Autor Tema: Superficie de revolución punto planar.

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

26 Abril, 2021, 01:30 pm
Leído 153 veces

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola a todos.
Tengo la siguiente cuestión: se me pide probar: Considere la superficie obtenida de rotar la curva \( y=x^3, -1<x<1 \) alredor de la linea \( x=1 \), entonces lo puntos obtenidos  al rotar el origen de coordenadas de la curva son puntos planares.

Haciendo el proceso mediante una parametrización se puede probar el enunciado anterior, el problema reside en que quise hacerlo por secciones normales aprovechando el hecho de que los meridianos e paralelos son lineas de curvatura y como en cada punto \( P \) del meridiano generado al rotar el origen de coordenadas las curvaturas principales me darían en las curvas coordenadas (meridianos y paralelos) y los meridianos en esos puntos \( P \) coinciden con la curva que se esta rotando la cual tiene curvatura cero en los puntos en mención tendría que una curvatura principal es cero \( k_{1}=0 \) y como la otra sección normal que me da una curvatura principal seria precisamente  el \( \color{red} paralelo  \) que se genera al rotar el origen, con lo que tendría que esta sección normal es una circunferencia de radio uno lo cual me dice que la otra curvatura principal es uno \( k_{2}=1 \).

Resumiendo en un punto \( P \) ubicado en el meridiano generado al rotar el origen tendría que las curvaturas principales son \( k_{1}=0 \)y \( k_{2}=1 \),  los cuales no serian planares. ¿cuál es el error en este razonamiento?
Gracias.

27 Abril, 2021, 09:52 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,051
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola a todos.
Tengo la siguiente cuestión: se me pide probar: Considere la superficie obtenida de rotar la curva \( y=x^3, -1<x<1 \) alredor de la linea \( x=1 \), entonces lo puntos obtenidos  al rotar el origen de coordenadas de la curva son puntos planares.

Haciendo el proceso mediante una parametrización se puede probar el enunciado anterior, el problema reside en que quise hacerlo por secciones normales aprovechando el hecho de que los meridianos e paralelos son lineas de curvatura y como en cada punto \( P \) del meridiano generado al rotar el origen de coordenadas las curvaturas principales me darían en las curvas coordenadas (meridianos y paralelos) y los meridianos en esos puntos \( P \) coinciden con la curva que se esta rotando la cual tiene curvatura cero en los puntos en mención tendría que una curvatura principal es cero \( k_{1}=0 \) y como la otra sección normal que me da una curvatura principal seria precisamente  el meridiano que se genera al rotar el origen, con lo que tendría que esta sección normal es una circunferencia de radio uno lo cual me dice que la otra curvatura principal es uno \( k_{2}=1 \).

Resumiendo en un punto \( P \) ubicado en el meridiano generado al rotar el origen tendría que las curvaturas principales son \( k_{1}=0 \)y \( k_{2}=1 \),  los cuales no serian planares. ¿cuál es el error en este razonamiento?
Gracias.

Pero me parece que estás confundiendo la curvatura intrínseca de la curva, que es una circunferencia y tiene curvatura uno, con la curvatura normal de la curva, que por ser un punto planar es cero.

La curvatura normal el la curvatura de la curva por el coseno del ángulo que forman los vectores normales a la superficie y el vector normal de la curva. En este caso son perpendiculares y ese coseno es cero.



Saludos.

28 Abril, 2021, 03:09 am
Respuesta #2

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola Luis gracias por la respuesta.
Ya quedo mas claro, la verdad me fie mucho de mi dibujo en el cual el normal era perpendicular al tangente del paralelo en mención y perpendicular al vector normal de la circunferencia (paralelo), lo cual me dejaba aquel paralelo como sección normal en todo punto en aquella circunferencia, pero con lo que entiendo ese paralelo no es una sección normal en ninguno de esos puntos. ¿cierto?

Una cuestión mas, para resolver este ejercicio yo use la parametrización \( x(u,v)= (v\cos(u), (v+1)^3, v\sen(u)) \) \( -2<v<0, u\in (0,2\pi) \), pero quisiera hacerlo con una parametrización que no traslade la superficie de revolución pero se me dificulta el trabajo con superficies de revolución que tengan el eje de giro distinto de los ejes coordenados mi propuesta fue: \( x(u,v)= ((v-1)\cos(u), (v)^3, (v-1)\sen(u)) \) \( -1<v<1, u\in (0,2\pi) \) pero asignándole algunos valores a \( u,v \) por ejemplo \( u=0, \pi \) \( v=-1,0,1 \) no me da,¿qué hacer en ese caso?


28 Abril, 2021, 09:31 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,051
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis gracias por la respuesta.
Ya quedo mas claro, la verdad me fie mucho de mi dibujo en el cual el normal era perpendicular al tangente del paralelo en mención y perpendicular al vector normal de la circunferencia (paralelo), lo cual me dejaba aquel paralelo como sección normal en todo punto en aquella circunferencia, pero con lo que entiendo ese paralelo no es una sección normal en ninguno de esos puntos. ¿cierto?

No se si te estoy entendiendo. El vector normal a la superficie en los puntos de la circunferencia negra del dibujo anterior, SI es perpendicular al plano que contiene a la circunferencia. Es decir la circunferencia SI es una sección normal; pero eso no significa que la curvatura intrínseca de la circunferencia sea una de la curvaturas principales de la superficie.


Citar
Una cuestión mas, para resolver este ejercicio yo use la parametrización \( x(u,v)= (v\cos(u), (v+1)^3, v\sen(u)) \) \( -2<v<0, u\in (0,2\pi) \), pero quisiera hacerlo con una parametrización que no traslade la superficie de revolución pero se me dificulta el trabajo con superficies de revolución que tengan el eje de giro distinto de los ejes coordenados mi propuesta fue: \( x(u,v)= ((v-1)\cos(u), (v)^3, (v-1)\sen(u)) \) \( -1<v<1, u\in (0,2\pi) \) pero asignándole algunos valores a \( u,v \) por ejemplo \( u=0, \pi \) \( v=-1,0,1 \) no me da,¿qué hacer en ese caso?

Sería:

\( x(u,v)= (\color{red}1+\color{black}(v-1)\cos(u), (v)^3, (v-1)\sen(u)) \)

Saludos.

CORREGIDO

28 Abril, 2021, 04:56 pm
Respuesta #4

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola Luis, gracias Luis, queda claro la cuestión de la parametrización.

Pero aún me causa un poco de "molestia" el no poder ver lo que usted me explica, esto es: que el paralelo resultante de rotar el origen de la curva (circunferencia resaltada en negro en la gráfica) es una sección normal. Esto porque no veo una dirección \( v\in T_{p}S \) tal que al intersecar el plano que contenga al  normal a la superficie (\( N(p) \)) y \( v\in T_{p}S \)  me de como resultado el paralelo. Enseguida enuncio lo que es una sección normal para do Carmo.

Sea \( S \) una superficie.
Dada una una vector unitatio \( v\in T_{p}S \), la intersección de \( S \) con el plano conteniendo a \( v \) y a \( N(p) \) es llamada la sección normal de \( S \) en \( p \) a lo largo de \( v \). 

Gracias de nuevo.

28 Abril, 2021, 05:38 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 49,051
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Pero aún me causa un poco de "molestia" el no poder ver lo que usted me explica, esto es: que el paralelo resultante de rotar el origen de la curva (circunferencia resaltada en negro en la gráfica) es una sección normal. Esto porque no veo una dirección \( v\in T_{p}S \) tal que al intersecar el plano que contenga al  normal a la superficie (\( N(p) \)) y \( v\in T_{p}S \)  me de como resultado el paralelo. Enseguida enuncio lo que es una sección normal para do Carmo.

Sea \( S \) una superficie.
Dada una una vector unitatio \( v\in T_{p}S \), la intersección de \( S \) con el plano conteniendo a \( v \) y a \( N(p) \) es llamada la sección normal de \( S \) en \( p \) a lo largo de \( v \). 

Perdona, me estaba confundiendo. Estaba pensando en la intersección del plano tangente con la superficie, y NO lo que realmente es una sección normal.

Tienes razón: la circunferencia negra, NO es una sección normal.

Disculpa la confusión.  ;)

Saludos.

29 Abril, 2021, 03:15 am
Respuesta #6

S.S

  • $$\Large \color{#5e8d56}\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 200
  • País: co
  • Karma: +0/-0
Hola Luis gracias por la respuesta. No hay nada que disculpar.  :)

04 Mayo, 2021, 09:24 am
Respuesta #7

ivebeenlonely

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
  • Mensajes: 2
  • País: es
  • Karma: +0/-0
De verdad muchísimas gracias me ha servido un montón!  :aplauso: