystyle\frac{(n-1)n(2(n-1)+1}{6}=\displaystyle\frac{(n-1)(2n-1)a^3}{6n^2} \)

Área del monomio cuadrático

Calcule el área \( A \) de la región limitada por la parábola \( y=x^2 \) y las rectas \( y=0 \), \( x=0 \) y \( x=b \), siendo \( b>0 \)

Solución El área \( A \) de la región es el límite de la suma \( S_n \) de las áreas de los rectángulos que se muestran en la Figura 5.7(b). De nuevo se han utilizado subintervalos de la misma longitud, cada uno de ellos de longitud \( b/n \). La altura del \( i \)-ésimo rectángulo es \( (ib/n)^2 \). Por tanto,

\( S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{\left({\displaystyle\frac{ib}{n}}\right)^2\displaystyle\frac{b}{n}}=\displaystyle\frac{b^3}{n^3}\displaystyle\sum_{i=1}^n{i^2}=\displaystyle\frac{b^3}{n^3}\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

por la fórmula (c) del Teorema 1. Entonces, el área pedida es

\( A=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{S_n}=\displaystyle\lim_{n \to\infty}{b^3}\displaystyle\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\displaystyle\frac{b^3}{3} \) unidades al cuadrado

(Figura 5.7(b))

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Los nombres par e impar proceden del hecho de que las potencias pares como \( x^0=1 \), \( x^2 \), \( x^4 \), ..., \( x^{-2} \), \( x^{-4} \), ...son funciones pares, y las potencias impares como \( x^1=x \), \( x^3 \), ...\( x^{-1} \), \( x^{-3} \), ...son funciones impares.

El problema básico del área

En esta sección vamos a considerar la forma de calcular el área de una región \( R \) que está por debajo de la gráfica de \( y=f(x) \), una función \( f \) continua con valores no negativos, por encima del eje \( x \) y entre las rectas verticales \( x=a \) y \( x=b \), con \( a<b \) (véase la Figura 5.4). Para ello, procederemos como sigue. Se divide el intervalo \( [a,b] \) en \( n \) subintervalos utilizando los puntos de división:

\( a=x_0<x_1<x_2<x_3<\cdots<x_{n-1}<x_n=b \)

Figura 5.4 El problema básico del área: calcular el área de la región \( R \) (No la subo: es la típica curva en el primer cuadrante y su área \( S \) entre \( [a,b] \))

Denominamos \( \Delta x_i \) a la longitud del i-ésimo subintervalo \( [x_{i-1},x_i] \):

\( \Delta x_i=x_i-x_{i-1}          (i=1,2,3,...,n) \)

Construiremos un rectángulo vertical sobre cada subintervalo \( [x_{i-1},x_i] \) cuya base será de longitud \( \Delta x_i \) y cuya altura será \( f(x_i) \). El área de este rectángulo es \( f(x_i)\Delta x_i \). Formamos la suma de estas áreas:

\( S_n=f(x_1)\Delta x_1+f(x_2)\Delta x_2+f(x_3)\Delta x_3+\cdots+f(x_n)\Delta x_n=\displaystyle\sum_{i=1}^n{f(x_i)\Delta x_i} \)

En la Figura 5.5 se muestran estos rectángulos sombreados para una función decreciente \( f \) en vez de por debajo. Evidentemente, \( S_n \) es una aproximación al área de la región \( R \), y dicha aproximación mejora cuando \( n \) crece, suponiendo que los puntos \( a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b \) se escogen de forma que la anchura \( \Delta x_i \) del rectángulo más ancho tiende a cero.

Por ejemplo, obsérvese en la Figura 5.6 que subdividir un intervalo en dos pequeños subintervalos disminuye el error de aproximación, al reducirse la parte del área bajo la curva que no está contenida en los rectángulos. Por lo tanto, es razonable calcular el área de \( R \) calculando el límite de \( S_n \) cuando \( n\to\infty \), con la restricción de que la máxima anchura de los subintervalos \( \Delta x_i \) debe tender a cero:

\( \displaystyle \acute{A}\text{rea de } R= \underset{\max \Delta x_i \to 0}{\lim_{n \to \infty}} S_n \)

Figura 5.5 Aproximación del área bajo la gráfica de una función decreciente utilizando rectángulos.



Figura 5.6 Al utilizar más rectángulos disminuye el error

Algunas veces, pero no siempre, es útil escoger los puntos \( x_i(0\leq i\leq n) \) en \( [a,b] \) de forma que las longitudes de los subintervalos sean todos iguales. En ese caso tenemos

\( \Delta x_i=\Delta x=\displaystyle\frac{b-a}{n} \)       \( x_i=a+i\Delta x=a+\displaystyle\frac{i}{n}(b-a) \)

Pregunta:

Las dos frases subrayadas, que creo que se resumen en una duda: ¿a qué se refiere "con la restricción de que la máxima anchura de los subintervalos \( \Delta x_i \) debe tender a cero"? Está haciendo referencia implícita a la unión de todos los intervalos?

¡Un saludo!