Rincón Matemático

Disciplinas relacionadas y temas generales => Docencia => Mensaje iniciado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 07:07 pm

Título: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 07:07 pm
Abro este tema para que la gente dé sus ideas de cómo debe un estudiante abordar una materia de matemática en la Universidad.

Hay una realidad innegable, y es que hay muchísimos estudiantes que están absolutamente perdidos.
O sea que no saben qué es la matemática, ni por qué cada cosa es cómo es, ni qué debe hacerse con ella.

¿Qué les parece?

__________________

Ahí van algunas pautas para empezar.


Todo lo anterior me parece a mí bastante obvio, pero hay gente que no lo ve así... y así les va en la universidad.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: aladan en 29 Abril, 2012, 08:13 pm
argentinator

¿Cómo añadir o quitar nada a tan completa exposición?, muy difícil, solamente me atevo a matizar o hacer más explicita una condición a cumplir por el alumno, quizas implicita en tu exposición, tiene que estudiar para aprender y no para aprobar.

Saludos
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: mathtruco en 29 Abril, 2012, 08:25 pm
Genial exposición argentinator. Sería muy interesante poder compartirlo con los que inician sus carreras.

 :aplauso:   

Quizás hay un par de puntos que podrían añadirse (espero no salirme de la línea que propones).



¿Cuándo/cuánto estudiar para una materia
La mitología universitaria cuenta que con la semana antes basta, y que los demás días (ej: tardes "libres" en la que no se tienen clases) son para descansar.
No estoy de acuerdo. Aunque se tenga un horario semi-flexible, debe considerarse dentro del horario personal las horas para estudiar.



¿Cuánto estudiar?
Ante la duda, por cada hora de cátedra de un ramo de matemática debiera estudiarse 2 horas.
¿Tanto así? Bueno, es mejor en principio "tirar el tejo pasado", pero la meta debe ser: llegar a la siguiente clase con TODO lo que vio el profesor estudiado (y en la medida de lo posible, entendido), y con TODOS los ejercicios que da el profesor resueltos.
Ir dejando temas a medio entender, o ejercicios sin hacer es mentirse a uno mismo, ya que mientras avance el semestre tendrá cada vez menos tiempo y energía para estudiar.



¿Da lo mismo llegar 5 minutos tarde a una clase?
Definitivamente no. Dependiendo del profesor, éste comenzará dando una motivación de lo que se verá, por lo que los que escuchan esta explicación comprenderán más fácilmente las definiciones que se escriban. Peor: si el alumno llega después que se ha borrado el pizarrón, será muy difícil que entienda lo que sigue (ya que usualmente se comienza definiendo cosas, y luego desarrollando propiedades).


PD: he quitados los spoiler.

Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: feriva en 29 Abril, 2012, 08:39 pm
Ya imagino que este post va dirigido a matemáticos, profesores de matemáticas y alumnos y no para un moscón viejo que anda por aquí entreteniéndose desde hace unos años, pero añado dos cosas que también pueden servir en general para otros estudios; primero: estudiar sin pensar en el final de los estudios; segundo: no competir con nadie salvo con uno mismo, con las dificultades y los problemas.

Saludos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 09:32 pm
argentinator

¿Cómo añadir o quitar nada a tan completa exposición?, muy difícil, solamente me atevo a matizar o hacer más explicita una condición a cumplir por el alumno, quizas implicita en tu exposición, tiene que estudiar para aprender y no para aprobar.

Saludos

Y bueno, en tal caso está muy bien puntualizar esta idea clave de todo el asunto.

Todo lo demás que pueda haber dicho se deduce casi en su totalidad de este "axioma".
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 09:34 pm
Genial exposición argentinator. Sería muy interesante poder compartirlo con los que inician sus carreras.

 :aplauso:   

Quizás hay un par de puntos que podrían añadirse (espero no salirme de la línea que propones).


Lo que yo haría en tu post es no ocultar tus opiniones en Spoiler.

Ojalá que cada uno pueda aportar su punto de vista a este tema, y del cual hay que hablar y dejarlo dicho por ahí (o por acá).

La lista de cosas que escribí es "ampliable" y "corregible".

Le puedo agregar, quitar o reformar cosas, en la medida de que en el debate surjan opiniones mejores.

Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 09:43 pm
Ya imagino que este post va dirigido a matemáticos, profesores de matemáticas y alumnos y no para un moscón viejo que anda por aquí entreteniéndose desde hace unos años, pero añado dos cosas que también pueden servir en general para otros estudios; primero: estudiar sin pensar en el final de los estudios; segundo: no competir con nadie salvo con uno mismo, con las dificultades y los problemas.

Saludos.

Mi intención original fue dirigir el mensaje sobretodo a estudiantes.
Y los demás, profesores y matemáticos, que opinen sobre su experiencia.

Los profesores a lo sumo tienen que prestar atención a lo que ellos están haciendo mal como docentes, o bien hacer un humano esfuerzo por entender la mentalidad de los alumnos, sobretodo ingresantes.

Lo que dijiste de no competir con otros me parece uno de los tantos temas de la universidad que es bueno debatir, y que ya que estamos, éste sería un buen lugar para hacerlo.

Los estudiantes que recién ingresan a la universidad lo hacen con diversidad de sentimientos y creencias, muchas veces equivocados.

Por ejemplo, se toman la nota que puso el profesor como algo "absoluto", como si una centésima encima de un compañero marcara ya superioridad.
En consecuencia, alguno se sienten superiores si van sacando buenas notas, y otros se sienten inferiores, etc.

En realidad una carrera no se hace así, comparándose con los demás, o especulando con las notas.
Hay que ir tratando de entender cuál es el espíritu de cada materia o tema, y ganar experiencia, seguir con el esfuerzo.
Al final no cuenta otra cosa que el esfuerzo de aprender y los sacrificios para estudiar.

O sea que compararse con los demás es algo que termina resultando ridículo.

Además, esos detalles, celos o creencias de "a ver quién es el mejorcito o el peorcito", son cosas que ningún profesor recuerda en medio de cientos de alumnos que vienen y van todo el tiempo alocadamente, y mucho menos cuando hay tantos otros problemas que resolver, tanto laborales como personales.

O sea que hay muchos fantasmas tontos en la cabeza de los principiantes, y más vale darse cuenta más temprano que tarde que sólo cuenta el esfuerzo personal.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: mathtruco en 29 Abril, 2012, 10:27 pm
(...)

Lo que yo haría en tu post es no ocultar tus opiniones en Spoiler.

(...)

La idea de los spoiler era porque me interesaba resaltar más el título de cada punto que la explicación. Pero los he quitado, como sugieres, porque ahora que lo vuelo a ver se ve mejor así  ;).



Ya imagino que este post va dirigido a matemáticos, profesores de matemáticas y alumnos

(...)

Yo creo que así debe ser.

Cada área se aprende de manera distinta. No se puede esperar usar la misma técnica para estudiar leyes, filosofía, música...

Yo creo que ésta es una de las razones de por qué a los estudiantes de, por ejemplo, biología les va mal en matemática: porque son buenos en biología, y tratan de estudiar igual las matemática que la biología.
Lléndome un poco del tema: entre personas de nivel promedio de habilidades intelectuales, no creo que hayan grandes diferencias al momento de aprender un área específica. Lo que las distingue es su habilidad o método de enfrentar la materia, ya sea creerse capaz o su técnica de estudio. Es así como "nacen" los que son buenos para matemática pero no para biología, etc.

Cada asignatura tiene su técnica para obtener mejores resultados, pero lamentablemente no se enseña y hay que aprenderla a porrazos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 29 Abril, 2012, 10:31 pm
Claro, la cuestión es cómo abordar las materias de matemática en la universidad.

Y esto concierne a cualquier carrera que contenga materias de matemática.

Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: feriva en 30 Abril, 2012, 12:31 am
Por ejemplo, se toman la nota que puso el profesor como algo "absoluto", como si una centésima encima de un compañero marcara ya superioridad.
En consecuencia, alguno se sienten superiores si van sacando buenas notas, y otros se sienten inferiores, etc.

Sí, ésa es una de las razones principales por lo que lo he dicho. Muchos estudiantes jóvenes abandonan carreras -de ciencias, sobre todo- por esa sensación que tienen de ser menos capaces que otros; también es verdad que algunos lo hacen porque quieren terminar de estudiar pronto y saben que una carrera difícil se les va a hacer más larga; o por otras razones.
Hay que desdramatizar el fracaso escolar y universitario en especial con el tema de las matemáticas; esto se ha intentado hacer, pero a veces se ha intentado mal, como en estos últimos años ha pasado en España, poniendo las cosas demasiado fáciles en la enseñanza escolar para que todo el mundo pase de curso. No se trata de eso, se trata de hacer ver a los alumnos que la vida es muy larga, que repetir un año, o dos o tres, no es el fin del mundo ni quiere decir que, más tarde, no puedan aprobar y ser buenos profesionales. Cada persona es un mundo, hay jóvenes que maduran antes, otros más tarde, unos ven las soluciones de los problemas más rápidamente, otros menos...
El mundo está lleno de personas que, cuando ven números o ecuaciones, echan a correr, no quieren saber nada; y yo no creo que en realidad sea que no les guste la matemática, lo que no les gusta es el recuerdo de las humillaciones que recibieron, o lo humillados que se sintieron, cuando les pusieron un suspenso en matemáticas.
 Yo tengo una sobrina que acaba este año que viene una ingeniería; se le dan de maravilla las matemáticas desde pequeña. En cambio, su hermano ve fórmulas y se marea, se bloquea y no entiende nada; pero así, como lo cuento. ¿Por qué? Seguramente porque se compara inconscientemente con su hermana y piensa que es tonto, y por eso tiene verdadera alergia -literalmente- a las fórmulas. 

Saludos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Tanius en 02 Mayo, 2012, 01:24 am
Aunque, como estudiante, estoy de acuerdo en casi todo le que se ha comentado, discrepo un poquito sobretodo en los primeros puntos que explica argentinator. Aclaro que quizá lo que voy a comentar puede deberse a la particular forma de dar clase de mis profesores.

(1) En una materia de matemática se debe tener a mano el libro de referencia que el profesor va a usar.

Lo remarco en negrita y lo hago un poco grande para que se note bien. Muchos profesores en mi facultad no utilizan un único libro (de hecho es raro el que utiliza un sólo libro para dar la clase), sino que varios llegan a utilizar entre 4 y 5 libros, incluso más. Y hay ocasiones en que no se tiene acceso a algún libro que el profesor está utilizando.

Es común también que ciertos profesores utilicen notas que son resultado de una bibliografía extensa de más de 20 libros hechas por ellos mismos.
Aunque, para aprender, resulte intuitivo que entre más bibliografía mejor, al final no resulta tan práctico. En el semestre y con tantas cosas que hacer no da tiempo de leerse tantos textos.

Digo todo esto como parte de una experiencia, porque yo tiendo a faltar a muchas clases (por causas de diversa índole). Hasta ahora había "sobrevivido" desde luego gracias a la ayuda de este foro, el resto de internet, y claro está los libros estándar de cada materia. Pero este semestre en particular ha sido muy complicado para mí, porque ocurre que los profesores usan demasiados libros para dar clases. Desde luego también las tareas son problemas variados entre todos estos textos, lo que hace la cosa más difícil porque sencillamente ya no sabes por dónde empezar a leer.

En resumen: se debe asistir a todas las clases (claro está), y la carrera es muy complicada si se quiere sacar de forma autodidacta.

Bueno, sólo para comentar otros puntos de manera breve:

(6) ¿Cuáles o cuántos ejercicios hay que hacer? TODOS.

De nuevo, está el problema del tiempo. Lo que suelo hacer yo es intentarlos resolver durante las vacaciones, o directamente cuando tengo tiempo libre y no tengo que realizar algún otro compromiso. Pero durante el semestre esto no resulta víable. El tiempo no alcanza, son muchas materias y muchos problemas a los que se le debe dedicar tiempo. Incluso algunos estudiantes a esta edad se ven en la necesidad de trabajar. Y a eso añádele que uno como humano debe atender también su vida social, que si no te vuelves loco.

¿Y cuándo no salen? PREGÚNTELE AL PROFESOR, que para eso le pagan.

Esto supongo que ya será más específico. Pero hay profesores que no te ayudan con los problemas de la tarea.

Un saludo.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 02 Mayo, 2012, 02:26 am

(1) En una materia de matemática se debe tener a mano el libro de referencia que el profesor va a usar.

Lo remarco en negrita y lo hago un poco grande para que se note bien. Muchos profesores en mi facultad no utilizan un único libro (de hecho es raro el que utiliza un sólo libro para dar la clase), sino que varios llegan a utilizar entre 4 y 5 libros, incluso más. Y hay ocasiones en que no se tiene acceso a algún libro que el profesor está utilizando.

Es común también que ciertos profesores utilicen notas que son resultado de una bibliografía extensa de más de 20 libros hechas por ellos mismos.

En ese caso lo que hay que seguir son los apuntes indicados por la cátedra.
Si la cosa es demasiado caótica, no queda más remedio que asistir a todas las clases.

Una solución posible es pedir precisión al profesor sobre cuál es el programa de la materia.
En ese programa están los contenidos requeridos, en forma ordenada, y tiene carácter oficial, de manera que si las cosas se alejan demasiado de ese programa, el estudiante se puede quejar.

En mi opinión, una cátedra puede tener todos los libros de referencia que se deseen, pero para seguir el programa de la materia no puede haber más que 2, digamos, suponiendo que la materia tenga que dividirse en más de un tramo.

Si no, es un caos. Hay mucha bibliografía adaptada a un sinfín de necesidades. Basta elegir la adecuada al curso que se imparte.
O bien, que el profesor tenga elaborado su propio apunte o notas, tal como a él le gusta, y punto.

En esto que me estás contando Tanius, veo desorganización, problemas o culpa por parte de los profesores, y no de los estudiantes.
 
 
Citar
(6) ¿Cuáles o cuántos ejercicios hay que hacer? TODOS.

De nuevo, está el problema del tiempo.

 

Bueno, en esto seguiremos discrepando.
Si el tiempo no alcanza, es que hay que hacer menos materias.

En ningún momento he dicho que sólo hay que vivir para la Universidad, sino otra cuestión, y es que si un estudiante va a un examen sin haber hecho todos, o casi todos los ejercicios, lo más probable es que haga un mal examen.

Tiempo nadie tiene, y ése es otro problema.

Acá de lo que estamos hablando no es de tener tiempo, sino de tener la actitud correcta.

La actitud correcta es saber que hay que hacer todos los ejercicios antes del examen, e intentarlo.
Si después no hay tiempo, esa es otra historia.
Pero en este caso, vos vas a saber muy bien por qué te fue mal en el examen, porque serás conciente de aquello que no hiciste o no estudiaste como se debía estudiar.

Lo que yo critico es otra cosa, y es la actitud de autodindulgencia, de la creencia de que haciendo poquito ya alcanza para aprobar.
Eso es lo que falla, la falta de conciencia del esfuerzo necesario, y también la falta de autocrítica.

Después, si el sistema de la Universidad es una porquería, y si la vida también es una porquería, y uno merece vida social, trabajo, dinero y otras cosas más, entonces no me parece mal hacer un examen desastroso, a modo de protesta, jejeje. :)

Hay que quejarse, la vida tiene que ser mejor, eso es muy cierto.

Citar
¿Y cuándo no salen? PREGÚNTELE AL PROFESOR, que para eso le pagan.

Esto supongo que ya será más específico. Pero hay profesores que no te ayudan con los problemas de la tarea.
 

Eso es muy lamentable. Y es muy común también.

Suerte
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: pierrot en 05 Mayo, 2012, 01:04 am
Hola

Desde que leí por primera vez este post, quería dar mi opinión sobre el tema. Más allá de que como estudiante no cumplo con muchas de las cosas que aconseja argentinator (especialmente en lo de hablar con el profesor e interactuar con otros compañeros para compartir otros puntos de vista), reconozco que hacer eso sería lo aconsejable (y lo más lógico aparte, aunque no creo que sea estrictamente necesario para aprobar, ni tampoco para aprender, que es lo que realmente importa). Sin embargo hay algunas cosillas en las que discrepo. Y es a lo que apunta Tanius aquí:

(6) ¿Cuáles o cuántos ejercicios hay que hacer? TODOS.

De nuevo, está el problema del tiempo. Lo que suelo hacer yo es intentarlos resolver durante las vacaciones, o directamente cuando tengo tiempo libre y no tengo que realizar algún otro compromiso. Pero durante el semestre esto no resulta víable. El tiempo no alcanza, son muchas materias y muchos problemas a los que se le debe dedicar tiempo. Incluso algunos estudiantes a esta edad se ven en la necesidad de trabajar. Y a eso añádele que uno como humano debe atender también su vida social, que si no te vuelves loco.

Coincido plenamente con todo lo que plantea. Muchas veces no hay tiempo de hacer todos los ejercicios. Y no es delito no hacerlos todos con el fin de hacer más materias y avanzar así más rápido en la carrera. Por lo tanto, no estoy de acuerdo con la réplica de argentinator:

Bueno, en esto seguiremos discrepando.
Si el tiempo no alcanza, es que hay que hacer menos materias.

¿Por qué? ¿Si uno puede aprobar sin la necesidad de hacer todos los ejercicios estaría obrando mal? ¿No sería ético, acaso? Parecería que lo que sugiere argentinator es que se dejen de hacer otras materias sólo para aprobar una materia con 11 o 12 en vez de con 7 u 8. ¿Tan significativa es la diferencia?

Además, hay que ser consciente que en muchos casos (como es el mío), nuestros padres nos sustentan económicamente y pasan muchos sacrificios para que nosotros (mi hermano y yo) tengamos la oportunidad de estudiar una carrera. Cuanto antes logremos recibirnos ("graduarnos", según la terminología de otros países), pues mejor. Yo antes trabajaba como cadete en el Hotel del Lago de Punta del Este (al que por cierto, las dos temporadas en las que trabajé fue Javier Saavedra, que tengo entendido que es un personaje público bastante conocido en España; lo menciono por todos los miembros españoles del foro, ¡y además porque su hijo sí que era indisciplinado para las matemáticas!). Sin embargo, este verano, por cuestión de exámenes, no pude hacerlo. Eso era una ayuda para los gastos del resto del año. Ahora ya puedo decir con todas las letras que soy "un mantenido". Por eso creo que hay que tratar de terminar los estudios lo antes posible. Mi hermano estudia odontología, por suerte ya está terminando, pero los gastos son muchos. Es una carrera muy cara. Y para poder empezar a trabajar necesitás el consultorio y el sillón. Si no fuera por nosotros, tal vez mis padres podrían hacerse un viaje a Europa y disfrutar más de la vida. Fijate que a mí me queda mucho por delante (tengo sólo 20 años), pero a mis padres ya no tanto... (¡ojalá que sean muchos!).

Acá de lo que estamos hablando no es de tener tiempo, sino de tener la actitud correcta.

Por todo lo explicado antes, no creo que siempre sea ésa la actitud correcta. Y ojo, que yo varias veces he dejado de hacer otras materias para poder dedicarle más tiempo a aquellas por la que opté. Me gusta estudiar a conciencia y hacer las cosas bien. No obstante, hay que tener presente que siempre se puede cursar una materia mejor de lo que se la está cursando. No por éso vamos a acabar haciendo una o dos materias por año...

Las respuestas en un foro las dan seres humanos, los cuales tienen sentimientos.
En particular, es muy probable que tengamos el sentimiento de amor hacia la matemática, y entonces caen mal aquellos pedidos de ayuda en los que la intención no es entender la materia, sino sólo "zafar" sin aprender nada.

Entiendo la mentalidad de argentinator. Pero también entiendo la de los que piden ayuda tratando de "zafar". Estoy seguro que más del 95% de los que solicitan ese tipo de ayuda, no estudian licenciatura en matemática ni nada por el estilo. Estudian ramas afines (computación, análisis empresarial, etc), para las cuales la matemática no es algo tan imprescindible. En la carrera que estoy haciendo de ingeniería en computación, a la mayoría no les importa nada la matemática. Sólo quieren salvar y yo no lo veo tan mal. Sinceramente no creo que sea tan indispensable calcular integrales ni saber el teorema de Stokes para programar. Basta tener algunos conceptos de teoría de grafos, algo de teoría de números (para la parte de criptografía), y ya. Tengo un compañero, por ejemplo, que tiene 26 años (casado y con hijos) que odia la matemática. Y no tiene tiempo de hacer todos los ejercicios de los prácticos. Trabaja en ANTEL y a veces, en su tiempo libre, prefiere salir a pasear los fines de semana con su mujer y sus hijos. Si luego puede aprobar la materia con lo mínimo indispensable, ¿estaría obrando mal? No estamos hablando de arquitectura de computadores, ni programación, ni sistemas operativos ni nada... estamos hablando de una matemática, que ciertamente es una materia de "relleno" por llamarla de alguna manera.

Yo mismo a veces prefiero hacer otras cosas. Por ejemplo, compartir tiempo con alguna persona a la que quiero... La matemática no es todo en la vida. Hay cosas más importantes (y más disfrutables). Aunque lógicamente ésto es algo subjetivo.

Saludos


Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: IonE en 05 Mayo, 2012, 03:12 am
¿Y qué harían en el hipotético caso en que el profesor "no esté calificado" para dar clases? Intentaré explicarme mejor. Capaz algunos tuvieron la mala suerte de elegir un profesor al cual no le interesa dar clases o que no se preocupa ni en lo más mínimo para que sus alumnos aprendan o entiendan y si uno va con consultas contesta de mala manera.

Lamentablemente este es mi caso. No tengo la posibilidad de elegír otro profesor, ni de cursar en otro turno, enviarle una carta al decano no solucionaría nada en lo inmediato y las posibilidades de que esto cambie son casi nulas (este semestre).

Yo intento estudiar de los libros, pero voy demasiado lento y no dispongo de todo el tiempo del mundo dado que los exámenes se acercan.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 05 Mayo, 2012, 03:40 am
PabloN, estás planteando las cosas desde otro punto de vista, que a lo mejor no he sido claro:

No es lo mismo "no poder" hacer los ejercicios que "no querer" hacerlos.
Y si hay razones mejores en la vida de cada uno, que cada cual decida.
Creo que en cierto modo opiné algo al respecto.

Pero por eso hablo de la actitud.
Están aquellos que, aún si tuvieran todo el tiempo del mundo, recursos materiales, buenos profesores, etc., seguirían sin intentar hacer todo lo posible de práctica, entender bien los conceptos, etc.

Eso es lo ideal, hacer todo.
Yo tampoco hice todos los ejercicios cuando estudié, pero lo intentaba, y pensaba que era importante.
Así como uno sabe que hay otras cosas también importantes, como razonar los conceptos, las demostraciones, entender las ideas de fondo, etc., etc.

Tras varios años de dar vueltas con la matemática, me doy cuenta que todos aquellos ejercicios que no resolví, y aquellas cosas que no estudié con la bastante solidez y seriedad, hoy en día son una carga, los siento como un peso enorme.

Pero eso es tema aparte.

Lo que quiero puntualizar en el post inicial que puse es sobretodo con gente que no toma conciencia de cómo se debe estudiar, con qué empeño hay que hacerlo.

Es cierto que decir algo como "TODOS los ejercicios" es bastante fuerte, y parece algo imposible en la práctica.
Pero es que hay gente que se conforma con hacer "sólo ALGUNITOS", y sólo "lo más FÁCIL", y "de la FORMA que más o menos le gusta o le convence".

Es esa autoindulgencia, ese conformismo, que está en el extremo opuesto al que yo planteo de "HACER TODO".
La balanza se tiene que inclinar siempre hacia el lado de la exigencia, el sacrificio, y tener el mejor nivel posible.

No sé si es una falta ética... siempre que uno sea conciente de lo que le falta y lo que adolece.

Pero pensá que justamente hay muchos estudiantes de ingeniería, que tienen que aplicar sus conocimientos en cosas que nos incumben todos los días, y que necesitamos que funcionen bien: aviones, rascacielos, puentes, computadoras, etc. ¿Acaso es aceptable que esa gente se reciba "zafando", desde la mediocridad? ¿Qué profesionales van a ser? ¿Con qué calidad van a hacer las cosas?

Y un matemático está alejado aparentemente de todo eso, pero la matemática es el sostén de muchas cosas científicas y tecnológicas. Si no se la aborda con la seriedad que se merece, también hay cosas que van a fallar, o que van a sentir la carencia de lo que uno no hace del todo bien.

O sea que a fin de cuentas pienso que sí, que hay cuestiones éticas involucradas.

_________

Y también es cierto lo que dicen, que no hay plata, no hay tiempo, la vida es corta, hay cosas que vivir, y hay profesores malos, etc.

Pero bueno, supongamos que decidimos vivir el amor a pleno, porque es lo más maravilloso del mundo.
Eso no está "mal", pero objetivamente, el tiempo y energía que se dedica a una cosa, es tiempo y energía que no se le dedica a otra cosa.

A quien elija vivir el amor, el arte, las revoluciones guevaristas, lo que fuere, no soy yo el que le va a decir cómo vivir su vida.
Pero hay que ser conciente de las cosas que uno elige, pues toda elección es una ganancia y una pérdida al mismo tiempo.

La cuestión es, por ejemplo, ¿qué pasa con la gente que "siempre" elige "zafar", o que siempre elige "hacer lo menos posible", o siempre elige "no sacrificarse", o siempre elige el camino más mediocre?

_____________

Por otro lado, no me molesta que me contradigan, estoy contento conque compartan sus experiencias.

O sea, está claro que no siempre la "culpa" de que las cosas salgan mal las tiene el estudiante.
Hay profesores, instituciones y gobiernos que malogran las cosas.
Pero lo que corresponde a uno, uno tiene que hacerlo lo mejor que pueda.

Si no, nunca funciona nada bien, siempre falla todo.
Es uno el que tiene que hacer que las cosas funcionen.

Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: DavidTarifa en 21 Julio, 2012, 01:31 pm
Hola

Una gran exposición.

Estoy totalmente de acuerdo con el trasfondo de la misma. Yo resumiría este como: trabaja, comunicate con tu profesor y tus compañeros y no tengas miedo ni vergüenza por equivocarte para seguir aprendiendo.

Hay, según mi punto de vista, hay dos características de las mismas que no has planteado bien.

La primera: este análisis se puede aplicar totalmente al caso ideal, (en el que hay tiempo, el profesor es abierto, las cuestiones económicas no agobian, etc), para casos reales es un poco mas difícil de aplicar.

La segunda: ser demasiado tajante. Respuesta a la tercera cuestión: NO. Respuesta a la sexta: TODOS. Aunque esto probablemente es debido al punto anterior. En un caso ideal estas respuestas son perfectas.

Asimismo estoy en desacuerdo con algunos puntos.

(3) ¿Se puede aprobar una materia solo con los apuntes de clase?
Estoy titulado como Ingeniero Industrial en especialidad Electrónica por la UMA. Las asignaturas de Calculo, Álgebra, Estadística y Ampliación de Matemáticas las aprobé con los apuntes tomados en clase. Fui premio al mejor expediente de mi promoción, no soy el alumno medio, y en las asignaturas en las que estaba muy perdido recurría a libros recomendados por compañeros, pero casi todas las asignaturas las superé solo con las clases y las fotocopias oficiales de cada departamento.

(5)(a)El profesor decide en clase que temas del libro se pueden estudiar y que temas no para los exámenes.
Aquí no es que esté en desacuerdo contigo, estoy en desacuerdo con ese sistema. Creo que los profesionales de la docencia deberían hacer una reflexión al respecto, e informar claramente que temas se incluyen en su materia y cuales no, en la guía, publicados en Internet o por otro medio. Sino, están poniendo en desventaja a todos aquellos alumnos que no asisten por motivos laborales, por motivos de salud o por tantos otros.

(6) ¿Cuantos ejercicios hay que hacer? Tantos como necesites para entender el tema. Pueden ser la mitad de los recomendados o el doble. Los necesarios para asegurarte que entiendes lo que se pide en el tema. En el apartado (10) argentinator nos da las claves de como saber cuando lo entiendes.

Y respecto a los apartados (8), (9), (11), yo haría aún mayor hincapié en la idea de hablar con tu profesor. Si es bueno, te ayuda a mejorar y le ayudas a mejorar. Si no lo es también la conversación será útil. Yo pensaba de joven que no, pero la experiencia me ha hecho pensar lo contrario. Y eso que no era un buen dialogador. No sabía captar la atención en las fiesta, era tímido, etc. En una promoción en el ejercito de 100 aspirantes salí el 14 porque los mandos me recordaban por haber sido voluntario en una explicación de principios eléctricos y había un compañero que físicamente eran mas apto que yo y su media en exámenes teóricos era superior a la mía y salio el 75. En la universidad conseguí una matricula en física teniendo un 8,5 en un parcial después de tener una charla con el profesor. Ejemplos como estos tengo mas, pero todos se resumen en que como tratas con personas, son mas receptivos hacia ti si te recuerdan que si no te conocen.

Una reflexión mas para docentes acerca de los exámenes.
Casi la totalidad de los alumnos se quejan de que los ejercicios de los exámenes superan en dificultad a cualquiera que se haya hecho en clase. Y lo cierto es que en mi práctica en academias esto se ha cumplido a menudo.

Muchos profesores piensan que es una forma de que el alumno demuestre haber comprendido la materia. Personalmente no estoy de acuerdo. No creo que el alumno deba enfrentarse en un examen a nada que no haya entrenado anteriormente, así que si en el examen tiene que resolver problemas que apliquen 3 o 4 principios, resolvamos en clase también problemas similares de esa complejidad.

Desde mi punto de vista, y dadas las posibilidades que tenemos, lo idóneo sería tener colgada en la web del centro, facultad u organismo que sea una lista de ejercicios de exámenes. Si para los próximos 5 años necesito 50 ejercicios para 5 exámenes, creemos una base de datos de 500 o 1000 ejercicios y demosle a los alumnos la posibilidad de trabajar sobre ellos.

Saludos :)
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 21 Julio, 2012, 07:45 pm
Citar
(5)(a)El profesor decide en clase que temas del libro se pueden estudiar y que temas no para los exámenes.
Aquí no es que esté en desacuerdo contigo, estoy en desacuerdo con ese sistema. Creo que los profesionales de la docencia deberían hacer una reflexión al respecto, e informar claramente que temas se incluyen en su materia y cuales no, en la guía, publicados en Internet o por otro medio. Sino, están poniendo en desventaja a todos aquellos alumnos que no asisten por motivos laborales, por motivos de salud o por tantos otros.

Yo también estoy de acuerdo.
El profesor tiene que ser claro con los objetivos de la materia, no sólo con los textos a usar.
Tiene que proponer un plan desde el inicio.

Y es cierto que hay que tener en cuenta la gente que trabaja y tiene otros problemas, porque se trata de adultos, y además el sistema universitario es libre, no es una escuela secundaria donde hay que asistir en forma obligatoria.
Un alumno libre, tiene derecho a aprobar las materias a partir de un plan concreto de estudio que figure en el plan de estudios.

Yo siempre preguntaba el primer día de clases qué tenía que hacer para aprobar.

Al profesor le gusta que los alumnos vayan a las clases y demás, pero hay que reconocer que no es necesario.

__________

En cuanto al diálogo con el docente, me parece importante por razones prácticas simples.
Un semestre es muy corto para lograr la debida madurez de una materia.
Entonces el docente aplica su experiencia para acelerar este proceso.
Si el estudiante se manda por sí solo, quizá no llegue con el tiempo.
Ahí está el profesor para explicar y hacer más fáciles las cosas, o sea, el elemento humano, la experiencia y demás.
Si no, bastaría que los profesores tomen exámenes solamente y punto, lo cual es una opción en la Universidad.

Citar
(6) ¿Cuantos ejercicios hay que hacer? Tantos como necesites para entender el tema. Pueden ser la mitad de los recomendados o el doble. Los necesarios para asegurarte que entiendes lo que se pide en el tema. En el apartado (10) argentinator nos da las claves de como saber cuando lo entiendes.

¿Y cuántos ejercicios son necesarios para entender el tema?

Ahí empieza la trampa, porque todo el mundo cree que ha hecho los "suficientes ejercicios" para entender el tema, y después resulta que solamente unos pocos estudiantes han entendido con claridad cuál es el objetivo de la materia, y han hecho los que de verdad son "suficientes".

Por eso, mi mensaje de que hay que hacer "TODOS" los ejercicios es para despertar a aquellas mentes autoindulgentes que se conforman con poco, y después no entienden por qué les va mal.

Si te planteás el objetivo de hacer todos los ejercicios, y bien hechos, ya no hay incertidumbre de "cuántos eran los suficientes". Ahí recién es cuando uno puede decir con certeza: "...Pero si yo estudiéeeee  :'(  :banghead: "

El decir "suficientes ejercicios" es subjetivo, y estoy seguro que la mayoría equivoca la puntería en esto.

De la misma manera que hay autoindulgencia a la hora de resolver "completamente bien" un ejercicio.
Hay autoindulgencia al quedarse conforme con una solución fácil, que puede estar equivocada o incompleta.
Hay que tener sentido crítico en la solución de los ejercicios.

Unos días después de haberlos resuelto a "todos", conviene también repasarlos a ver si están bien, o si tienen errores, cosas poco claras, etc.
Un proceso de autocorrección.

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Citar
Una reflexión mas para docentes acerca de los exámenes.
Casi la totalidad de los alumnos se quejan de que los ejercicios de los exámenes superan en dificultad a cualquiera que se haya hecho en clase. Y lo cierto es que en mi práctica en academias esto se ha cumplido a menudo.

Yo pienso que dar en clase una tanda de ejercicios, para después no tomar ninguno en el examen, es algo ridículo.
Es tramposo, sobretodo si no te avisan.

En todo caso, que te avisen que el examen va a ser así.

Pero yo pienso que no hay que tomar exámenes de ese estilo por otras razones.
Si el profesor toma exámenes difíciles, se expone al "guitarreo", o sea, los estudiantes irresponsables o que no han entendido nada de los ejercicios "fáciles", no desisten ante ejercicios difíciles, y escriben igual un montón de cosas en el examen, que luego hay que tomarse el trabajo de corregir, aún cuando a simple vista se nota que están mal, y que son un desastre.

Yo digo, primero hay que ver si los estudiantes se han tomado el trabajo de entender al menos la parte fácil de la materia.
Si ni siquiera hacen esto, si no tienen comprensión de lo más elemental de la materia, ¿para qué exponerlos a un examen complicado, en el que sólo van a escribir novelas de Harry Potter?

Varias veces he hecho el experimento de preguntar en los exámenes estupideces sencillas que se contestan en una sola línea, a un curso por ejemplo de 80 estudiantes.
Es increíble ver que no saben contestar cosas tan básicas y elementales.

Así, los que realmente estudiaron obtienen un 100, y los que no, rápidamente pasan a la zona de los 20 o 30 puntos.
Y eso preguntando cosas fáciles.

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Mi opinión de cómo debe ser un examen es que debe ser algo mixto:

Una parta "fácil", o sea, que contenga ejercicios del mismo tipo que los dados en clase.
Y una parte "difícil", o sea, que contenta un desafío mayor a los ejercicios de clase.
El que no aprueba la parte fácil, mucho menos va a hacer la parte difícil, y así el estudiante ahorra tiempo de sufrimiento en el examen, y el profesor se ahorra muchas horas de corrección innecesaria de cosas sin sentido.

Y agregaría una tercera parte "intermedia" en la que se evalúe la comprensión global de cómo se trabaja en la materia. O sea, preguntas rápidas de contestar, pero que reflejen madurez y comprensión en los contenidos. Si uno diseña bien esto, se obtiene mucha información de lo que el estudiante realmente ha trabajado, reflexionado y comprendido.

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En fin, hay muchas posibilidades.
A mí me parece que la discusión de este tópico es importante por sí misma, ya que pareciera que nunca se debaten estos temas.
Todo el mundo sigue sus inercias y costumbres, sin meditar mucho por qué.

Seguramente hay estudios científicos en el área pedagógica que pueden ayudar a entender mejor qué es lo que más conviene hacer, tanto para estudiantes como profesores.


Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 21 Julio, 2012, 08:01 pm
También dijiste algo sobre que la gente no tiene tiempo porque trabaja y demás problemas, y que el profesor tiene que tenerlo en cuenta...

Bueno, esto es discutible.

Hay veces que los estudiantes se enojan por la exigencia que se les pide, y quieren ciertas "indulgencias" ya que tienen problemas personales de un tipo o del otro.

Pero eso es más entendible en la escuela secundaria.
En la Universidad hay que formar profesionales, y entonces una materia sólo se puede aprobar si uno sabe lo mínimo que se supone que tiene que saber para esa materia.

El cómo lo logra, es problema del estudiante.

Si hay poco tiempo para estudiar, siempre se puede hacer menos materias y una carrera más lenta.
Siempre hay que sacrificar algo.

O se sacrifica un poco la vida personal, o se sacrifica un poco la universidad.
Pero no sirve de nada aprobar a un tipo sólo por lástima.
Hay estudiantes que a veces lo plantean así, y es algo no admisible.

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No obstante, es claro que la gente que tiene problemas personales tiene el mismo derecho de hacer una carrera universitaria que cualquiera, y tiene derecho a que le vaya bien en un examen, aún si no ha cursado en forma regular, etc.

Hay profesores que se ponen muy molestos con esto, y se encaprichan en no aprobar a alguien que no ha cursado, o hacerle la vida imposible.

Yo pienso que un profesor no puede jamás meterse en la vida personal de un alumno y decirle si tiene que cursar o no, si tiene que hacer esto o lo otro, etc. Es una falta de respeto.

El profesor tiene que exponer las opciones de aprobación al estudiante, y corregir en forma fría, objetiva, y sin sentimentalismos ni rabias de ningún tipo.
Lo que está bien está bien, y lo que está mal está mal.
El profesor es un "funcionario público", no es el dueño de una materia.
Está para enseñar un contenido, y para certificar si el alumno lo aprendió o no.

Cualquier otro "agregado" debe entenderse como un abuso del profesor, o un inmiscuirse en cosas que no le incumben.

La parte humana del profesor no debe estar presente a la hora de corregir.
Antes y después sí, pero en la corrección o evaluación no, frialdad pura.

Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Tanius en 21 Julio, 2012, 08:46 pm
No tiene que ver completamente con el tema, pero me acabo de dar cuenta que hay muchos ingenieros en este foro. Me pregunto si en realidad los de matemáticas seremos minoría  :D
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: DavidTarifa en 22 Julio, 2012, 12:04 pm
La semana pasada estube revisando un poco las carreras de la UNED a las que se adapta mi actual proyecto de dar clases por Internet. En concreto la asignatura que estube consultando es Calculo Infinitesimal, (límites, derivadas, integrales y series sobre una varible, con diferentes nombres en cada carrera, que ya se podía homogeneizar un poco y darles el mismo nombre en todas :banghead:).

Hay 2 ingenierias, (Informática e Industrial), separadas en Gestión, Sistemas, Electrica, Electrónica y Mecánica. Ingeniería en Tecnologías de la Información, Grados en Turismo, Economía, Administración y Dirección de Empresas, Ciencias Ambientales y Física. No se si me salto alguna.

Son 11 contra 1 en un primer recuento, solo en la UNED.

Sois los maestros, pero estais en minoría. Esperemos que no haya un motín.   ;D

Saludos!!   ;)
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: DavidTarifa en 22 Julio, 2012, 01:20 pm
Citar
También dijiste algo sobre que la gente no tiene tiempo porque trabaja y demás problemas, y que el profesor tiene que tenerlo en cuenta...

He revisado mi mensaje y creo que no lo he dicho.

De todas formas, si algún párrafo sugiere esto es que no me he explicado bien, pues no estoy de acuerdo.

Debe haber un programa que especifique claramente que hay que conocer para superar la asignatura y dominarlo. Algunos necesitarán mas tiempo que otros, pero sería injusto tratar de forma diferente a unos que a otros.

No apoyo las indulgencias, ni creo que haya que ceder ante enojos, exigencias ni lastimas particulares.

Si tenemos un ciego en clase que no puede ver la pizarra, habrá que adaptar los medios para que el pueda "verla". No se si la solución será braile u otra diferente, pero lo que no podemos hacer es aprobarlo por que no puede verla. Si esta ventaja no se la damos a un ciego, tampoco a una persona normal.

No creo que ayude a nadie hacer excepciones particulares porque cuando se enfrenten al mercado laboral nadie se las va a dar. Ni sus encargados, ni los dueños, ni los clientes. Y es bueno acostumbrarse a ello desde ya.

En esos puntos estoy de acuerdo contigo.

Saludos!! :)
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 22 Julio, 2012, 06:33 pm
Dijiste algo referido a la gente que trabaja, pero en otro contexto, o sea que te adjudiqué algo que no dijiste.

El contexto era sobre ser claro con los contenidos o textos a usar en la materia.

El primer día el profesor tiene que proveer a los alumnos de todo el material necesario para el curso, e indicar claramente las pautas de aprobación de parciales, trabajos prácticos, y posteriormente el examen final, si es que van separados o juntos todos estos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Teón en 23 Julio, 2012, 04:40 pm
Hola:
Excelente exposición, Argentinator.
Tal para como se enseña hoy en día, la metodología que planteas es correcta. Esta garantiza que un alumno sobreviva a las materias de matemática.
Pero si lo que queremos, es que sobreviva la matemática como carrera, pienso que habría que cambiar los métodos pedagógicos y de evaluación.
Recomiendo este enlace (http://youtu.be/cPoC1JbHVYk), así como los aportes que hace este físico y filósofo argentino, al tema de la educación.

Saludos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: argentinator en 23 Julio, 2012, 05:24 pm
Eliminar los exámenes sería lo ideal, como dice Bunge.

¿Pero quién tiene ganas y voluntad para hacer las cosas de otra manera?

No veo profesores con ganas de ocuparse con seriedad de este asunto.

Es o parece más fácil tomar exámenes y listo.
Y después no queda más remedio que corregir estupideces sin sentido en decenas de exámenes.

El hecho de que las materias sean semestrales (o cuatrimestrales) da un ritmo muy exigente en la Universidad, y no queda más remedio que tomar exámenes para certificar que alguien sabe o no sabe la materia.
Es un ritmo despiadado.

Hay que replantear muchas cosas, no sólo los exámenes.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Tanius en 23 Julio, 2012, 11:26 pm
El problema es que si se evalúa con tareas, no faltan los copiones.

En mi facultad hay profesores que evalúan el 100% de la calificación con exámenes, pero cuyos problemas salen de una tarea previa (que a veces no suele ser tan fácil). Por ejemplo, de una tarea de 20 problemas, el examen consta de 4 problemas entre esos 20. Eso te obliga a intentar resolver cada uno de esos problemas. Se evita copiar, porque aunque uno copie la tarea, a la hora de escribir una demostración en el examen se nota quién sí entiende las cosas y quién no. Si aun así se copia, al menos se aprende algo, porque no es cualquier cosa redactar una correcta demostración aunque la hayas visto en otro lado.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Teón en 24 Julio, 2012, 12:20 am
En realidad, lo que se puede pedir, es la entrega de trabajos, realizados en latex y correctamente presentados, lo cual facilita la lectura y análisis de los mismos.
Cada trabajo el titular(del trabajo, no de la cátedra) lo expone en clase, ante sus compañeros y el profesor (que ya leyó el trabajo con anterioridad). Luego los compañeros y el profesor, pueden hacerle preguntas al titular, para aclarar puntos oscuros y eventualmente proponer mejoras al trabajo, o directamente refutarlo.

De este modo se cumplimentan tres faces importantes del aprendizaje.

1) Reflexión del problema en solitario (Formación de sinapsis).
2) Debate con los pares (Socialización).
3) Profundización y corrección del problema por el aporte del profesor (Feedback).

Se hace obvio, que un copión no saldría bien parado con una prueba de estas características.

Estoy pensando en materias con pocos alumnos, en caso contrario habría que buscar las adaptaciones apropiadas.

Saludos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: pierrot en 24 Julio, 2012, 12:39 am
¿Mario Bunge no es uno de los editores de este sitio? ¿O es otro?
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: Teón en 24 Julio, 2012, 12:48 am
Hola.

¿Mario Bunge no es uno de los editores de este sitio? ¿O es otro?

Mario Bunge (hijo) es editor del sitio, que además es matemático. El que aparece en el video del enlace, es el padre. Físico, filósofo y defensor del realismo científico.

Saludos.
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: pierrot en 24 Julio, 2012, 12:58 am
Mario Bunge (hijo) es editor del sitio, que además es matemático. El que aparece en el video del enlace, es el padre. Físico, filósofo y defensor del realismo científico.

Gracias Teón. Sí, estoy leyendo sobre él ahora.

Saludos
Título: Re: ¿Cómo estudiar matemática en la Universidad?
Publicado por: DavidTarifa en 24 Julio, 2012, 11:06 am
En realidad, lo que se puede pedir, es la entrega de trabajos, realizados en latex y correctamente presentados, ...

El problema de este método es que presentar un ejercicio en latex, o cualquier otra forma adecuada, requiere de 3 a 10 veces mas tiempo que hacerlo en papel.

Si tuviésemos que evaluar así toda la asignatura sería pedirle al alumno que escriba un libro sobre la misma, así que hay que pensar es esto como un método para complementar la evaluación.

Si además tiene que presentar y defender su exposición, lo cual suele ser un motivo de fallos por nervios, habría que considerar el beneficio para el alumno. 1 punto sobre 10 máximo es lo habitual. Yo pienso que es poco.

La exposición ante compañeros y profesor tiene innegables ventajas para el alumno. Sobre todo, la pérdida de miedo a hablar ante público. Gracias a mis primeras clases en academias, a mi me ha reportado numerosas ventajas. En mi trabajo como comercial una temporada, para defender mis ideas frente a mis jefes, para opinar en asociaciones del bario o de padres en el colegio y muchas otras situaciones.

Debería estar mucho mas fomentada en el ámbito educativo. Pero creo que el momento bueno sería en educación secundaria, donde el tamaño reducido de los grupos la permite mas que las aglomeraciones de clases en la universidad, al menos en los primeros cursos.

Yo recomendaría este método como voluntario para complementar la nota. Puede ofrecerse una lista de temas a elegir por el alumno, que varíe cada año, con lo que la copia se vuelve mas difícil.

Citar
exámenes ... cuyos problemas salen de una tarea previa ... el examen consta de 4 problemas entre esos 20

Yo apostaría mucho por este método, pero con mas problemas previos, ¿50, 100?

Resolver en clase unos pocos, entregar algunos resueltos, otros con solución y otros solo con enunciado.

En las clases que he impartido en academias es de los que mejores resultados me ha dado porque dan la posibilidad al alumno de enfrentarse con el examen con anterioridad. Esto le da la posibilidad de conocer lo que le espera, lo que disminuye su ansiedad y le da las claves de lo que debe entender para superar la asignatura.

Todo está en elegir correctamente estos ejercicios o tareas. Que sean representativos, que los haya de varios niveles de dificultad y que el tamaño sea lo suficientemente amplio como para no permitir memorizarlos.

Y en el examen presentarles ejercicios similares que usen las mismas técnicas que se han visto en la lista, no copias de los anteriores.

Saludos.