[boletusc]

¿Cómo podría encontrar el haz de rectas contenido en la cuádrica \( Q_a\equiv\{-x^2+z^2+6xy-4x-y-6=0\} \)?
Por el momento he hallado (salvo error de cuentas), que mediante el cambio afín \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\frac{6}{\sqrt{241}} & 18\sqrt{\frac{9}{241}} & 0 \\ 0 & 6\sqrt{\frac{9}{241}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{6}{\sqrt{241}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'' \\ y'' \\ z''\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\frac{1}{6} \\ \frac{13}{6} \\ 0 \end{pmatrix} \) podemos hallar que su forma canónica es \( {x''}^2-{y''}^2-{z''}^2+1=0 \), es decir, la de un hiperboloide de una hoja.
El siguiente apartado del problema pide encontrar el haz de rectas contenido en dicha cuádrica pero no tengo muy claro como continuar.

Gracias de antemano por cualquier posible ayuda.

[Fernando Revilla]

   Bienvenido al foro. Creo que te puede ayudar:

    https://fernandorevilla.es/2015/10/21/generatrices-rectilineas-de-un-hiperboloide-de-una-hoja/.

[boletusc]

Sí que me ha ayudado, gracias.

Tras haber leído la publicación tengo un par de preguntas:

1) ¿La forma propuesta para \( L_t, \ L_t' \) para encontrar los haces de rectas podría extenderse a otras cuádricas como las del documento que adjunto?

\( L_t: \bigg\{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t+\lambda a\sin t\\& y= b\sin t-\lambda b\cos t\\&z=\lambda c\end{aligned}\end{matrix}\quad L’_t:\bigg\{  \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t-\lambda a\sin t\\& y= b\sin t+\lambda b\cos t\\&z=\lambda c\end{aligned}\end{matrix}  \)

2) En el caso en que la cuádrica no este inicialmente en la forma \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \), tal y como se presenta en la publicación, sino que se encuentre tras un cambio afín donde la ecuación inicial tiene \( x,y,z \) multiplicados entre sí y no necesariamente todos al cuadrado, ¿No se genera conflicto con el método de resolución que en la publicación queda implícitamente planteado?


Aprovecho para decir que soy un lector recurrente de tu blog, en más de alguna ocasión me ha ayudado a resolver problemas de topología

[Fernando Revilla]

1) ¿La forma propuesta para \( L_t, \ L_t' \) para encontrar los haces de rectas podría extenderse a otras cuádricas como las del documento que adjunto?

\( L_t: \bigg\{ \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t+\lambda a\sin t\\& y= b\sin t-\lambda b\cos t\\&z=\lambda c\end{aligned}\end{matrix}\quad L’_t:\bigg\{  \begin{matrix} \displaystyle\begin{aligned} & x=a\cos t-\lambda a\sin t\\& y= b\sin t+\lambda b\cos t\\&z=\lambda c\end{aligned}\end{matrix}  \)

No, sólo son válidas para los hiperboloides de una hoja.

2) En el caso en que la cuádrica no este inicialmente en la forma \( \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 \), tal y como se presenta en la publicación, sino que se encuentre tras un cambio afín donde la ecuación inicial tiene \( x,y,z \) multiplicados entre sí y no necesariamente todos al cuadrado, ¿No se genera conflicto con el método de resolución que en la publicación queda implícitamente planteado?

Pero en tal caso bastaría expresar \( (x^{\prime\prime},y^{\prime\prime},z^{\prime\prime}) \) en función de \( (x,y,z) \) vía el cambio de referencia.

Aprovecho para decir que soy un lector recurrente de tu blog, en más de alguna ocasión me ha ayudado a resolver problemas de topología

Me alegra que te ayude.

[boletusc]

Entendido, gracias.